第十七章勾股定理本章小結(jié)人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

本章小結(jié)第十七章勾股定理?考點1

勾股定理及其應(yīng)用典例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長為(

)A．26 B．18 C．20 D．21C考點梳理典例2一架長5m的梯子AB，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底BO＝3m．如果梯子的頂端沿墻下滑1m，梯子的底端在水平方向也滑動1m嗎？用所學(xué)知識，論證你的結(jié)論．解：梯子的底端也滑動1

m．證明如下：在Rt△AOB中，BO＝3，AB＝5，

在Rt△DCO中，OC＝3，DC＝5，

∴BD＝4－3＝1，即梯子底端也滑動1

m．典例3已知等腰三角形底邊上的高為4，周長為16，求這個三角形的面積．

解：如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底邊BC上的高，答圖設(shè)BD＝x．∵△ABC的周長為16，

在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．∴BC＝2BD＝2×3＝6．

是

A典例6由四條線段AB，BC，CD，DA所構(gòu)成的圖形，是某公園的一塊空地，經(jīng)測量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，若每平方米草皮需200元，則在該空地上種植草皮共需多少元？解：如圖，連接AC．答圖答：在該空地上種植草皮共需4

800元．

∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，

∵AB＝13，BC＝12，∴52＋122＝132，即AC2＋BC2＝AB2．∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°．

∴200×24＝4

800(元)．

證明：設(shè)AB＝4a，則AB＝AD＝CD＝BC＝4a．

∴DF＝CF＝2a，BE＝3a，CE＝a．

∵AF2＋EF2＝25a2，AE2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2．∴△AEF是直角三角形，∠AFE＝90°．∴AF⊥EF．

C課堂檢測2．如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是－1，點B表示的數(shù)是1，CB⊥AB于點B，且BC＝2，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)為

．

3．已知命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等”，則它的逆命題為“________________________

”，該逆命題是

命題(填“真”或“假”)．

假等，那么這兩個三角形全等如果兩個三角形的面積相

答：旗桿在離底部6

m處的位置斷裂．∴(16－x)2＝x2＋82，解得x＝6．∵AC2＝AB2＋BC2，AB＝x，AC＝16－x，BC＝8，在Rt△ABC中，∴AC＝16－x．∵AB＝x，AB＋AC＝16，解：如圖，設(shè)旗桿在離底部x

m的位置斷裂．答圖5．將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯內(nèi)，設(shè)筷子露出在杯子外面的長為hcm，則h的取值范圍是(

)A．0≤h≤12 B．12≤h≤13C．11≤h≤12 D．12≤h≤24C6．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，若小正方形的邊長為3，大正方形邊長為15，則一個直角三角形的面積是

．

54

7．一副直角三角尺按如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，求CD的長．解：如圖，過點B作BM⊥FD于點M．答圖在Rt△DEF中，∠F＝90°，∠E＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°．∴AB＝2AC＝20，

∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．

∴∠EDF＝45°．在Rt△BMD中，∠BMD＝90°，∴∠DBM＝90°－∠EDF＝45°．

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1．下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是(

)A．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝3 B．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5A章末檢測

D3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對應(yīng)邊分別是a，b，c，則下列式子成立的是(

)A．a(chǎn)2＋b2＝c2

B．a(chǎn)2＋c2＝b2

C．a(chǎn)2＋b2＝2c2

D．b2＋c2＝a2A4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2＋BC2＋AC2的值為(

)A．24 B．18 C．12 D．9B

C6．如圖，一艘輪船以16海里/小時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以12海里/小時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行．在離開港口2小時后，兩船相距(

)A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里D7．如圖，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，則以AB為邊長的正方形的面積為(

)A．36 B．64 C．40 D．100D

D9．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是(

)A．3cm B．5cm C．6cm D．8cmD

B二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)11．已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，則AC＝

．

12．如圖，一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前有

米．

24

3

13．如圖，某公園的一塊草坪旁邊有一條直角小路，公園管理處為了方便群眾，沿AC修了一條近路，已知AB＝40米，BC＝30米，則走這條近路AC可以少走

米．

20

14．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于點E，DE＝3，S△DAC＝6，則∠ACB的度數(shù)等于

．

90°15．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行

米．

10

16．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD．若E是AD的中點，則EC＝

．

1

三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，三角形的三邊分別為a，b，c．(1)若a＝5，b＝12，求c的值；(2)已知c＝25，b＝15，求a．解：(1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°．(3)∵252＝202＋152，即AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25．18．

如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．(1)求DC的長；(2)求AB的長；(3)求∠ACB的度數(shù)．(2)在Rt△ACD中，AC＝20，CD＝12，

解：(1)∵CD⊥AB，BC＝15，DB＝9，

∵∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋42＝32．∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝4米．∵∠DAE＝45°，19．如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點D到地面的垂直距離DE＝4米，求點A到墻壁BC的距離．解：在Rt△DAE中，

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上．(1)判斷△ACD的形狀，并說明理由；(2)求四邊形ABCD的面積．

∴△ACD為直角三角形，∠ACD＝90°．∴AC2＋CD2＝AD2．AD2＝12＋52＝26．CD2＝22＋22＝8，由題意，得AC2＝32＋32＝18，解：(1)△ACD為直角三角形，理由如下：(2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，

21．如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．求折痕AD的長．

∴BE＝AB－AE＝13－5＝8．由折疊的性質(zhì)，得AE＝AC＝5，設(shè)CD＝x，則DE＝x，BD＝12－x．∴∠AED＝∠C＝90°．∴△ABC為直角三角形，∠C＝90°．∴52＋122＝132，即

AC2＋CB2＝AB2．∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，解：如圖，折疊后點C與AB上的點E重合，連接DE．答圖

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，得解：使用安全．理由如下：∵BD＝0.8

m，∴OD＝1.5－0.8＝0.7(m)．在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，得

五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題12分，共24分)23．

臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

∴海港C受臺風(fēng)影響．∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍250

km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴△ABC是直角三角形．∴AC2＋BC2＝AB2．∵AC＝300

km，BC＝400

km，AB＝500

km，如圖，過點C作CD⊥AB于點D．解：(1)海港C受臺風(fēng)影響．理由如下：答圖

23．

臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(2)若臺風(fēng)移動的速度為20km/h