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數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)題型一解不含參數(shù)的一元二次不等式知識(shí)梳理一元二次不等式的概念一元二次不等式定義只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù),a≠0解集ax2+bx+c>0(a≠0)解集是使y=ax2+bx+c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合ax2+bx+c<0(a≠0)解集是使y=ax2+bx+c的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的取值集合ax2+bx+c≥0(a≠0)解集是使y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于或等于0的自變量x的取值集合ax2+bx+c≤0(a≠0)解集是使y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于或等于0的自變量x的取值集合課堂精講【例1】解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).解y=x2-5x-6課堂精講解y=(x-2)(x+3)【例1】解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).課堂精講解先轉(zhuǎn)化為一般形式【例1】解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).y=9x2-12x+4課堂精講解一元二次不等式的一般步驟(1)把一元二次不等式化為基本形式(二次項(xiàng)系數(shù)為正,右邊為0的形式);(2)計(jì)算Δ=b2-4ac,以確定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解;(3)有根求根;(4)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.課堂精煉【訓(xùn)練1】
解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.解課堂精煉【訓(xùn)練1】
解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.解課堂精煉【訓(xùn)練1】
解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.解③課堂精煉【訓(xùn)練1】
解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.解y=x2-6x+10數(shù)學(xué)題型二解含參數(shù)的一元二次不等式知識(shí)梳理解含參數(shù)的一元二次不等式,通常情況下,均需分類討論,常用的分類方法有三種:1.按
x2
項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類,即a>0,a=0,a<0.2.按判別式
的符號(hào)分類,即
>0,
=0,
<0.3.按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來(lái)分類,即x1<x2,x1=x2,x1>x2.;課堂精講解Δ=a2-16,下面分情況討論:(1)當(dāng)Δ<0,即-4<a<4時(shí),方程2x2+ax+2=0無(wú)實(shí)根,所以原不等式的解集為R.(2)當(dāng)Δ=0,即a=±4時(shí),若a=-4,則原不等式等價(jià)于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,則原不等式等價(jià)于(x+1)2>0,故x≠-1;(3)當(dāng)Δ>0,即a>4或a<-4時(shí),方程2x2+ax+2=0的兩個(gè)根為按判別式
的符號(hào)分類,即
>0,
=0,
<0.課堂精講解此時(shí)原不等式等價(jià)于(x-x1)(x-x2)>0,∴x<x1或x>x2.綜上,當(dāng)-4<a<4時(shí),原不等式的解集為R;當(dāng)a=-4時(shí),原不等式的解集為{x|x∈R,且x≠1};當(dāng)a>4或a<-4時(shí),原不等式的解集為按判別式
的符號(hào)分類,即
>0,
=0,
<0.課堂精講解原不等式等價(jià)于(x+1+a)(x+1-a)≤0.(1)當(dāng)-1-a<-1+a,即a>0時(shí),-1-a≤x≤-1+a;(2)當(dāng)-1-a=-1+a,即a=0時(shí),不等式即為(x+1)2≤0,∴x=-1;(3)當(dāng)-1-a>-1+a,即a<0時(shí),-1+a≤x≤-1-a.綜上,當(dāng)a>0時(shí),原不等式的解集為{x|-1-a≤x≤-1+a};當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x=-1};當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為{x|-1+a≤x≤-1-a}.按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來(lái)分類,即x1<x2,x1=x2,x1>x2.課堂精講解(1)當(dāng)a=0時(shí),不等式可化為x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集為{x|x>2}.(2)當(dāng)a≠0時(shí),方程ax2+(1-2a)x-2=0的兩根按
x2
項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類,即a>0,a=0,a<0.課堂精講解按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來(lái)分類,即x1<x2,x1=x2,x1>x2.課堂精講解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟課堂精煉解先按
x2
項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類,即a>0,a=0,a<0.再按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來(lái)分類,即x1<x2,x1=x2,x1>x2.課堂精煉解先按
x2
項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類,即a>0,a=0,a<0.再按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來(lái)分類,即x1<x2,x1=x2,x1>x2.數(shù)學(xué)題型三三個(gè)“二次”之間的關(guān)系知識(shí)梳理“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的關(guān)系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的
實(shí)根x1,x2,且x1<x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集
.
.
.ax2+bx+c<0(a>0)的解集
.
.
.{x|x<x1或x>x2}R{x|x1<x<x2}??課堂精講解借助一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)、二次方程之間的聯(lián)系解題,三者之間相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.課堂精講解借助一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)、二次方程之間的聯(lián)系解題,三者之間相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.課堂精講應(yīng)用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解題的思想一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)、方程之間存在著密切的聯(lián)系,即給出了一元二次不等式的解集,則可知不等式二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和相應(yīng)一元二次方程的根.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.課堂精煉解借助一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)、二次方程之間的聯(lián)系解題,三者之間相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.課堂小結(jié)1.(1)通過(guò)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).(2)借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).(3)通過(guò)會(huì)解一元二次不等式培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.對(duì)字母系數(shù)分類討論時(shí),要注意確定分類的標(biāo)準(zhǔn),而且分類時(shí)要不重不漏.一般方法是:(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí),按二次項(xiàng)系數(shù)等于零、大于零、小
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