2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 復(fù)數(shù)的乘除運算 課件（34張）

必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01怎樣規(guī)定兩個復(fù)數(shù)的乘除運算，才能使在復(fù)數(shù)集中的乘法、除法與原實數(shù)集中的有關(guān)規(guī)定內(nèi)容？復(fù)數(shù)的加減運算把i看作一個字母，相當于多項式的合并同類項，那么復(fù)數(shù)乘法是否可以像多項式乘法那樣進行呢？知識點1復(fù)數(shù)的乘法1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．

(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝_________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z1(z2z3)z1z2＋z1z3

思考(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正確嗎？[提示]

(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并．(2)不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．

－ii－i關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算類型2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算類型3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程類型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【例1】

(源自湘教版教材)計算：(1)(1＋2i)(4－3i)；[解]

(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2；[解]

(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2；[解]

(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)(1＋i)1000．[解]

由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．反思領(lǐng)悟

1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[跟進訓(xùn)練]1．(1)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

√(2)計算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．①13

②5－25i

①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．135－25i

√

√√√

類型3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例3】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程．(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0．

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0無實數(shù)根．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

反思領(lǐng)悟

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法(1)當a，b，c都是實數(shù)且a≠0時，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總是有解的，而且①當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＝b2－4ac＜0時，方程有兩個互為共軛的虛數(shù)根．(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解設(shè)方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解．[跟進訓(xùn)練]3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數(shù))的一個根．(1)求b，c的值；

(2)試判斷1－i是不是方程的根．[解]

由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立．∴1－i是方程的根．學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031234

√

1234√

1234√

4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解為______．1234

1±2i

2．復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是怎樣的？[提示]

復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化的過程，兩個復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分數(shù)的形式，然后把分子與分母都乘以分母的