3.2 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專題3.10單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算；2.掌握整式的加、減、及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式及單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.【典型例題】類型一、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式??化簡(jiǎn)??求值 1．化簡(jiǎn)．【答案】【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)即可．解：【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．解：（1）（2）【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：（1）（2）.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則即可求解.根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則即可求解.解：(1)=;(2)=;【點(diǎn)撥】此題主要考查整式的乘法，解題的關(guān)鍵是熟知單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則.2．計(jì)算：； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先算積的乘方和冪的乘方，再算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式即可；（2）先算積的乘方，再算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式即可．解：（1）=-8a6b3?（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2）【點(diǎn)撥】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，積的乘方和冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式（1）；（2）（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則將原式展開，再單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可解答；（2）同理，先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則將原式展開，再單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可解答．解：（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的乘法，涉及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘法等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加計(jì)算即可．解：（-a2bc+2ab2-ac）?（-ac）2=（-a2bc+2ab2-ac）?a2c2=-a4bc3+a3b2c2-a3c3．【點(diǎn)撥】本題考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)的處理．類型二、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式??化簡(jiǎn)求值 ??求參數(shù)??應(yīng)用3．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，．【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和合并同類項(xiàng)將原式化簡(jiǎn)，再代入數(shù)值即可求解．解：．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和合并同類項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：3a2a24a32a2(3a4)，其中a2.【答案】-98【分析】首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后代入已知的數(shù)值計(jì)算即可．解：3a(2a2?4a+3)?2a2(3a+4)=6a3?12a2+9a?6a3?8a2=?20a2+9a，當(dāng)a=?2時(shí)，原式=?20×4?9×2=?98.【點(diǎn)撥】此題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.【變式2】閱讀下列文字，并解決問題．已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．分析：考慮到滿足x2y＝3的x，y的可能值較多，則不能逐一代入求解，故考慮整體思想，將x2y＝3整體代入．解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.請(qǐng)你用上述方法解決問題：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．【答案】－78【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，可得一個(gè)多項(xiàng)式，根據(jù)把已知代入，可得答案．解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)＝－4a3b3＋6a2b2－8ab＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab＝－4×33＋6×32－8×3＝－108＋54－24＝－78.【點(diǎn)撥】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，整體代入是解題關(guān)鍵．4．已知，求，的值．【答案】a=2，b=1【分析】根據(jù)整式的乘法展開，分別得到a，b的關(guān)系式，故可求解．解：∵∴5a=10，-3a=-6，ab=2∴a=2，b=1．【點(diǎn)撥】此題主要考查整式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知整式乘法的運(yùn)算法則．舉一反三：【變式1】若成立，請(qǐng)求出a、b的值．【答案】，【分析】先利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將等式左邊化簡(jiǎn)，再根據(jù)多項(xiàng)式定義得出a、b的值．解：由，得，∴，.∴，.【點(diǎn)撥】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將等式左邊化簡(jiǎn).【變式2】先化簡(jiǎn)，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝，b＝．求5A﹣B的值．【答案】【分析】先把所求代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把a(bǔ)、b的值代入求值即可.解：原式＝5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b＝12a2b﹣6ab2當(dāng)a＝，b＝時(shí)，原式＝12××﹣6××＝1﹣＝.【點(diǎn)撥】多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值是本題的考點(diǎn)，正確化簡(jiǎn)多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵.5．若為自然數(shù)，試說明整式的值一定是3的倍數(shù)．【答案】見分析【分析】先把n（2n＋1）?2n（n?1）進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，即可得出n（2n＋1）?2n（n?1）的值一定是3的倍數(shù)．解：∵n（2n＋1）?2n（n?1）＝2n2＋n?2n2＋2n＝3n，n為自然數(shù)，∴3n是3的倍數(shù)，∴n（2n＋1）?2n（n?1）的值一定是3的倍數(shù)．【點(diǎn)撥】此題考查了整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把所求的式子進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行整理，得到3n，n為自然數(shù)，說明一定是3的倍數(shù)．舉一反三：【變式1】某中學(xué)擴(kuò)建教學(xué)樓，測(cè)量地基時(shí)，量得地基長為寬為，試用表示地基的面積，并計(jì)算當(dāng)時(shí)地基的面積．【答案】，1300．【分析】根據(jù)題意可直接利用長×寬進(jìn)行求解面積，然后把代入求解即可．解：根據(jù)題意得：地基的面積是：，當(dāng)時(shí)，地基面積為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查整式的乘除的應(yīng)用，熟練掌握整式的乘法是解題的關(guān)鍵．【變式2】一塊長方形硬紙片，長為(5a2＋4b2)m，寬為6a4m，在它的四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長為a3m的小正方形然后折成一個(gè)無蓋的盒子，請(qǐng)你求這個(gè)無蓋盒子的表面積．【答案】21a6＋24a4b2(m2)【分析】先求得原長方形紙片的面積及減去小正方形的面積，再利用原長方形紙片的面積減去4個(gè)剪去小正方形的面積列出算式，計(jì)算即可求解解：紙片的面積是(5a2＋4b2)·6