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文檔簡介
2024屆湖南省株洲市醴陵市四中高三第六次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據在上的頻率為,則估計樣本在、內的數(shù)據個數(shù)共有()A. B. C. D.2.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.3.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.124.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.135.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.196.某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢7.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.408.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域為,則()A. B. C.或 D.或49.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.410.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.11.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.12.若雙曲線:繞其對稱中心旋轉后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的最小值是______.14.給出下列等式:,,,…請從中歸納出第個等式:______.15.已知函數(shù)對于都有,且周期為2,當時,,則________________________.16.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù).(1)解不等式;(2)記的最大值為,若實數(shù)、、滿足,求證:.18.(12分)已知拋物線:的焦點為,過上一點()作兩條傾斜角互補的直線分別與交于,兩點,(1)證明:直線的斜率是-1;(2)若,,成等比數(shù)列,求直線的方程.19.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.20.(12分)等差數(shù)列中,.(1)求的通項公式;(2)設,記為數(shù)列前項的和,若,求.21.(12分)某精密儀器生產車間每天生產個零件,質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進行檢查.根據多年的生產數(shù)據和經驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨立.若零件的長度滿足,則認為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當天生產零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則.22.(10分)(某工廠生產零件A,工人甲生產一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為,工人乙生產一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為.己知生產一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.(1)試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞;(2)為鼓勵工人提高技術,工廠進行技術大賽,最后甲乙兩人進入了決賽.決賽規(guī)則是:每一輪比賽,甲乙各生產一件零件A,如果一方生產的零件A品級優(yōu)干另一方生產的零件,則該方得分1分,另一方得分-1分,如果兩人生產的零件A品級一樣,則兩方都不得分,當一方總分為4分時,比賽結束,該方獲勝.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲總分為i時,最終甲獲勝的概率.①寫出P0,P8的值;②求決賽甲獲勝的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
計算出樣本在的數(shù)據個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據個數(shù)即可得出結果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據個數(shù)為,樣本在的數(shù)據個數(shù)為,因此,樣本在、內的數(shù)據個數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關系,考查計算能力,屬于基礎題.2、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.3、D【解析】
推導出,且,,,設中點為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設中點為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用,屬于中檔題.4、D【解析】
根據等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學運算能力.5、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時,a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時,要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系,從而可簡化與數(shù)列相關的方程,本題屬于難題.6、D【解析】
根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關,故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個,故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力.7、C【解析】
設出等差數(shù)列的首項和公差,即可根據題意列出兩個方程,求出通項公式,從而求得.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法和應用,涉及等差數(shù)列的前項和公式的應用,屬于容易題.8、C【解析】
對a進行分類討論,結合指數(shù)函數(shù)的單調性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當時,,所以,,所以;當時,,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調性求解,側重考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).9、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。10、B【解析】
先根據題意,對原式進行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉化為恒成立,再利用函數(shù)性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質的運用,屬于綜合性較強的題目,解題的關鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉化函數(shù),屬于難題.11、A【解析】
本題采用排除法:由排除選項D;根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B;【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,,此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.12、C【解析】
由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結果.【詳解】由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質,函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
先將前兩項利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因為,所以,所以,當且僅當,,時等號成立,故答案為:1.【點睛】本題主要考查基本不等式的應用,但是由于有3個變量,導致該題不易找到思路,屬于中檔題.14、【解析】
通過已知的三個等式,找出規(guī)律,歸納出第個等式即可.【詳解】解:因為:,,,等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列,公比為,則角滿足:第個等式中的角,所以;故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達式的特征是解題的關鍵,屬于中檔題.15、【解析】
利用,且周期為2,可得,得.【詳解】∵,且周期為2,∴,又當時,,∴,故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應用,考查轉化能力,屬于基礎題.16、【解析】
利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質,二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)采用零點分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根據絕對值不等式的幾何意義求解出的值,然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】(1)當時,不等式為,解得當時,不等式為,解得當時,不等式為,解得∴原不等式的解集為(2)當且僅當即時取等號,∴,∴∵,∴,∴(當且僅當時取“”)同理可得,∴∴(當且僅當時取“”)【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式,難度一般.(1)常見的絕對值不等式解法:零點分段法、圖象法、幾何意義法;(2)利用基本不等式完成證明時,注意說明取等號的條件.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)設,,由已知,得,代入中即可;(2)利用拋物線的定義將轉化為,再利用韋達定理計算.【詳解】(1)在拋物線上,∴,設,,由題可知,,∴,∴,∴,∴,∴(2)由(1)問可設::,則,,,∴,∴,即(*),將直線與拋物線聯(lián)立,可得:,所以,代入(*)式,可得滿足,∴:.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的應用,在處理直線與拋物線位置關系的問題時,通常要涉及韋達定理來求解,本題查學生的運算求解能力,是一道中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結合正弦定理,可得結果.(Ⅱ)根據,可得,然后使用余弦定理,可得結果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應用,關鍵在于識記公式,屬中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法求出公差后可得通項公式;(2)由等差數(shù)列前項和公式求得,可求得.【詳解】解:(1)設的公差為,由題設得因為,所以解得,故.(2)由(1)得.所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,由得,解得.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前項和公式,解題方法是基本量法.21、(1)見解析(2)需要,見解析【解析】
(1)由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應用,考查分析能力與數(shù)據處理能力.22、(1)乙的技術更好,見解析(2)①,;②【解析】
(1)列出分布列,求出期望,比較大小即可;(2)①直接根據概率的意義可得P0,P8;②設每輪比賽甲得分為,求出每輪比賽甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,可的,可推出是等差數(shù)列,根據可得答
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