《基本不等式（一）》教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊教案】

基本不等式（一）

?教學(xué)目標

1.理解基本不等式而<處乎3>0,6>0）,會利用不等式性質(zhì)證明，發(fā)展邏輯推

理素養(yǎng)；

2.了解基本不等式的幾何解釋，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；

3.結(jié)合具體實例，形成用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題的基本模型,

發(fā)展數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

?教學(xué)重難點

教學(xué)重點：基本不等式的定義及運用基本不等式解決簡單的最值問題.

教學(xué)難點：基本不等式的證明和運用基本不等式求最值.

?課前準備

PPT課件，及GEOGEBRA制作的動畫課件.

?教學(xué)過程

一、整體感知

問題1：請同學(xué)們閱讀課本第44頁，說一說今天我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？在不等

式中起著怎樣的作用？

師生活動：學(xué)生自主閱讀課本，思考并回答，教師給予簡單總結(jié).

預(yù)設(shè)答案：類比代數(shù)式運算的研究，學(xué)習(xí)了一般運算之后，就要探索其特殊關(guān)系，這些

特殊關(guān)系往往具有重要作用，比如乘法公式等等.那么學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，我們就要嘗試

探索一些特殊的不等式一一基本不等式.

它是一種重要而基本的不等式類型，與乘法公式在代數(shù)運算的地位一樣，在解決不等式

問題中有重要的作用，它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因為它可以作為不等式論的

基本定理，成為支撐其他許多非常重要結(jié)果的基石.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生從整體上把握本節(jié)內(nèi)容，了解基本不等式在解決不等式問題有重要的

作用.

二、新知探究

1.基本不等式的定義

問題2：閱讀課本，思考：什么是基本不等式？它是怎樣得到的？

師生活動：學(xué)生閱讀課本回答，教師總結(jié)：基本不等式是將上節(jié)課所學(xué)的重要不等式

層+6222"中用石，n代替a,b并變形得到的，并板書：4ab<^.

2

預(yù)設(shè)答案：通常稱J石〈巴心（a>0,6>0）為基本不等式.其中"2叫做正數(shù)a,b

22

的算術(shù)平均數(shù)，J益叫做a,b的幾何平均數(shù).

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一類重要不等式：

Va,b￡R,有序+萬222而，當且僅當時，等號成立.

特別地，如果a>0,b>0,用々，物代替上式中的a,b可得J不芋，當且僅當a=b

時，等號成立.

追問：不等式中a,6的范圍是什么？它和原不等式中的范圍一樣嗎？

師生活動：學(xué)生自主反思后回答，a,b均為非負數(shù)，如果a,人中有負數(shù)，該不等式不

成立.教師指出基本不等式的定義要求a,b均為正數(shù).

預(yù)設(shè)的答案：a，b均為非負數(shù).只有a,6均為非負數(shù)，才能用血,后代替

中的a,b.

設(shè)計意圖：通過上一節(jié)的重要不等式得到基本不等式，同時明確兩個不等式之間的聯(lián)系，

通過分析其特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，進一步加深對其的理解.

2.基本不等式的證明

問題3：你能否利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？請你試一試。

師生活動：學(xué)生根據(jù)兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，用作差比較證明，教師給與肯定.

追問1：在前面我們學(xué)習(xí)過充分條件和必要條件，你能否從所證明的式子出發(fā)，尋找使

不等式成立的充分條件，從而形成證明思路?

師生活動：師生共同分析，要證明/石〈色心，只需證明。+622面，從而只需證

2

a+b-14ab>0,只要證（筋-新產(chǎn)》0,而（&-斷/N0顯然成立.教師指出只要把過

程倒過來，就可證明出基本不等式了，并要求學(xué)生自己寫出證明過程.

預(yù)設(shè)答案：要證?

2

要證①，只要證<a+b.②

要證②，只要證14ab-a-b<0.③

要證③，只要證_（右-揚2〈0④

要證④，只要證—V^)2之o.⑤

顯然，⑤成立，當且僅當a=b時，⑤中的等號成立.

每一個“只要證”都是“要證”成立的充分條件，那么只要把過程倒過來，就可直接推

出基本不等式了.

追問2：上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？

師生活動：學(xué)生對照自己所寫的證明分別回答每一步的依據(jù).

預(yù)設(shè)答案：第一步依據(jù)不等式性質(zhì)4,第二步依據(jù)不等式性質(zhì)3,第三步依據(jù)完全平方

公式，第四步依據(jù)不等式性質(zhì)4.

追問3：上述證明叫做“分析法”.你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？

師生活動：學(xué)生討論后回答.

預(yù)設(shè)答案：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使

它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、

定理、定義、公理等）為止.分析法常用于證明已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,

證明中需要哪些知識不太明確具體的情況.這時可以嘗試從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步

反推，尋求使當前命題成立的充分條件.

追問4：根據(jù)教科書上的證明過程，你能說說分析法的證明格式是怎樣的嗎？

師生活動：學(xué)生思考后回答.

預(yù)設(shè)答案：分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法

在書寫過程中必須有相應(yīng)的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格

式，當推導(dǎo)到一個明顯成立的條件之后，指出“顯然XXX成立”.

設(shè)計意圖：利用不等式的性質(zhì)，用分析法證明基本不等式，同時引導(dǎo)學(xué)生認識分析法的

證明過程和證明格式，提高學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.基本不等式的幾何解釋

問題4：如圖，是圓的直徑，點C是上一點，AC=a,BC=b,過點C作垂直于

的弦DE,連接AD,你能利用這個圖形，得出基本不等

式的幾何解釋嗎？/------

師生活動：如圖1,連接0D,教師引導(dǎo)學(xué)生先尋找圖中的不//\

等關(guān)系，利用動畫，觀察從弦DE長和圓的直徑AB這兩個幾何元4f------?cPT7

素在變化中的不等關(guān)系，及半弦CDWOD并將此不等關(guān)系用符\/

號表示.學(xué)生獨立思考，并說出思路：半徑。。為止,利用射團E

2圖1

影定理可得弦DE長的一半C。為癡，由CDKOD,得到而《生心.教師評價并總

2

結(jié)，基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任意一條弦”得到解釋.當且僅當弦。E過圓心

時，二者相等.

預(yù)設(shè)答案：如圖1,可證△ACZJSADCB,因而CZ)=J石.由于CD小于或等于圓的半

徑，用不等式表示為疝〈漢心.顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當。=6時，上述

2

不等式等號成立.基本不等式的幾何解釋：圓的半徑不小于任意一條弦的長度的一半.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生觀察圖形，先將圖形中的不等關(guān)系找出來，再用代數(shù)語言表示，從而

獲得基本不等式的幾何解釋，提高學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的核心素養(yǎng).

4.基本不等式的簡單應(yīng)用

例1已知x>0,求x+'的最小值.

追問：求解的依據(jù)什么？怎樣應(yīng)用？

師生活動：教師通過追問引導(dǎo)學(xué)生分析，明確求解的依據(jù)是基本不等式，再引導(dǎo)學(xué)生將

問題與公式對比，找到x+工和基本不等式的聯(lián)系，讓學(xué)生獨立思考后，進行書寫，教師基

X

于學(xué)生書寫的不規(guī)范進行糾正.

預(yù)設(shè)的答案：因為x>0,所以％+工221%,=2,

X\X

當且僅當了=工時，即f=l,廣1時，等號成立.因此最小值為2.

X

變式：(1)已知無上2,求x+工的最小值；

X

(2)求x+工的最小值.

X

師生活動：學(xué)生獨立完成。教師依據(jù)學(xué)生的解答或困難，對比例1分析其求解中存在的

問題，并用軟件展示函數(shù)尸工+工的讓學(xué)生觀察。

X

追問1:比較三個問題，你能總結(jié)什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注

意什么？

師生活動：學(xué)生自主反思后，發(fā)表自己的意見，相互補充，形成共識.教師將討論結(jié)果

進行匯總，并進行總結(jié)，明確若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)積為定值，可以利用基本不等式求

和的最小值；若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)和為定值，可以利用基本不等式求積的最大值.

在利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”的條件.

設(shè)計意圖：通過典例分析，讓學(xué)生掌握利用基本不等式解決哪些代數(shù)式的最值問題，及

在利用不等式時應(yīng)注意的三個條件，在具體情境中理解基本不等式，為學(xué)生求解代數(shù)式的最

值問題提供示范.同時，為下一道例題應(yīng)用基本不等式求最值的代數(shù)式提供范例.

例2已知x,y都是正數(shù)，求證：

(1)如果積孫等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2折；

(2)如果和尤+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值工$2.

4

師生活動：學(xué)生思考并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善.教師總結(jié)用基本不等

式解決最值問題有兩個基本模型：“兩個正數(shù)的積為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，求它們

的和的最小值”，或者“兩個正數(shù)的和為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，求它們的積的最大

值”.

預(yù)設(shè)答案：因為x,y都是正數(shù)，所以字2而.

(1)當積犯等于定值P時，225,所以x+

2

當且僅當時，等號成立.則當時，和x+y有最小值2行.

(2)當和x+y等于定值S時，所以孫W；S2,

當且僅當行〉時，等號成立.則當x=y時，積孫有最大值工底

4

設(shè)計意圖：本題是例1的總結(jié)和提升，看似簡單，但是給出了用基本不等式能夠解決的

兩個數(shù)學(xué)模型，為用基本不等式解決實際問題創(chuàng)造了條件.提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型的思想.

三、歸納總結(jié)

問題5本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了基本不等式，請同學(xué)們回顧今天所學(xué)內(nèi)容，思考以下問