2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第7講正態(tài)分布課件

第七講正態(tài)分布知識(shí)梳理·雙基自測(cè)X～N(μ，σ2)上方x＝μ

x＝μ

1

集中分散知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)分布1．正態(tài)分布的定義及表示．若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝

，x∈R，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X～N(0,1)．2．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(3σ原則)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________.σ原則：主要用于判定產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，機(jī)器運(yùn)行是否正常等，也就是說3σ之外的概率是小概率事件，如果發(fā)生了說明產(chǎn)品不合格、機(jī)器運(yùn)行不正常等．0.68270.95450.9973歸

納

拓

展對(duì)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)對(duì)任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)時(shí)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱和曲線與x軸之間的面積為1.雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．(

)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越?。?

)√

√

√

×題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修3P87T2)某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，則P(165<X≤180)＝__________.0.8186

題組三走向高考3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝____________.[解析]

因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14C5．(2021·全國(guó)新高考Ⅱ)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D[解析]

對(duì)于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤．故選D．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究正態(tài)分布的性質(zhì)——自主練透1.(2023·廣東佛山南海區(qū)、三水區(qū)聯(lián)考)李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是(

)A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)<P(Y≤38)D．P(X≤34)<P(Y≤34)C2．(2022·河北唐山模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.1587，則P(1<Y<2)＝(

)A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.6587B[解析]

由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，隨機(jī)變量X、Y的正態(tài)曲線形狀相同，(如圖)．由題意P(Y>2)＝P(X>1)＝0.1587，∴P(1<Y<2)＝0.5－0.1587＝0.3413.故選B．3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，則E(2ξ＋1)與D(2ξ＋1)的值分別為(

)A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[解析]

由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故選D．D正態(tài)分布——多維探究角度1正態(tài)曲線的對(duì)稱性(2024·廣東六校聯(lián)考)某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司購(gòu)買該種包裝的大米1000袋，則大米質(zhì)量在10.02kg以上的袋數(shù)大約是(

)A．5 B．10C．20 D．40B角度2確定正態(tài)曲線的對(duì)稱軸(2022·福建模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，則μ＝______.[解析]

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知對(duì)稱軸為X＝2，所以μ＝2.2角度3服從正態(tài)分布的概率計(jì)算1.若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.3，則P(－1<X<2)＝__________.0.22．(2023·山東德州模擬)某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)(單位：分)服從正態(tài)分布N(100,102)，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)X，記該同學(xué)的成績(jī)80<X≤100為事件A，記該同學(xué)的成績(jī)70<X≤90為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P(B|A)＝______.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)附參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.95；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99.名師點(diǎn)撥：關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法1．熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；2．充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2022·江蘇調(diào)研)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(－2<X<1)＝(

)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6C3．(角度3)(2023·江蘇南京調(diào)研)已知隨機(jī)變量X～N(4,22)，則P(8＜X＜10)的值約為(

)附：若Y～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Y<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)≈0.9974.A．0.0215 B．0.1359C．0.8186 D．0.9760A正態(tài)分布的綜合應(yīng)用2．(2024·重慶一中月考)為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立101周年，喜迎黨的二十大勝利召開，不斷提升廣大黨員干部學(xué)習(xí)黨的政治理論知識(shí)的自覺性，我市面對(duì)全體黨員，舉辦了“喜迎二十大，強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”黨史知識(shí)競(jìng)賽．比賽由初賽、復(fù)賽和決賽三個(gè)環(huán)節(jié)組成．已知進(jìn)入復(fù)賽的黨員共有100000人，復(fù)賽總分105分，所有選手的復(fù)賽成績(jī)都不低于55分．經(jīng)過復(fù)賽，有2280名黨員進(jìn)入了決賽，并最終評(píng)出了若干一等獎(jiǎng)和52個(gè)特等獎(jiǎng)．復(fù)賽成績(jī)和決賽成績(jī)都服從正態(tài)分布．現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名選手的復(fù)賽成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．名師點(diǎn)撥：解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．272．(2023·河北統(tǒng)考)某工廠從生產(chǎn)出的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，將測(cè)量結(jié)果落到質(zhì)量指標(biāo)的各區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品頻率繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．②為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量檢查員每天在當(dāng)天生產(chǎn)的該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取15件，若出現(xiàn)質(zhì)量指標(biāo)值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的產(chǎn)品，則認(rèn)為生產(chǎn)過程出現(xiàn)問題，需要檢查整個(gè)生產(chǎn)過程，否則不需要檢查．在質(zhì)量檢查員當(dāng)天抽取的15件該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)中，質(zhì)量指標(biāo)最小值為180.9，質(zhì)量指標(biāo)最大值為299.8，根據(jù)近似值判斷是否需要檢查整個(gè)生產(chǎn)過程．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.名師講壇·素養(yǎng)提升概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用題型一概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用(2024·北京高三定位考)為了解員工每日健步走的情況，某單位工會(huì)隨機(jī)抽取了300名員工，借助計(jì)步小程序統(tǒng)計(jì)了他們每日健步走的步數(shù)(均不低于4千步，不超過20千步)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計(jì)該單位全體員工日行步數(shù)(單位：千步)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)單位工會(huì)從全體員工中隨機(jī)選取3人，記ξ表示3人中每日健步數(shù)在14千步以上的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．[解析]

(1)根據(jù)題意，該單位工會(huì)日行的人均健步步數(shù)估計(jì)為：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．所以ξ的分布列為故ξ的期望E(ξ)＝3×0.1＝0.3.ξ0123P0.7290.2430.0270.001題型二概率與回歸分析的綜合應(yīng)用(2022·山東臨沂模擬)在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全、保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)、生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x(單位：元)與購(gòu)買人數(shù)y(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)如下表：旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價(jià)格x(元)394958677786購(gòu)買數(shù)量y(萬(wàn)人)16.718.720.622.524.125.6題型三概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用(2024·江西智學(xué)聯(lián)盟體聯(lián)考)為提高高三學(xué)生身體素質(zhì)，鼓勵(lì)積極參加體育鍛煉，某校在高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名男生和100名女生，利用一周時(shí)間對(duì)他們的身體各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)(高中年齡段指標(biāo))進(jìn)行考察，得到綜合素質(zhì)指標(biāo)評(píng)分，評(píng)分結(jié)果分為兩類：80分以上為達(dá)標(biāo)，80分以下為不達(dá)標(biāo)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生4060100女生3070100合計(jì)70130200α0.050.010.001xα3.8416.63510.828題型四概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列的綜合應(yīng)用(2024·湖北荊州中學(xué)月考)某中學(xué)舉辦了詩(shī)詞大會(huì)選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩(shī)詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩(shī)詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩(shī)詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩(shī)詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；【變式訓(xùn)練】1．(2024·江西師大附中測(cè)試)某品牌國(guó)產(chǎn)電動(dòng)車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案．既要真正讓利于民，更要保證品質(zhì)兼優(yōu)，工廠在車輛出廠前抽取了100輛汽車作為樣本進(jìn)行單次最大續(xù)航里程的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(3)某線下銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎(jiǎng)，送車?！被顒?dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，若車模最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券8萬(wàn)元；若最終停在“贈(zèng)送車?！狈礁駮r(shí)，則可獲得車模一個(gè)．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5，車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向前移動(dòng)一次．若擲出正面，車模向前移動(dòng)一格，若擲出反面，車模向前移動(dòng)兩格，直到移到第4格(幸運(yùn)之神)或第5格(贈(zèng)送車模)時(shí)游戲結(jié)束．若有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值.012345參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，