浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

臺(tái)州市2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量評(píng)估試卷數(shù)學(xué)2024.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入點(diǎn)可求出解析式，即可求出答案.【詳解】由冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故，所以.故選：D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，即，所以的定義域?yàn)?故選：A.3.下列函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】反比例函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在定義域上不單調(diào)，A選項(xiàng)不滿足條件；指數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)滿足條件；正切函數(shù)在定義域上不單調(diào)，D選項(xiàng)不滿足條件.故選：C4.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立.【詳解】若，，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，B選項(xiàng)正確；，得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)中，函數(shù)與，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；B選項(xiàng)中，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)；C選項(xiàng)中，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)镽，定義域不同，不是同一函數(shù)；D選項(xiàng)中，函數(shù)與函數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).故選：A6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，利用兩角和的正切公式求解.【詳解】已知，，則.故選：A7.已知，若是10位數(shù)，則的最小值是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】B【解析】【分析】由，求滿足條件的最小自然數(shù)即可.【詳解】若是10位數(shù)，則取最小值時(shí)，應(yīng)滿足，則有，，由，則的最小值是30.故選：B8.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，確定對(duì)稱軸及最大值與的關(guān)系，求解即可.【詳解】由函數(shù)，令，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象關(guān)于對(duì)稱，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，在處達(dá)到最大值，由圖象得：，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得：圖象關(guān)于對(duì)稱，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，在處達(dá)到最大值，則，且最大值為，結(jié)合圖象可知，所以.故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】由，得，，AB正確；顯然，即，C正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的最大值為1【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角等公式化簡(jiǎn)得到，借助三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】結(jié)合題意：，即.對(duì)于選項(xiàng)A:由可得，所以故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:將代入得：，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:對(duì)于，令，則，因?yàn)?，所以，而在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:對(duì)于，當(dāng)，即,，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11.定義域均為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，則（）A.，使得 B.，使得C，都有 D.，都有【答案】ACD【解析】【分析】由兩函數(shù)的奇偶性列方程組可求出兩函數(shù)的解析式，對(duì)于選項(xiàng)A:利用函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，即可判斷；?duì)于選項(xiàng)B:借助基本不等式及三角函數(shù)的最值即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:利用函數(shù)的值域求出即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D:利用函數(shù)的奇偶性即可判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)和為偶函數(shù)，所以，所以，聯(lián)立，可得，，對(duì)于選項(xiàng)A:由，易判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，故，使得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由，因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值,而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故（不能同時(shí)取等），故不存在，使得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:由，，可得，而，，所以，故，都有，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)闉槠婧瘮?shù)和為偶函數(shù)，所以，，故，都有，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.設(shè)是正整數(shù)，集合.對(duì)于集合中任意元素和，記，.則（）A.當(dāng)時(shí)，若，則B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，恒成立D.當(dāng)時(shí)，若集合，任取中2個(gè)不同的元素，，則集合中元素至多7個(gè)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的計(jì)算公式即可求解AB，舉反例即可求解C，根據(jù)所給定義，即可求解D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，而，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，比如時(shí)，，故B正確，對(duì)于C，時(shí)，，,,不符合，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，不妨設(shè)中一個(gè)元素，由于，則中相同位置上的數(shù)字最多有兩對(duì)互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同，若中相同位置中有一對(duì)的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同，不妨設(shè)此時(shí)，那么與相同位置中有一對(duì)的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同的元素有此時(shí)，其中，，而，與中相同位置上的數(shù)字有兩對(duì)是不相同的，此時(shí)，滿足，若與相同位置中有2對(duì)的數(shù)字互為相反數(shù)，那么就與有3對(duì)相同位置上的元素互為相反數(shù)，不符合，因此此時(shí)中滿足條件的元素有7個(gè)，若中相同位置中有兩對(duì)的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同，不妨設(shè)，此時(shí)與元素重復(fù)，綜上可知中元素最多7個(gè)，D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題進(jìn)行求解.對(duì)于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過(guò)找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.角是第_____________象限角.【答案】二【解析】【分析】直接由象限角的概念得答案．【詳解】由象限角的定義可知，的角是第二象限角．故答案：二.14.已知函數(shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.【答案】【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)令，代入函數(shù)式可得定點(diǎn)縱坐標(biāo)．【詳解】在函數(shù)（，且）中，令，則，所以該定點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.15.已知，的值為_________.【答案】2【解析】分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合齊次式代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：2.16.若函數(shù)在上的最小值為1，則正實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【解析】【分析】對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可得,因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為1，當(dāng)時(shí)，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，在上在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，在上，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據(jù)根式的性質(zhì)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】18.已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集的定義直接求解；（2）由題意，利用集合的包含關(guān)系求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】若，則，，所以.【小問(wèn)2詳解】若是的充分不必要條件，則，得，故的取值范圍是.19.已知函數(shù)的最大值為2.（1）求常數(shù)的值；（2）先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由函數(shù)最大值求常數(shù)的值；（2）求出圖象變換后的函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域.【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，故.【小問(wèn)2詳解】，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，由，得，所以，，故在區(qū)間上的取值范圍是.20.從①；②函數(shù)為奇函數(shù)；③的值域是，這三個(gè)條件中選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下面的問(wèn)題.問(wèn)題：已知函數(shù)，且

.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別選擇①②③，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的值，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判定方法，得到在上單調(diào)遞減，再由為奇函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：若填①：由，可得，解得，所以.若填②：由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，可得，解得，所以，即，經(jīng)驗(yàn)證：，符合題意，所以.若填③：由，可得，則，即，又由的值域是，可得，故，所以.【小問(wèn)2詳解】解：，且，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，滿足，所以為奇函數(shù)，由不等式，可得，則，所以，令，記，所以，所以，所以的最小值為.21.如圖是一種升降裝置結(jié)構(gòu)圖，支柱垂直水平地面，半徑為1的圓形軌道固定在支柱上，軌道最低點(diǎn)，，.液壓桿、，牽引桿、，水平橫桿均可根據(jù)長(zhǎng)度自由伸縮，且牽引桿、分別與液壓桿、垂直.當(dāng)液壓桿、同步伸縮時(shí)，鉸點(diǎn)在圓形軌道上滑動(dòng)，鉸點(diǎn)在支柱上滑動(dòng)，水平橫桿作升降運(yùn)動(dòng)（鉸點(diǎn)指機(jī)械設(shè)備中鉸鏈或者裝置臂的連接位置，通常用一根銷軸將相鄰零件連接起來(lái)，使零件之間可圍繞鉸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）.（1）設(shè)劣弧的長(zhǎng)為，求水平橫桿的長(zhǎng)和離水平地面的高度（用表示）；（2）在升降過(guò)程中，求鉸點(diǎn)距離的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）軌道圓心為，圓的半徑為1，劣弧的長(zhǎng)為時(shí)，有，由三角函數(shù)表示出和的長(zhǎng)；（2）證明出，則，通過(guò)換元利用基本不等式求出最大值.【小問(wèn)1詳解】記軌道圓心為，則，設(shè)劣弧的長(zhǎng)為，則，得，.【小問(wèn)2詳解】由已知，，，，則，又，所以，則，令，有，.則，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，所以鉸點(diǎn)距離的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求的最大值時(shí)，證明，由已知的和，有，通過(guò)換元，有，借助基本不等式可求最大值.22.已知函數(shù).（1）用單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，滿足，且.①求證：；②求的值（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）.【答案】（1）證明見(jiàn)解