2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 10-1-2　事件的關(guān)系和運(yùn)算 課件（57張）

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模知識(shí)梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標(biāo)03目錄CONTENTS01知識(shí)梳理·讀教材?

?在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事件：C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}；D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5}；E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}.問題

（1）在上述事件中，事件C1與事件C2的并事件是什么？（2）事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系？（3）事件C1與事件C2間有什么關(guān)系？（4）事件E與事件F間有什么關(guān)系？

?

?

?知識(shí)點(diǎn)

兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示包含A發(fā)生，B一定發(fā)生A?B?

?B包含A，A也包含BA＝B（兩事件相等）事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B?

?交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB?

?事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝??

?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω?

?提醒

互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系：①區(qū)別，兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：（?。┤羰录嗀發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；（ⅱ）若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；（ⅲ）事件A，B都不發(fā)生.而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)；②聯(lián)系，互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立.對(duì)于三個(gè)事件A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生如何用符號(hào)表示？同時(shí)發(fā)生如何表示？提示：至少有一個(gè)發(fā)生可表示為A∪B∪C（或A＋B＋C）；同時(shí)發(fā)生可表示為A∩B∩C（或ABC）.?

?1.打靶3次，事件Ai表示“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（

）A.全部擊中B.至少擊中1發(fā)C.至少擊中2發(fā)D.以上均不正確解析：A＝A1∪A2∪A3所表示的含義是A1，A2，A3這三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā).故選B.2.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，事件B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A.C＝A∩BB.C＝A∪BC.C?AD.C?B解析：記事件D＝{1枚硬幣正面朝上}，事件E＝{2枚硬幣正面朝上}，事件F＝{3枚硬幣正面朝上}，則A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，顯然C≠A∩B，C≠A∪B，C?B，C不含于A.故選D.3.擲一顆骰子，若事件A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A的對(duì)立事件為

?.

解析：擲一顆骰子，事件A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A的對(duì)立事件為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn).答案：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)02題型突破·析典例?

?題型一事件的包含關(guān)系的判斷【例1】

在擲骰子試驗(yàn)中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}.請(qǐng)判斷下列兩個(gè)事件的關(guān)系：（1）B

?H；（2）D

?J；

（3）E

?I；（4）A

?G.

解析

因?yàn)槌霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5包含出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)四種情況，所以事件B發(fā)生時(shí)，事件H必然發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I；又易知事件A與事件G相等，即A＝G.答案

（1）?

（2）?

（3）?

（4）＝通性通法

判斷事件之間的關(guān)系，主要判斷表示事件的兩集合間的包含關(guān)系.?

?擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，得到如下三個(gè)事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關(guān)系.解：當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，事件C一定發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，事件C一定發(fā)生，因此有A?C，B?C；當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定不發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，事件A一定不發(fā)生，因此事件A與事件B之間不存在包含關(guān)系.綜上，事件A，B，C之間的包含關(guān)系為A?C，B?C.題型二事件的運(yùn)算【例2】

盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”，事件B＝“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”，事件C＝“3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”，事件D＝“3個(gè)球中既有紅球又有白球”.問：（1）事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？解

（1）對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.（2）事件C與A的交事件是什么事件？解

（2）對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.通性通法進(jìn)行事件運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意的問題（1）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析；（2）在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理.?

?1.從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，設(shè)“這2個(gè)數(shù)的和大于4”為事件A，“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”

為事件B，則A∪B和A∩B包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（

）A.1；6B.4；2C.5；1D.6；1解析：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的樣本點(diǎn)有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個(gè).事件B包含的樣本點(diǎn)有：（1，3），（2，4），共2個(gè).所以事件A∪B包含的樣本點(diǎn)有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5個(gè)；事件A∩B包含的樣本點(diǎn)有：（2，4），共1個(gè).故選C.2.（多選）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，每次摸出一個(gè)球，設(shè)事件S＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，則（

）A.S?RB.R∩G＝MC.R∪G＝M

題型三互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例3】

（1）同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點(diǎn)且都不是6點(diǎn)”的對(duì)立事件為（

）A.一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是6點(diǎn)B.一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是4點(diǎn)C.至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)D.至多有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)解析

（1）同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個(gè)，“都不是5點(diǎn)且都不是6點(diǎn)”包含16個(gè)樣本點(diǎn)，其對(duì)立事件是“至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)”，故選C.（2）（多選）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（

）A.2個(gè)小球不全為紅球B.2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球C.2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球D.2個(gè)小球都為綠球解析（2）從裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個(gè)的口袋內(nèi)，一次任意取出2個(gè)小球，這兩個(gè)小球可能為2個(gè)紅色球、2個(gè)綠色球、2個(gè)藍(lán)色球、1個(gè)紅色1個(gè)藍(lán)色、1個(gè)紅色1個(gè)綠色、1個(gè)藍(lán)色1個(gè)綠色共6種情況，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有：2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球；2個(gè)小球都為綠球，而2個(gè)小球不全為紅球與事件2個(gè)小球都為紅色是對(duì)立事件；2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球包括2個(gè)紅色球、1個(gè)紅色1個(gè)藍(lán)色、1個(gè)紅色1個(gè)綠色，則選項(xiàng)C與“2個(gè)小球都為紅色”不互斥.故選B、D.通性通法辨析互斥事件與對(duì)立事件的思路（1）從發(fā)生的角度看：①在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生；②兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生.（2）從事件個(gè)數(shù)的角度看：互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件.?

?1.某人在打靶中，連續(xù)射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對(duì)立事件是（

）A.至少有一次中靶B.三次都不中靶C.恰有兩次中靶D.至少兩次中靶解析：至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯(cuò)誤；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B錯(cuò)誤；恰有兩次中靶，與至多有一次中靶不可能同時(shí)發(fā)生，但不對(duì)立，屬于互斥不對(duì)立事件，C正確；至少兩次中靶與至多有一次中靶為對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤.故選C.2.袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則：①恰有1個(gè)紅球和全是白球；②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球.在上述事件中，是對(duì)立事件的為

?.

解析：①是互斥不對(duì)立的事件，②是對(duì)立事件，③④不是互斥事件.答案：②?

?1.拋擲一枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A.A?BB.A＝BC.A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D.A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3解析：由題意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，則A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選C.2.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，事件A：命中環(huán)數(shù)大于8；事件B：命中環(huán)數(shù)大于5，則（

）A.A與B是互斥事件B.A與B是對(duì)立事件C.A?BD.A?B解析：事件A：命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故A?B.故選C.3.（多選）從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，有如下隨機(jī)事件：A＝“恰有一個(gè)偶數(shù)”，B＝“恰有一個(gè)奇數(shù)”，C＝“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D＝“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，E＝“至多有一個(gè)奇數(shù)”.下列結(jié)論正確的有（

）A.A＝BB.B?CC.D∩E＝?D.C∩D＝?，C∪D＝Ω解析：事件A，B都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個(gè)奇數(shù)，指兩個(gè)數(shù)是一奇一偶，或是兩個(gè)奇數(shù)，所以B?C，故B正確；至多有一個(gè)奇數(shù)指一奇一偶，或是兩偶，此時(shí)事件D，E有公共事件，故C錯(cuò)誤；此時(shí)C，D是對(duì)立事件，所以C∩D＝?，C∪D＝Ω.故選A、B、D.4.有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，記“甲正常工作”＝A，“乙正常工作”＝B，則A∩B表示

?，“甲不能正常工作”可記為

?.

03知能演練·扣課標(biāo)?

?1.擲一枚均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù).記事件A＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B＝“點(diǎn)數(shù)大于4”，則事件A∩B＝（

）A.“點(diǎn)數(shù)為3”B.“點(diǎn)數(shù)為4”C.“點(diǎn)數(shù)為5”D.“點(diǎn)數(shù)為6”解析：由題意，可知A＝{1，3，5}，B＝{5，6}，A∩B＝{5}，即事件A∩B＝“點(diǎn)數(shù)為5”.故選C.2.有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（

）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶解析：對(duì)立事件的定義是：A，B兩件事不能同時(shí)發(fā)生，但必須有一件事發(fā)生，則A，B是對(duì)立事件，事件：至少有1次中靶包括恰有1次中靶和2次都中靶，所以對(duì)立事件是2次都不中靶.故選C.3.設(shè)事件A為“至少做完三套練習(xí)題”，則A的對(duì)立事件為（

）A.至多做完三套練習(xí)題B.至多做完兩套練習(xí)題C.至多做完四套練習(xí)題D.至少做完兩套練習(xí)題解析：至少做完3套練習(xí)題包含做完3，4，5，6，…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0，1，2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.故選B.4.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，設(shè)事件A＝“甲成功破譯”，事件B＝“乙成功破譯”，則表示“密碼被成功破譯”的事件為（

）A.A∪BB.A∩B解析：

“密碼被成功破譯”是指甲、乙兩人至少有一人成功破譯密碼，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破譯密碼.故選A.5.（多選）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系正確的是（

）A.A?DB.B∩D＝?C.A∪C＝DD.A∪C＝B∪D解析：

“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，∴A∪C≠B∪D，故D不正確，易知A、B、C正確.6.（多選）下列各組事件中是互斥事件的是（

）A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%解析：對(duì)于A，一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6不可能同時(shí)發(fā)生，故A中兩事件為互斥事件；對(duì)于B，設(shè)事件A1為平均分不低于90分，事件A2為平均分不高于90分，則A1∩A2為平均分等于90分，A1，A2可能同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件；對(duì)于C，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒不可能同時(shí)發(fā)生，故C中兩事件為互斥事件；對(duì)于D，檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%不可能同時(shí)發(fā)生，故D中兩事件為互斥事件.故選A、C、D.7.拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)為2或3”為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)為2”為事件C，則事件A、B、C的關(guān)系是

?.

答案：C＝A∩B8.依次連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，并記錄下向上面的正反情況，記事件A＝{（正，反）}，寫出事件A的一個(gè)互斥事件

?.（用集合表示，寫出一個(gè)即可）

解析：依次連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，并記錄下向上面的正反情況，所有可能的結(jié)果為：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），其中事件{（正，正）}，{（反，正）}，{（反，反）}與事件A都不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A的一個(gè)互斥事件可以是：{（正，正）}.答案：{（正，正）}（答案不唯一）9.甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一串聯(lián)電路，設(shè)E＝“甲元件故障”，F(xiàn)＝“乙元件故障”，則表示電路有故障的事件為

?；表示電路無(wú)故障的事件為

?.

10.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.（1）試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；解：（1）事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，

“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個(gè)基本事件，所以B?A，C?A，E?A，A＝B∪C∪E.（2）試求A∩D，B∪C所包含的樣本點(diǎn)，并判斷A∩D與B∪C的關(guān)系.解：（2）“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個(gè)基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個(gè)基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C.11.如果事件A，B互斥，那么（

）A.A∪B是必然事件

12.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ai＝“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6，B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（

）B.A2∪B＝ΩC.A3與B互斥

答案：產(chǎn)品不合格14.某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A＝“只訂甲報(bào)”，事件B＝“只訂乙