2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 9-2-3　總體集中趨勢的估計 課件（64張）

新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算2.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

?

現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種家電產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下（單位：年）：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.問題三家廣告中都稱其產(chǎn)品的使用壽命為8年，利用初中所學(xué)的知識，你能說明為什么嗎？

?

?知識點一

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

最多?的數(shù)；（2）中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列，處在

中間?位置的數(shù)（或中間兩個數(shù)的

平均數(shù)

?）；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的

和?除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).最多中間平均數(shù)

和知識點二總體集中趨勢的估計（1）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)；（2）對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的（圖①），那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”（圖②），那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”（圖③），那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊；（3）在頻率分布直方圖中，

眾數(shù)?是最高矩形底邊中點的橫坐標，

中位數(shù)?左邊和右邊的直方圖的小矩形的面積應(yīng)該

相等?，

樣本平均數(shù)?的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和.眾數(shù)中位數(shù)相等樣本平均數(shù)

?

?1.一組數(shù)據(jù)30，29，28，27，26，24，23，22的中位數(shù)為（

）A.26B.27C.26和27D.26.52.一組數(shù)據(jù)a，0，1，2，3，若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，則a＝（

）

A.0B.2C.1D.－1

3.已知一組數(shù)據(jù)：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

?.

解析：10，12，16各出現(xiàn)1次，14，15各出現(xiàn)了2次，17出現(xiàn)的次數(shù)為3次，是最多的，故眾數(shù)為17.答案：1702題型突破·析典例?

?題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算【例1】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11則下面結(jié)論中正確的是

?（填序號）.

①乙的眾數(shù)是21；②甲的平均數(shù)為21.4；③甲的中位數(shù)是24.解析

把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序分別排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23

答案①②通性通法平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法

平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計算的，計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計算.?

?給定一組數(shù)據(jù)15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.b＞c＞a

題型二利用頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢【例2】某校從參加高一年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；

（2）求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù).解

（2）由題圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03×（x－70），所以x≈73.3，即這80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為73.3分.?

?1.（變設(shè)問）若本例的條件不變，求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù).

2.（變設(shè)問）若本例條件不變，求樣本中80分以下的學(xué)生人數(shù).解：分數(shù)在[40，80）內(nèi)的頻率為：（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以樣本中80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0.7＝56.通性通法用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)；（3）平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.?

?（多選）隨著生活水平的不斷提高，我國居民的平均身高也在增長.某市為了調(diào)查本市小學(xué)一年級男生身高情況，從某小學(xué)一年級隨機抽取了100名同學(xué)進行身高測量，得到頻率分布直方圖（如圖），其中右側(cè)三組小長方形面積滿足2S2＝S1＋S3.則下列說法正確的是（

）A.身高在[130，140）范圍內(nèi)的頻率為0.18B.身高的眾數(shù)的估計值為115cmC.身高的中位數(shù)的估計值為125cmD.身高的平均數(shù)的估計值為121.8cm

題型三平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用【例3】據(jù)了解，某公司的33名職工月工資（單位：元）如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)（精確到元）；

（2）假設(shè)副董事長的工資從10000元提升到20000元，董事長的工資從11000元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少（精確到元）？

（3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.解（3）在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能準確反映這個公司員工的工資水平.通性通法眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義（1）樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大；（2）當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.?

?下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表（每個崗位僅有一人）：老板大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計6000元900元700元800元640元640元820元（1）計算所有人員的周平均收入；

（2）這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？解：（2）這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員.（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？

?

?1.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A.85，85，85B.87，85，86C.87，85，85D.87，85，90解析：從小到大列出所有數(shù)學(xué)成績：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計算得平均數(shù)為87.故選C.2.跳水比賽共有7名裁判分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分.5個有效評分與7個原始評分相比，一定不會改變的數(shù)字特征是（

）A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.極差解析：從7個原始評分去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分，其平均數(shù)、極差、眾數(shù)都可能會發(fā)生改變，不變的數(shù)字特征是中位數(shù).故選C.3.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20），

[20，22.5），

[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間的平均數(shù)是（

）A.23.75B.23.875C.24.25D.23.25解析：平均數(shù)為：18.75×0.02×2.5＋21.25×0.10×2.5＋23.75×0.16×2.5＋26.25×0.08×2.5＋28.75×0.04×2.5＝23.875.故選B.4.（多選）已知一組數(shù)據(jù)為－2，6，8，x，12，且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，那么下列說法正確的是（

）A.數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6B.數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6C.x＝6D.x＝8

5.某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為165，那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是

?.

答案：203知能演練·扣課標?

?1.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為（

）A.1B.2C.3D.4解析：因為一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，所以另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為2×2－3＝1.故選A.2.某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A.7，7B.8，7.5C.7，7.5D.8，6

3.下面是某實驗中學(xué)某班第一小組5位同學(xué)的立定跳遠、跳繩、800m跑的成績折線圖（如圖所示），則這5位同學(xué)立定跳遠的中位數(shù)，跳繩的平均數(shù)，800m跑的眾數(shù)分別是（

）A.1.98，131，3.88B.1.87，130，3.88C.1.98，130，3.88D.1.98，130，3.65

4.如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，記由該直方圖得到的數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為a，b，c，則（

）A.b＞c＞aB.a＞b＞c

5.（多選）小華所在的班級共有50名學(xué)生，一次體檢測量了全班學(xué)生的身高，由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，則下列說法正確的是（

）A.1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B.班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會超過25C.這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D.這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米解析：由平均數(shù)所反映的意義知A選項正確；由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項正確；由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項正確；由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響，故B選項錯誤.因此選A、C、D.6.（多選）下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中錯誤的是（

）A.中位數(shù)可以準確地反映出總體的情況B.平均數(shù)可以準確地反映出總體的情況C.眾數(shù)可以準確地反映出總體的情況D.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況解析：中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，對極端值的不敏感也會成為缺點，故A錯誤；平均數(shù)較好地反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但是樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置就會與實際情況產(chǎn)生較大差異，故B錯誤；眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但對其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無法客觀反映總體特征，故C錯誤；由以上理由可知D正確.故選A、B、C.7.2021年電影《長津湖》累計票房逾57億，該片點燃了每個人心中對英雄的崇敬之情，也更加顯示出如今和平生活的來之不易.某影院記錄了觀看此片的70位觀眾的年齡，其中年齡位于區(qū)間[10，20）的有10位，位于區(qū)間[20，30）的有20位，位于區(qū)間[30，40）的有25位，位于區(qū)間[40，50]的有15位，則這70位觀眾年齡的眾數(shù)的估計值為

?.

答案：35

答案：49.某學(xué)校為了解師生黨史的學(xué)習(xí)情況，用分層隨機抽樣的方式從4600名師生中抽取200名師生進行黨史知識測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，則200名師生測試成績的中位數(shù)是

?.（結(jié)果保留整數(shù)部分）

解析：由頻率分布直方圖知前三組頻率之和為10×（0.01＋0.015＋0.02）＝0.45＜0.5，前四組頻率之和10×（0.01＋0.015＋0.02＋0.03）＝0.75＞0.5，所以中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為m，則0.45＋（m－70）×0.03＝0.5，解得m≈72.答案：7210.甲、乙、丙三個廠家在廣告中都聲稱，他們生產(chǎn)的同一品牌節(jié)能燈在正確使用的情況下，使用壽命都不低于8年.后來質(zhì)量檢測部門對他們的產(chǎn)品進行抽查，抽查的各8個產(chǎn)品使用壽命的統(tǒng)計結(jié)果如下（單位：年）：甲廠：6，6，6，8，8，9，9，12；乙廠：6，7，7，7，9，10，10，12；丙廠：6，8，8，8，9，9，10，10.（1）把以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)填入下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)甲廠乙廠丙廠解：（1）甲廠：8，6，8；乙廠：8.5，7，8；丙廠：8.5，8，8.5.（2）估計這三個廠家的推銷廣告分別利用了哪一種統(tǒng)計量；解：（2）甲廠利用了平均數(shù)或中位數(shù)；乙廠利用了平均數(shù)或中位數(shù)；丙廠利用了平均數(shù)或眾數(shù)或中位數(shù).（3）如果你是顧客，應(yīng)該選哪個廠家的節(jié)能燈？為什么？解：（3）選丙廠的節(jié)能燈.因為無論從哪種統(tǒng)計量來看，與其他兩個廠家相比，丙廠水平都比較高或持平.11.“小康縣”的經(jīng)濟評價標準為：①年人均收入不低于7000元；②年人均食品支出（單位：元）不高于年人均收入的35%.某縣有40萬人，年人均收入如表所示，年人均食品支出如圖所示，則該縣（

）年人均收入/元02000400060008000100001200016000人數(shù)/萬人63556753A.是小康縣B.達到標準①，未達到標準②，不是小康縣C.達到標準②，未達到標準①，不是小康縣D.兩個標準都未達到，不是小康縣

12.某市政府部門為了解該市的“全國文明城市”創(chuàng)建情況，在該市的12個區(qū)縣（市）中隨機抽查了甲、乙兩縣，考核組對他們的創(chuàng)建工作進行量化考核.在這兩個縣的量化考核分數(shù)（均為整數(shù)）中各隨機抽取20個，得到如圖所示的統(tǒng)計圖（用頻率分布直方圖估計總體時，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.關(guān)于甲、乙兩縣的量化考核分數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A.甲縣量化考核分數(shù)的平均數(shù)小于乙縣量化考核分數(shù)的平均數(shù)B.甲縣量化考核分數(shù)的中位數(shù)小于乙縣量化考核分數(shù)的中位數(shù)C.甲縣量化考核分數(shù)的眾數(shù)不小于乙縣量化考核分數(shù)的眾數(shù)D.甲縣量化考核分數(shù)不低于80的個數(shù)多于乙縣

13.（多選）某班班主任為了了解該班學(xué)生寒假期間做家務(wù)勞動的情況，隨機抽取該班15名學(xué)生，調(diào)查得到這15名學(xué)生寒假期間做家務(wù)勞動的天數(shù)分別是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，則下列結(jié)論正確的是（

）A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20C.若在記錄數(shù)據(jù)時漏掉了一個數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20D.若在記錄數(shù)據(jù)時漏掉了一個數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是19解析：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是19和20，故A錯誤，B正確；若在記錄數(shù)據(jù)時漏掉了一個數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)仍然是20，故C正確；若在紀錄數(shù)據(jù)時漏掉的數(shù)據(jù)大于或等于19，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18.5，故D錯誤.故選B、C.14.某校高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖（如圖所示），已知得分在[50，60），[90，100]內(nèi)的頻數(shù)分別為8，2.（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；

（2）估計本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).解：（2）由題中頻率分布直方圖可知，本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)約為75.設(shè)中位數(shù)為m，∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，則m∈[70，80），∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）