分類思想在等腰三角形中的應(yīng)用(全文)

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分類思想是數(shù)學(xué)思想方法中很重要的一種思想方法。它要求學(xué)生能把某個較為復(fù)雜的問題經(jīng)過嚴謹周密的思考,確定一個分類標準,并按同一個標準把它分為若干類較為簡單的情況。然后逐一討論研究解決,使研究的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏。而等腰三角形中由于邊、角的特殊性,經(jīng)常要用分類思想進行分類討論解決。所以學(xué)生是否能用分類思想正確解決等腰三角形中的分類問題,也是中考考查的重要內(nèi)容之一。

教學(xué)目標

1.進一步鞏固對等腰三角形的認識,熟練運用等腰三角形知識解決問題。

2.認識分類思想在解決等腰三角形的問題中的重要性,并能學(xué)會分析,學(xué)會分類,培養(yǎng)分析能力和分類意識。

教學(xué)過程

師:前面我們學(xué)過了等腰三角形的有關(guān)知識,與一般三角形相比,它有很多特殊地方,誰來簡單說明一下?

(學(xué)生紛紛舉手)

生1:在對邊和角的稱呼上就不同,如邊有腰底之分,角有頂角、底角之分。

生2:還有邊與角之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換,如等邊對等角、等角對等邊、“三線合一”等。

師:很好。為了進一步認識和研究它,我想請一名同學(xué)在黑板上畫一個等腰三角形。

(其中一名學(xué)生自告奮勇到講臺上,畫了一個頂角為銳角的等腰三角形。)

師:請其他同學(xué)想一想,還有什么要補充的嗎?

生3:他畫的不全面。我們所碰到的等腰三角形其實還應(yīng)該有等腰直角三角形和頂角為鈍角的等腰三角形。

師:等腰三角形中第一種分類的情形就像剛才在沒有圖形的前提下讓你畫等腰三角形,你應(yīng)該按頂角的情況來分析,這就是分類的標準。下面請思考這一道題。

(題目:你能經(jīng)過等腰三角形一個頂點畫一條直線,把這個等腰三角形分成兩個小的等腰三角形嗎?如果你覺得能,請畫出圖形,并標好度數(shù)。)

(學(xué)生思考,討論,并開始在草稿紙上畫圖,分析。幾個學(xué)生舉手。)

生4:老師,根據(jù)您剛才的講法,我認為本題應(yīng)該有三種可能。一種是把頂角為銳角的等腰三角形進行分割;第二種是把頂角為直角的等腰三角形分割;還有一種是把頂角為鈍角的等腰三角形進行分割。

(師表揚了他。并請這位學(xué)生上黑板畫圖。)

師:你能說出你標的度數(shù)的依據(jù)嗎?

生4:我是這樣想的(如圖1):設(shè)∠A=x,那么由圖和題意可知x+2x+2x=180°,解得x=36°。這是第一種。

至于第二種應(yīng)該包含在第三種里,若BD=AD=DC,設(shè)∠B=x。由題可知x+x+2x=180°,解得x=45°,此即為第二種。若AD=BD,CD=AC時,設(shè)∠B=x,則x+3x+x=180°,解得x=36°,即為第三種情形。

師:這位同學(xué)真是肯動腦筋,分析得相當(dāng)透徹、清楚,只是還有不同意見或補充的嗎?

(同學(xué)們認真思考,但沒有人能回答出。)

師:其實在第一種情形時他應(yīng)考慮全面,剛才這位同學(xué)想到的是AD=BD,BD=BC的情形,有沒有AD=BD=CD的情況呢?

生5:沒有。這樣∠C=∠DBC=∠ABC是不可能的。

師:那有沒有可能AD=BD或CD=BC呢?請看圖4:

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則可得:x+3x+3x=180。

7x=180。

x=180/7。

若能解得出x,則說明這種情形可能嗎?

生6:可能。

師:那么請你小結(jié)剛才這道題目的種種可能,并理解這種分類解題的依據(jù)。(學(xué)生自我理解小結(jié),老師黑板上板書等腰三角形中第一種可能分類的問題和分類的標準。)

師:哪位同學(xué)還能列舉出等腰三角形其他的可能分類的問題?

生7:有這樣一種問題要分類,如:等腰三角形中已知兩邊,求周長的時候要考慮兩邊為腰還是為底的可能。

(老師表揚并板書等腰三角形可能分類的問題和按邊分的分類標準。)

生8:還有的時候,如:等腰三角形中已知一個角為50°,求另外兩個角,這也要分類討論。因為50°的角可能為底角也可能為頂角。

(老師板書等腰三角形中的第三種可能分類的問題和按角分的分類標準。)

師:還有嗎?

生9:老師,你看這幾個題型屬不屬于剛才碰到的分類情形?有這樣一題說:等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為40°,求頂角的度數(shù)。還有比如說等腰三角形一個角是另一個角的兩倍,求底角的度數(shù)。

師:同學(xué)們考慮考慮,討論一下,幫助他解決這個問題。

(學(xué)生開始思考,討論,一學(xué)生舉手。)

生10:我認為均屬于剛才的第一種情形,圖形不清楚,則要按頂角的可能性分析。

(其他學(xué)生紛紛贊同,并很快求出兩題的答案。)

師:現(xiàn)在我給大家看一題你們看看該怎么思考?

已知平面直角坐標系中A(4,0),B(0,3),在x軸上找一點C使三角形ABC為等腰三角形,請寫出點C的坐標。(如圖5)

師:圖形不具體,但又與第一種情形有些區(qū)別,在這種情況下點A點B點C都有可能成為等腰三角形頂角的頂點,請大家課后認真思考,并整理筆記,小結(jié)好等腰三角形中可能幾種的分類情況。

過程反思:這是一節(jié)對學(xué)生思維能力要求較高的一課,同時要求學(xué)生有很好的前期知識儲備,掌握和熟練知識運用能力。在授課的過程中,發(fā)現(xiàn)時