山東省濟南市、濰坊市、淄博市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三10月份階段監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

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2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三10月份階段監(jiān)測

數(shù)學(xué)

2023.10

本試卷分第I卷和第II卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛印082%<1｝,B=卜,=,3-x卜則()

A.A.B=RB.AB=AC.AB=AD.AB=B

2.已知等差數(shù)列｛凡｝的公差不為0,若外,如，每成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是()

23

A.—B.—C.2D.4

32

3.已知xeR,則“d>27”是“|x|>3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖

1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，A,B分別為圓柱上、下底面圓的圓心，P為圓錐的頂點，若圓錐

的底面圓周長為2缶，高為血，圓柱的母線長為2,則該幾何體的體積是()

12+20

C.-------------71D.(4+28)乃

3

5.某地投資a億元進行基礎(chǔ)建設(shè)，/年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益為/(f)=ae"億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年

后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，且再過4年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的16倍，則乙=

()

A.4B.8C.12D.16

6.若a,是函數(shù)/(x)=x?〃(m>0,n>0)的兩個不同的零點，且a,b,-1這三個數(shù)可適當(dāng)

X—m

排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則關(guān)于X的不等式上20的解集為()

X-H

A.｛%,<2或無25｝B.｛無卜<2或無25｝

>r

,T5

C.<xx?l或x〉一>D.<x

2j[

7.設(shè)集合A是關(guān)于x的不等式|x+a|+|2x—1區(qū)|2x+l|的解集，且[1,2]￡A,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-2,0]B.[-3,0]C.D.[-3,1]

8.已知實數(shù)a滿足52°"+1220"=132°〃，b=e°」—1,c=tan0.1,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

X

9.若函數(shù)/（x）=---------為奇函數(shù)，則（）

（%+l）（X-6f）

A.a=\B./（x）的定義域為（一1』）

C./（無）的值域是HD.7（九）在R上是增函數(shù)

10.已知兩個平面a,B,及兩條直線/,m,則下列命題正確的是（）

A.若。Iu0,af3-m,則/J_a

B.若I」0,all（3,mua,則/_Lm

C.若!ua,maa,ml（I3,IH/3,則?！ㄏ?/p>

D.若/,m是異面直線，lua,IIIp,mu/3，mlaI,則。〃/?

11.已知數(shù)列｛凡｝滿足6+2%++2"%”=〃-2向，則（）

A.a“=2〃+2B.｛?！埃那啊椇蜑椤ǎā?3）

C.｛（—的前100項和為TOOD.料一10|｝的前20項和為284

12.已知函數(shù)/（x）=lnx,8（幻=/+依（其中左€7?）.對于不相等的實數(shù)占，X,,設(shè)"""A".）,

x｝-x2

?、槠撷?則（）

王一赴

A.對于任意不相等的實數(shù)再，々，都有。>0

B.對于任意的％及任意不相等的實數(shù)X1,x2,都有人>()

C.對于任意的左，一定存在不相等的實數(shù)玉，々，使得2=2

a

b

D,若存在不相等的實數(shù)x2,使得匕=-2,則%的取值范圍是(-8,-4)

a

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

Vv<0(W

13.已知函數(shù)/(x)=4'-'則//一=________.

log4x,x>0,I116〃

14.如圖，在正四棱臺ABC。-A4GA中，已知A8=2,44=1,且棱臺的側(cè)面積為6,則該棱臺的高

15.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,對任意的％,yeR,恒有

/(x+y)+f(x-y)=2/(x)./(J)，則f'M必為__________函數(shù)(用"偶、奇、非奇非偶”填空);若/(1)=1,

2027

則Z/(i)=.

i=l

16.在正四面體P-ABC中，以PB為直徑作球。，點。在球。與PB的中垂面相交所得的圓上運動，當(dāng)三

棱錐O—ABC的體積的最小值為上史時，該正四面體P-ABC外接球的體積為.

12

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步深.

17.(10分)如圖，三棱柱ABC—A4G中，A4,=4,4。J?底面ABC，NACB=90°,AC=A,C.

(1)求點A到平面Bcce的距離;

(2)若直線A4與8片距離為4,求A3與平面BCG4所成角的正弦值.

18.(12分)已知數(shù)列｛《,｝滿足q=2,an+]^Aan+B(其中Awl,B^O).

（1）證明：數(shù)列一丁為等比數(shù)列；

（2）若A=2,B=—l,且％=23，求數(shù)列｛%｝的前項和為?；?

《4+1

19.（12分）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的一元三次函數(shù)/（》）=。＜：3+灰2+5+。9工0）的圖象都有對稱中心，設(shè)（（幻

是一元三次函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，/"（x）是函數(shù)/'（X）的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"（x）=0有實數(shù)根公，則稱

（與,/（%））為一元三次函數(shù)y=/a）的圖象的對稱中心?根據(jù)以上信息和相關(guān)知識解答下列問題：已知函數(shù)

f（x）——3x?+3x—2.

（1）求函數(shù)/（x）圖象的對稱中心和焉）+/（焉］++/（鴕）的值；

\NUN-J\NU乙3J\NUN—J

（2）若。＞0,解關(guān)于x的不等式/'（幻＞（3。+6）/—（a+9）x+4.

20.（12分）如圖，已知四邊形ABCD和CDEE都是直角梯形，ABHDC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=1,44￡＞=NC￡＞E=6O。，且二面角F-OC-B的大小為60°.

（1）證明：平面BCF1.平面ABCD；

（2）在線段AE上是否存在點M,使得二面角-產(chǎn)的大小為45。，若存在，請求出點的位置；若不

存在，請說明理由.

21.（12分）己知數(shù)列｛《,｝是公差不為零的等差數(shù)列，滿足q=l,4+%=%，正項數(shù)列｛2｝的前〃項和

為S“，且S“=3"-1.

（1）求數(shù)列｛《,｝和也｝的通項公式；

（2）在偽和坊之間插入1個數(shù)4，使乙，％,當(dāng)成等差數(shù)列；在為和4之間插入2個數(shù)。2廠c22）使%,

C

2P02，4成等差數(shù)列；…；在口和〃山之間插入〃個數(shù)%,%2,使4，%,C“2，C?n,bn+x

成等差數(shù)列.

（i）求q*；

(ii)求+。2]+C22++cnl+cn2+-+c”“的值.

22.(12分)己知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若過點M(xo，/(xo))(xo>g］的切線/分別交工軸和>軸于A，B兩點,0為坐標(biāo)原點，記△AQB的

面積為S,求S最小值；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=e"g-/(x),且不等式g(x)21對任意xe(0,+8)恒成立，求實數(shù)2的值.

高三數(shù)學(xué)試題參考答案

2023.10

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1-5CBACC6-8DBC

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.AC10.ABD11.ABD12.ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

1巧n

13.-14.—15.奇一1(第一空2分，第二空3分)16.—7T

922

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)解：(1)如圖，因為底面ABC,BCu面ABC,所以

又3C_LAC,A。，ACu平面ACCM，\C(}AC=C,所以平面ACC/，

又BCu平面BCCg，所以平面，平面8CG4，

過A作4O，CG交CG于o,又平面ACGA平面BCG4=C￡,AO<=平面ACGA，

所以A。，平面BCQBi,則4。的長為點A到平面8CG4的距離.

在Rt^ACC］中，AC=AG，A4J=CC1=4,則4。=2.

所以點A到平面BCC,用的距離為2.

（2）連結(jié)4B因為AC=AC,BC±\C,BC1AC,

所以RtaACB絲RtaACB,所以84=841,

過8作8OJ.A4,交A4于。，則。為A4中點,

由直線A4與8與距離為4,所以30=4,因為4。=2,所以43=2行,

又點A到平面BCC.B,距離也為2,

21

設(shè)AB與平面8CG5所成角為%則sin。

2>/5-V55

+=

18.（12分）解：（1）由。,向=A%+B得，??+i-j3J==

所以，數(shù)列一一—是以A為公比的等比數(shù)列.

1—A

（2）由A=2,8=—1得，數(shù)列｛凡一1｝是以2為公比的等比數(shù)列,

又因為4=2,所以，q—1=1,4—1=1X2"T=2"T,

%-1_2"T_]___1

,,,,

a?an+]-（2-'+l）（2+l）-2""+1-2"+1

111______1_\（1_____1_2"-1

所以，T=+1++nn

n2°+12'+12'+l~2+1）'[2-'+\~2+\J~2~2"+\~2（2"+1）

19.（12分）

解：（1）fr（x）=6x2-6x4-3,f\x）=12x-6,令/"（x）=0可得戈=g

因為/（X）為三次函數(shù)，所以/（X）圖象的對稱中心為（；,一1），故/（元）+/（1-1）二-2,

2023]

設(shè)機則機=f

圭卜（募〉”（黑12024)

所以2利=2023(=2023x(—2)=-4046,故加=-2023.

((2024)(2024〃

（2）不等式化為：3以2—（。+3）%+1<0,且a>0,即：（3x—1）（以一1）<（）.

①當(dāng)0<a<3時，解得一<x<—，

3a

②當(dāng)。=3時，不等式的解集為0,

③當(dāng)a>3時，解得

a3

綜上所述，當(dāng)0<。<3時，不等式的解集為

I3af

當(dāng)a=3時，不等式的解集為0,當(dāng)。>3時，不等式的解集為JxL<x<4,.

a3

20.（12分）解：（1）證明：因為四邊形ABCD和EFCZ）都是直角梯形，

所以，DCLCF,DCLCB,且CFCB=C,所以，平面3b,

因為。Cu平面A5CD,所以平面ABC。，平面

（2）過點E、。分別作直線DC、AB的垂線EG、?！贝棺銥镚、H.

由已知和平面幾何知識易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,

則四邊形瓦CG和四邊形。CB”是矩形，所以在RtzXEG。和RtZkOEA中，EG=DH=26

假設(shè)在AE上存在點M，使得二面角M—BC-歹的大小為45°.

由（1）知。C_L平面8b,則N3CE是二面角/一￡>C—3的平面角，

所以N5CF=60°,所以是正三角形.

取8C的中點N,則FN_L8C,又FNu平面BCR,

所以/W,平面ABC。，過點N作AB平行線NK,

則以點N為原點，NK,NB、N/所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-qz,

設(shè)AM=/L4E（O</1<1）,則A（5,6,0）,B（0,A/3,0）,C（0,-V3,0）,￡（1,0,3）,

則〃（5—44班一則8知=（5—4/1,—也/1,3；1）,fiC=（0,-273,0）,

設(shè)平面BCM的法向量為勺=*,y,z）,

-2>/3,y=0

由“BC=O，取〃1=[1,0,與*

得＜

(5-44)無-\/3Ay+3Az=0IDA

nt-BM=0

所以cos45°==―1

又平面BCF的法向量％=（1,0,0）,

同"lJ+(看

整理化簡的742,—402+25=0,解得2=己5或4=5（舍去）.

7

所以存在點M,使得二面角M——尸的大小為45。，且AM=』A￡.

7

21.（12分）解：（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為（由題意知，4+34+4+4〃=4+84,解得4=1,所以4=〃，

因為數(shù)列｛〃｝的前n項和為S.,且滿足S“=3"-1,

當(dāng)〃=1時，Z?,=31—1=2,

tt,Mn

當(dāng)〃22時，bn=Sn-S?_,=3-1-3+1=2x3-',

經(jīng)驗證當(dāng)〃=1時，也滿足上式，

綜上得，2=2x3"!

⑵（i）在d和心之間插入〃個數(shù)%，%，。，因為/，%，％2,…成等差數(shù)列,

%_2x3"2X3"T_4X3"T

設(shè)公差為d.，d

nn+1n+1〃+1

則限=bn+kd?=2x3"T+k=2"+l+"x2x3"，

〃+l〃+l

(ii)設(shè)““=c,”++?+c??=〃(2x3'i+M"'>1+x^LL=4〃x3,,_|,

I〃+l)2n+1

則Q+C21+C22++%+%2++%=j+(0+C22)++(j+C"2++。皿)=河|+“2++M〃，

設(shè)(="I+%++Mn,

即7；=4x30+8x3〔+12x3?++(4/7-4)3"-2+4nx3n-1

3T?=4x3'+8X32+12X33++(4/I-4)X2X3"-1+4/1x3"-27；,

1

=4+4x3+4x32++4x3,,_|-4nx3n=4(30+3+32+32++3")—4〃乂3"=4x-py—4〃x3".

所以，7；,=1+(27?-1)X3,'.

22.(12分)

解：⑴函數(shù)。(無)的定義域為定,+8),/'(x)=lnx+l,

令/'(x)=0得，x=-,由((x)<0得，0<x<1；由/'(x)>0得，x>-,

eee

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(oj),單調(diào)遞增區(qū)間為(J+oo).

列表得：

X

e

r(x)——0+

f(x)J極小值-一T

e

所以當(dāng)》=!時的極小值為一1,無極大值.

ee

函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減，在(g,+oc)上單調(diào)遞增.

(2)由題意得，A/(xo,xolnxo),x0>—,所以勺u/lNjulriXo+l,

y=(lnx°+l)x-，所以*/彳。)，5(。,F)，S=薪旬,

故切線/的方程為:

令/?(x)=--~x>~,所以,(x)=x(l+21n1,令/(箝=0,

2(lnx+l)2e2(1+Inx)2

列表得,

1

Xfi一,e-2ne5,+oo

")\7

h'(x)—0