備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學第一輪題型歸納與解題 考點32 數(shù)列求和8種常見考法歸類（原卷版+解析）

考點32數(shù)列求和8種常見考法歸類考點一公式法求和考點二分組轉(zhuǎn)化法求和等差+等比型求和等差（等比）+裂項絕對值求和（分段求和）奇偶型求和正負相間求和(并項求和）考點三倒序相加法求和考點四錯位相減法求和（一）等差等比（二）等差/等比考點五裂項相消法求和（一）等差型（二）無理型（三）指數(shù)型（四）對數(shù)型（五）冪型（六）三角函數(shù)型（七）通項與前n項和、前n項積關(guān)系型（八）正負相間型裂項（九）先放縮后裂項求和考點六插入或構(gòu)造新數(shù)列求和考點七利用周期求和考點八數(shù)列求和的實際應(yīng)用（一）分期付款（二）產(chǎn)值增長（三）其他模型1.公式法公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③數(shù)列前項和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差數(shù)列中，；（6）等比數(shù)列中，.2.分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和．注：①形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減②形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減③形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．注：（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和(3)正負相間求和：①奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。注：在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3.倒序相加法如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關(guān)系，因為有時這種關(guān)系比較隱蔽.注：倒序求和，多是具有中心對稱的4.錯位相減法錯位相減求和方法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；(2)基本步驟(3)四步法用錯位相減法求數(shù)列前n項和過程可概括為“一加、二乘、三減、四除”八字,以為例第一步——“一加”.“一加”,即將數(shù)列的各項展開相加,對于數(shù)列bn有第二步——“乘”.“二乘”,即對數(shù)列的每一項都乘上等比數(shù)列的公比,對于bn=n3n,包含的等差數(shù)列的通項為n,等比數(shù)列的通項為第三步—“減”.“三減”,用“一加”所得等式減去“二乘”所得等式,相減過程注意錯位,即Tn第四步——“四除”.“四除”,將“三減”所得等式的兩邊同時除以相同系數(shù),再整理結(jié)果,可得Tn(4)注意事項：①注意題目類型,特別是數(shù)列中等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形;②在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；③若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則需要討論公比為1和不為1兩種情形.④作差后，等式右邊有第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成；⑤運算時，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導(dǎo)致錯誤．(5)通法探究即萬能公式從上述對錯位相減法的構(gòu)建過程的探究中可知,該過程較為固定,故可將其整理為適用的萬能公式,后續(xù)直接代人即可求解.即對于可分為等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式的數(shù)列Cn(通項公式Cn=(a?n+b)qn已知bn=n3n,變形可得bn=13n.5.裂項相消法裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準確裂項和消項．(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項在利用裂項相消求和時應(yīng)注意：善于識別裂項類型（1）在把通項裂開后，是否恰好能利用相應(yīng)的兩項之差，相應(yīng)的項抵消后是否只剩下第一項和最后一項，或者只剩下前邊兩項和后邊兩項，有時抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面剩兩項,或者前面剩幾項,后面也剩幾項;（2）對于不能由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和公式直接求和問題，一般需要將數(shù)列的結(jié)構(gòu)進行合理的拆分，將通項裂項后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差或系數(shù)之積與原通項相等.轉(zhuǎn)化成某個新的等差或者等比數(shù)列進行求和。應(yīng)用公式時，要保證公式的準確性，區(qū)分是等差還是等比數(shù)列的通項還是前n項和公式。（3）使用裂項法求和時，要注意正負相消時消去了哪些項保留了哪些項，切不可漏寫末被消去的項，末被消去的項前后對稱的特點，漏掉的系數(shù)裂項過程中易出現(xiàn)丟項或者多項的錯誤，造成計算結(jié)果上的錯誤，實質(zhì)上也是造成正負相消是此法的根源目的。(4)常見的裂項技巧①等差型等差型是裂項相消法中最常見的類型，也是最容易掌握的。設(shè)等差數(shù)列的各項不為零，公差為，則，另外常見的類型有：（1）特別注意拓展：（3）分式的裂項：解答過程通過在分母上“減項”實現(xiàn)了通項的升冪，從而達到把通項裂項的目的。（4）如：（5）（6）整式的裂項：解答過程可以通過“增項”實現(xiàn)了通項的升冪，從而達到將通項進行裂項的目的，具體可使用待定系數(shù)法求參數(shù).（7）（8）②無理型該類型的特點是，分母為兩個根式之和，這兩個根式的平方差為常數(shù)，然后通過分母有理化來達到消項的目的，有時在證明不等式時，常常把分母放縮成兩個根式之和，來達到消項化簡的目的。常見的有eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=特別注意（3）（4）（5）③指數(shù)型由于，因此一般地有常見的有：（1）（2）（3）差指綜合類型（4）（5）（6）（7）（8）（9），設(shè)，易得，于是（10）④對數(shù)型由對數(shù)的運算法則可知：若則⑤冪型（1）（2）（3）⑥正負相間型裂項（1）形如型，可構(gòu)造，化為，利用正負相間裂項相消求和（2）形如型，可構(gòu)造，化為利用正負相間裂項相消求和。注意構(gòu)造過程中指數(shù)冪的運算。⑦三角型（1）（2）（3）（4），則⑧通項與前n項和關(guān)系型利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系裂項，如數(shù)列的通項可化為⑨常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．6.數(shù)列應(yīng)用問題常見模型(1)單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr).(2)復(fù)利公式：利息按復(fù)利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x.(3)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x，總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x.(4)遞推型：有an＋1＝f(an)與Sn＋1＝f(Sn)兩類.(5)數(shù)列與其他知識綜合，主要有數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)(含三角函數(shù))、數(shù)列與解析幾何等.考點一公式法求和1．（2023·全國·高三專題練習）求數(shù)列的通項公式為；設(shè)為數(shù)列的前項和，求使成立的的取值集合.2．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為．已知，且．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)求使成立的正整數(shù)的最大值.考點二分組轉(zhuǎn)化法求和（一）等差+等比型求和4．（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.6．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.8．（2023秋·山西呂梁·高三統(tǒng)考期末）已知正項等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：．9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．（三）絕對值求和（分段求和）10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．11．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．12．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，設(shè)，求的最小值.（四）奇偶型求和13．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)，且，則________．14．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項.(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項的和.15．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前40項和.16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項和．17．（2023·天津和平·耀華中學校考二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．18．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，已知，為，的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和；(3)若求數(shù)列的前2n項和（五）正負相間求和（并項求和）19．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求．20．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記，求.21．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求.23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，其前n項和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項．24．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項和．25．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．考點三倒序相加法求和26．（2023·全國·高三專題練習）已知，等差數(shù)列的前項和為，且，則的值為___________.27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則______．28．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.29．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項公式．30．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，則的前n項和為______.考點四錯位相減法求和（一）等差等比31．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.32．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求的值．33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為是與的等比中項，___________.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.34．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．35．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.36．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前n項和為，且______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．37．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W?？级＃┮阎獢?shù)列和等差數(shù)列滿足，且當時，.(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前項和.（二）等差/等比38．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎黜棡檎龜?shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項的和．39．（2023·全國·高三對口高考）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，若對任意正整數(shù)，均有，則數(shù)列的前項和________．40．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.41．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.考點五裂項相消法求和（一）等差型42．（2023·北京西城·北師大實驗中學校考三模）已知是數(shù)列的前項和，且對任意的正整數(shù)，都滿足：，若，則________，______________．43．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.44．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.45．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項和，證明：.46．（2023·福建廈門·廈門外國語學校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．47．（2023·全國·高三專題練習）記為正項數(shù)列的前n項和．已知，當時，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．（二）無理型48．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當時，．49．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．50．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.（三）指數(shù)型51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知正項數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.52．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求，及的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.53．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．54．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列前項積為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.55．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．56．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？紝ｎ}練習）數(shù)列各項均為正數(shù)，數(shù)列的前n項和為，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和Tn.57．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非零數(shù)列，點在函數(shù)的圖像上，則數(shù)列的前2023項的和為（

）A． B．C． D．（四）對數(shù)型58．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項為2，且滿足（且），．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求的前n項和．59．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.（五）冪型60．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.61．（2023·全國·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.（六）三角函數(shù)型62．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，為的前n項和，若，則的范圍為_______________．63．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：對于任意有，且，若，，數(shù)列的前n項和為，則________．64．（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）已知2n＋2個數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個數(shù)為1，第2n＋2個數(shù)為8，設(shè)．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項和．（七）通項與前n項和、前n項積關(guān)系型65．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.66．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2023項的和M．67．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.68．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．69．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項的積為，證明：．（八）正負相間型裂項70．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預(yù)測）已知正項數(shù)列，其前項和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項和，設(shè)，若對任意恒成立，則的最小值是___________.71．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.72．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.73．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的前項和．74．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是等差數(shù)列，其前項和為（），為等比數(shù)列，公比大于1．已知，，，．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和；(3)設(shè)，求證：．（九）先放縮后裂項求和75．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．76．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，.記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．77．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)求證：78．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，（其中）．(1)求證：；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．考點六插入或構(gòu)造新數(shù)列求和79．（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證數(shù)列的前項和.80．（2023·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．81．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足．將數(shù)列與的公共項按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．(1)證明：(2)求數(shù)列的前n項和．82．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．83．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前100項和.84．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯(lián)考階段練習）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)能否從中選出以為首項，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請找出公比最小的一組，寫出此等比數(shù)列的通項公式，并求出數(shù)列的前項和；若不能，請說明理由.考點七利用周期求和85．（2023·全國·高三專題練習）斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準晶體結(jié)構(gòu)?化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．269586．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，，，，，，，，，，，，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，則的值為（

）．A． B． C． D．87．（2023秋·河北保定·高三?？计谀┮阎獢?shù)列滿足且，為數(shù)列的前n項和，則=________．88．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．89．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.考點八數(shù)列求和的實際應(yīng)用（一）分期付款90．（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計算，則該顧客每個月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．91．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計算的基點分別是存期的起點和終點.例如，在復(fù)利計息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱為期末的終值，稱為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價值為.現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率，預(yù)計第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.（精確到百元）參考數(shù)據(jù)：（二）產(chǎn)值增長92．（2023·全國·高三專題練習）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達到800萬元的目標，每年應(yīng)扣除的消費資金至多為（

）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．4493．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進行技術(shù)改造,預(yù)測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術(shù)改造的年純利潤為萬元;進行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預(yù)測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤?94．（2023·全國·高三專題練習）從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，2021年投入資金1000萬元，以后每年投入比上年減少.預(yù)測顯示，2021年當?shù)芈糜螛I(yè)收入為300萬元，以后每年旅游業(yè)收入比上年增加20萬元.根據(jù)預(yù)測，解答以下問題：(1)從2021年至2030年，該地十年的旅游業(yè)收入共計多少萬元？(2)從哪一年起該地的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入？（三）其他模型95．（2023·高三課時練習）某研究所計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，且每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列.已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要______萬元.96．（2023·全國·高三專題練習）角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需要經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_______步雹程；②若；則m所有可能取值的和為_______．

考點32數(shù)列求和8種常見考法歸類考點一公式法求和考點二分組轉(zhuǎn)化法求和等差+等比型求和等差（等比）+裂項絕對值求和（分段求和）奇偶型求和正負相間求和(并項求和）考點三倒序相加法求和考點四錯位相減法求和（一）等差等比（二）等差/等比考點五裂項相消法求和（一）等差型（二）無理型（三）指數(shù)型（四）對數(shù)型（五）冪型（六）三角函數(shù)型（七）通項與前n項和、前n項積關(guān)系型（八）正負相間型裂項（九）先放縮后裂項求和考點六插入或構(gòu)造新數(shù)列求和考點七利用周期求和考點八數(shù)列求和的實際應(yīng)用（一）分期付款（二）產(chǎn)值增長（三）其他模型1.公式法公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③數(shù)列前項和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差數(shù)列中，；（6）等比數(shù)列中，.2.分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和．注：①形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減②形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減③形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．注：（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和(3)正負相間求和：①奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。注：在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3.倒序相加法如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關(guān)系，因為有時這種關(guān)系比較隱蔽.注：倒序求和，多是具有中心對稱的4.錯位相減法錯位相減求和方法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；(2)基本步驟(3)四步法用錯位相減法求數(shù)列前n項和過程可概括為“一加、二乘、三減、四除”八字,以為例第一步——“一加”.“一加”,即將數(shù)列的各項展開相加,對于數(shù)列bn有第二步——“乘”.“二乘”,即對數(shù)列的每一項都乘上等比數(shù)列的公比,對于bn=n3n,包含的等差數(shù)列的通項為n,等比數(shù)列的通項為第三步—“減”.“三減”,用“一加”所得等式減去“二乘”所得等式,相減過程注意錯位,即Tn第四步——“四除”.“四除”,將“三減”所得等式的兩邊同時除以相同系數(shù),再整理結(jié)果,可得Tn(4)注意事項：①注意題目類型,特別是數(shù)列中等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形;②在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；③若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則需要討論公比為1和不為1兩種情形.④作差后，等式右邊有第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成；⑤運算時，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導(dǎo)致錯誤．(5)通法探究即萬能公式從上述對錯位相減法的構(gòu)建過程的探究中可知,該過程較為固定,故可將其整理為適用的萬能公式,后續(xù)直接代人即可求解.即對于可分為等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式的數(shù)列Cn(通項公式Cn=(a?n+b)qn已知bn=n3n,變形可得bn=13n.5.裂項相消法裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準確裂項和消項．(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項在利用裂項相消求和時應(yīng)注意：善于識別裂項類型（1）在把通項裂開后，是否恰好能利用相應(yīng)的兩項之差，相應(yīng)的項抵消后是否只剩下第一項和最后一項，或者只剩下前邊兩項和后邊兩項，有時抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面剩兩項,或者前面剩幾項,后面也剩幾項;（2）對于不能由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和公式直接求和問題，一般需要將數(shù)列的結(jié)構(gòu)進行合理的拆分，將通項裂項后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差或系數(shù)之積與原通項相等.轉(zhuǎn)化成某個新的等差或者等比數(shù)列進行求和。應(yīng)用公式時，要保證公式的準確性，區(qū)分是等差還是等比數(shù)列的通項還是前n項和公式。（3）使用裂項法求和時，要注意正負相消時消去了哪些項保留了哪些項，切不可漏寫末被消去的項，末被消去的項前后對稱的特點，漏掉的系數(shù)裂項過程中易出現(xiàn)丟項或者多項的錯誤，造成計算結(jié)果上的錯誤，實質(zhì)上也是造成正負相消是此法的根源目的。(4)常見的裂項技巧①等差型等差型是裂項相消法中最常見的類型，也是最容易掌握的。設(shè)等差數(shù)列的各項不為零，公差為，則，另外常見的類型有：（1）特別注意拓展：（3）分式的裂項：解答過程通過在分母上“減項”實現(xiàn)了通項的升冪，從而達到把通項裂項的目的。（4）如：（5）（6）整式的裂項：解答過程可以通過“增項”實現(xiàn)了通項的升冪，從而達到將通項進行裂項的目的，具體可使用待定系數(shù)法求參數(shù).（7）（8）②無理型該類型的特點是，分母為兩個根式之和，這兩個根式的平方差為常數(shù)，然后通過分母有理化來達到消項的目的，有時在證明不等式時，常常把分母放縮成兩個根式之和，來達到消項化簡的目的。常見的有eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=特別注意（3）（4）（5）③指數(shù)型由于，因此一般地有常見的有：（1）（2）（3）差指綜合類型（4）（5）（6）（7）（8）（9），設(shè)，易得，于是（10）④對數(shù)型由對數(shù)的運算法則可知：若則⑤冪型（1）（2）（3）⑥正負相間型裂項（1）形如型，可構(gòu)造，化為，利用正負相間裂項相消求和（2）形如型，可構(gòu)造，化為利用正負相間裂項相消求和。注意構(gòu)造過程中指數(shù)冪的運算。⑦三角型（1）（2）（3）（4），則⑧通項與前n項和關(guān)系型利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系裂項，如數(shù)列的通項可化為⑨常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．6.數(shù)列應(yīng)用問題常見模型(1)單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr).(2)復(fù)利公式：利息按復(fù)利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x.(3)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x，總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x.(4)遞推型：有an＋1＝f(an)與Sn＋1＝f(Sn)兩類.(5)數(shù)列與其他知識綜合，主要有數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)(含三角函數(shù))、數(shù)列與解析幾何等.考點一公式法求和1．（2023·全國·高三專題練習）求數(shù)列的通項公式為；設(shè)為數(shù)列的前項和，求使成立的的取值集合.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，解不等式即可.【詳解】由知：，且數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合為.2．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為．已知，且．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合條件得到，再利用等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論求出，再用分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）已知，①則當時，，②由①②可得：，，又，則，即，則，即，，則，又，則，所以為常數(shù)，即是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得：，即，則．3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)求使成立的正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由，兩式相除得到公比，再代入求得首項，然后利用通項公式求解；（2）利用等比數(shù)列前n項和公式得到，再解不等式即可.【詳解】（1）解：由題意得：等比數(shù)列的公比，又，所以，解得，所以；（2），令，解得，所以使得成立的正整數(shù)的最大值為3.考點二分組轉(zhuǎn)化法求和（一）等差+等比型求和4．（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列公式計算得到答案.（2）確定，再根據(jù)分組求和法結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】（1），故，故.（2），.5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由題意可得出，代入化簡即可求出，再由等差數(shù)列的通項公式即可得出答案.（2）選①，由（1）知，，由分組求和法求出；選②，由（1）知，，由裂項相消法求出；選③由，（1）知，，由錯位相減法求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列得，則，由，所以，化簡得：，解得（舍去）或，所以.（2）若選①，，所以；若選②，，所以；若選③，，令，則，兩式相減可得：，則，則.6．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）計算，確定，得到證明.（2）計算，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計算得到答案.【詳解】（1），則，，故是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列．（2），故，.7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，由，，再寫出通項公式即可；（2）由（1）得到，再利用分組求和即可.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為d，的公比為q，則，.所以，；（2）由（1）知，則，，.四、（二）等差（等比）裂項8．（2023秋·山西呂梁·高三統(tǒng)考期末）已知正項等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)，；(2)證明見解析【分析】（1）利用，，成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，寫出的通項公式，再利用，得到是公比為的等比數(shù)列，求出的通項公式；（2）利用分組求和及裂項相消法，得到，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因為，且，，成等比數(shù)列，所以，所以d＝3，所以．由，得，所以是公比為的等比數(shù)列，又，所以．（2），所以．因為，所以．9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求通項公式；（2）利用錯位相減法和裂項相消法求和.【詳解】（1）因為，所以當時，，故；當時，，作差，得，即，此式對也成立，故數(shù)列的通項公式為，．（2）由（1）知，，不妨令，且數(shù)列的前n項和，則，，作差，得，即．則，即數(shù)列的前n項和為.（三）絕對值求和（分段求和）10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，由題意可知，化簡得，解得，所以．（2）由（1）知：當時，；當時，，所以．11．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出的公差即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求出，討論當時，，；當時，，，寫成分段的形式即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因為，所以，當時，，此時，，當時，，此時，，綜上所述：.12．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，設(shè)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可直接求解；（2）先求出，然后得到，然后根據(jù)的單調(diào)性可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以當時，，所以；當時，，所以，所以，又滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，當時，；當時，；所以，當時，遞減，所以；當時，，設(shè)，則，令得，此時單調(diào)遞增，令得，此時單調(diào)遞減，所以在時遞減，在時遞增，而，，且，所以；綜上，的最小值為.（四）奇偶型求和13．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)，且，則________．【答案】1000【分析】分別寫出為奇數(shù)和為偶數(shù)的通項公式，發(fā)現(xiàn)為定值的規(guī)律，則分組求和進行求解．【詳解】函數(shù)，，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，，，故答案為：1000．14．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項.(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項的和.【答案】(1)1；(2)6108.【分析】（1）由已知求得，然后由等比中項定義求解；（2）由已知式得出奇數(shù)項加2后成等比數(shù)列，而偶數(shù)項等于它前面的奇數(shù)項加1，因此結(jié)合分組求和法、等比數(shù)列的前項和公式求解．【詳解】（1）由已知，，又是的比例中項，所以，即，顯然且，故解得；（2）是奇數(shù)時，，，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，．15．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前40項和.【答案】(1)(2)784【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)后，構(gòu)造等差數(shù)列即可；（2）將奇偶分開，分組求和即可.【詳解】（1）由題意易得，由可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.故，即.（2）由（1）知，.所以的前40項和.16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到，進而即可證明結(jié)論；（2）分奇偶項求和，奇數(shù)項用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項用裂項相消的方法求和，最后相加即可．【詳解】（1）當時，可得，當時，由，則，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為，所以，因為（常數(shù)），所以是一個等差數(shù)列．（2），所以，所以數(shù)列的前項和．17．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)條件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化簡證明；（3）根據(jù)數(shù)列的通項公式，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，即可證明.【詳解】（1）由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當n為奇數(shù)時，，，當n為偶數(shù)時，，，設(shè)，，兩式相減得得，所以，所以．18．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，已知，為，的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和；(3)若求數(shù)列的前2n項和【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由等差數(shù)列定義以及等比中項的概念可解得公差，可求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可得；（3）根據(jù)數(shù)列的通項公式可采用分組求和，再利用裂項和等比數(shù)列前n項和公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)公差為且，則，即，解得或（舍去），所以．即數(shù)列的通項公式為.（2），所以，即數(shù)列的前n項和（3）由可得．所以，數(shù)列的前2n項和.（五）正負相間求和（并項求和）19．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，由得，兩式相減則可求等差數(shù)列的公差，時，可求首項，從而可求其通項公式；（2）根據(jù)已知可求，再由并項求和法求和即可．【詳解】（1）由已知為等差數(shù)列，記其公差為d．①當時，，兩式相減可得，解得，②當時，，所以，所以．（2）由（1）知，．20．（2023·廣東深圳·校考二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式得到方程，求出，即可求出通項；（2）由（1）可得，在分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，利用并項求和法計算可得.【詳解】（1）因為是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由題意知，，所以．當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，．綜上．21．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分組求和法計算可得．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當時，有，當時，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．22．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求.【答案】(1)；(2)1024144.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出的通項公式.（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求解作答.【詳解】（1）數(shù)列滿足：，，，當時，，數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，因此，即當為偶數(shù)時，，當時，，即，由，得，因此，即當為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，.23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，其前n項和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項．【答案】(1)(2)數(shù)列的第二項和第四項都為其最大項，且.【分析】（1）結(jié)合與的關(guān)系，由條件可得，利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列求和公式可求.（2）由條件求，結(jié)合，證明，再求出數(shù)列的前n項和，由此確定，討論知最大項為偶數(shù)項，利用導(dǎo)數(shù)分析數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項.【詳解】（1）因為，所以，所以，故，所以，，，，，所以；（2）因為，所以，又，所以，由（1），所以，，所以，所以，，所以，當時，，所以，又，所以，又，所以，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的最大項一定為偶數(shù)項，當為偶數(shù)時，，設(shè)，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，且為偶數(shù)時，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，且為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，又，，所以數(shù)列的第二項和第四項都為其最大項，且.24．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項公式代入，將展開并項求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因為為正項數(shù)列的前n項和，所以，因為，所以，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.（2），.25．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項和求和公式可求得；根據(jù)等比數(shù)列通項公式可求得；（2）由（1）可得，進而得到；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，采用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式和裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1），數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，解得：，，；，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得：，即，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上所述：.考點三倒序相加法求和26．（2023·全國·高三專題練習）已知，等差數(shù)列的前項和為，且，則的值為___________.【答案】【分析】先求出，并判斷，（且），再由函數(shù)得到，最后求的值即可.【詳解】解：因為等差數(shù)列的前項和為，且，所以，解得：，則，（且）因為，則，所以設(shè)，則，由上述兩式相加得：，則故答案為：1009.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和、倒序相加法，是中檔題.27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則______．【答案】4043【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合倒序相加法求和，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，設(shè)，則兩式相加，可得，所以.故答案為：.28．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.【答案】46【分析】先證，由倒序相加法可得通項，然后可解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點，其中，且，則有，從而當時，有：，當時，，，相加得所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.29．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.【詳解】；時，，，相加得，所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；30．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，則的前n項和為______.【答案】【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項和.【詳解】設(shè)的前n項和為，則，又，故，故，故答案為：.考點四錯位相減法求和（一）等差等比31．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項不為，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項和為.32．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求數(shù)列的通項，再用累加法求數(shù)列的通項公式；（2）由數(shù)列的通項，利用裂項相消法求前n項和為.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，

則；又符合上式，所以；（2）∵，

∴.33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為是與的等比中項，___________.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，等差數(shù)列通項公式，求和公式及等比中項的性質(zhì)得到方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）利用錯位相減法計算可得.【詳解】（1）選條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.選條件②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.選條件③：因為是與的等比中項，所以，由，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）令，則①，②，①②得，所以.34．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而求出通項公式；（2）由錯位相減法得到，進而得到不等式，即恒成立，分三種情況，得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，∴，當時，由①，得②，①－②得，，∴，∴，又，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴．（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由是恒成立，即恒成立，不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以．35．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；（2）利用錯位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當時，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因為對任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.36．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前n項和為，且______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①或③，已知和的關(guān)系，求解即可；若選②設(shè)出公比求解即可；（2）用錯位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1）若選①：當時，，解得；當時，，，兩式相減得：，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列.所以.若選②：都是等比數(shù)列，設(shè)的公比為：，因為是等比數(shù)列，，即，解得（舍去）或，因為，所以.若選③：當時，，解得；當時，，，兩式相減得：，所以所以，當時，符合，故.（2）由（1）可知：，所以，所以數(shù)列的前n項和為：，，兩式相減得：，所以，所以，所以.37．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W?？级＃┮阎獢?shù)列和等差數(shù)列滿足，且當時，.(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)乘公比錯位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，由得：由得：所以：，所以：所以：當時，，又因為不滿足，所以：.（2），當時，；當時，，①，②①②得：，所以：，又也滿足，綜上：.（二）等差/等比38．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎黜棡檎龜?shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）利用錯位相減法即可求出結(jié)果.【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當時，，得，，則，所以是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．（2）①所以②由得：，所以．39．（2023·全國·高三對口高考）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，若對任意正整數(shù)，均有，則數(shù)列的前項和________．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質(zhì)求出，得到，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】∵為等差數(shù)列且，∴，又，∴，∴，①，∴②，由①②，得，，．故答案為：40．（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式列方程求基本量，即可得通項公式；（2）應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求和即可.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，故，所以，而，則，所以，則，可得，故.（2）由（1）知：，所以，則，所以，故.41．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，可以推導(dǎo)出為等比數(shù)列，再求通項公式即可；（2）使用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）∵，則，∴當時，，以上兩式相減，得，即（）.又當時，，即，∴，∴，∴（），∵，∴（），∴數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，①，①,得②，①②，得，∴.考點五裂項相消法求和（一）等差型42．（2023·北京西城·北師大實驗中學?？既＃┮阎菙?shù)列的前項和，且對任意的正整數(shù)，都滿足：，若，則________，______________．【答案】【分析】直接利用條件可遞推出第三項，利用累加法可得數(shù)列通項再用裂項相消法求和即可.【詳解】由和可得：即；由可得：，累加得，所以.故答案為：，43．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是以為首項，為等差的等差數(shù)列，即可求出通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.【詳解】（1）由，得，當時，，解得，當時，，化簡得，∴數(shù)列是以為首項，為等差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，∴數(shù)列的前項和.∵，∴單調(diào)遞增，∴，∵，∴，若使得對一切恒成立，則，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.44．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）對裂項，用累加法求數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項為，因為所以解得所以.（2）由題設(shè)，所以當時，，將上式累加可得：，又，則.又，也適合上式，故.45．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，從而利用等差數(shù)列通項公式求出，再利用求出答案；（2）裂項相消法求和，并證明.【詳解】（1）因為，則，所以，可得，當時，，又因為適合上式，因此.（2）由（1）可得：，故.46．（2023·福建廈門·廈門外國語學校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項公式；（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項求和即可得.【詳解】（1）證明：因為，所以，即所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.47．（2023·全國·高三專題練習）記為正項數(shù)列的前n項和．已知，當時，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，，，兩式作差可證得是首項為，公差為的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可求得，由分組法求和和裂項相消求和求出數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）由于當時，，所以，，兩式作差得：，，由于，所以，當時，，解得，所以當時，，又，符合上式，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以．（2）由于，所以，由（1）知，則，則，故.（二）無理型48．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式列式，求出和，可得；（2）分母有理化化簡，利用裂項求和求出，作差比較可證不等式成立.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即，解得，所以.（2），所以，所以，所以，當時，，所以當時，.49．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項公式與前項和；（2）根據(jù)所選條件得到的通項公式，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設(shè)公差為，由可得，所以，解得，所以的通項公式為，則.（2）若選①；則，所以；若選②；則，則；若選③，則，所以.50．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）變形，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可求解；（2）根據(jù)題意解得，，由此證明.【詳解】（1），又，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，，，.（三）指數(shù)型51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知正項數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得;（2）根據(jù)裂項求和法可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.52．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求，及的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式和的值，即可求出，及的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，得出數(shù)列的前項和，由不等式的恒成立，還可求出的最小值.【詳解】（1）由題意，在數(shù)列中，，，當時，，當時上式也符合，∴，，.∴當時，；當時，上式也符合.∴的通項公式為.（2）由題意及（1）得，,在數(shù)列中，，數(shù)列中，,∴.∵，∴.∵.∴的最大值為，.∴的最小值為.53．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.【詳解】（1）當時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當時，，故.54．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列前項積為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂項相消求和法求得.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，即：，又，，.又，當時，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.55．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得出，再計算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出