【考研-東北財經(jīng)-不確定性條件下的消費者選擇行為(期望效用理論)】5計算題

1．在一自由市場，一商販的效用函數(shù)為代表收入。他每天的收入為200元，但按規(guī)定應(yīng)交納50元的固定稅費。市場監(jiān)管人員按10%的概率抽查。被抽中則肯定能被查清是否已繳稅，偷稅者將被罰款。（1）為了打擊偷稅，市場監(jiān)管人員需要決定罰款額至少應(yīng)為多少？請求出。（2）假定該商販還有其他與該市場無關(guān)的隨機收入，即各以50%的概率獲得100元和300元，那么你對（1）的回答是否有變化？如果有，請給出。（北大2004研）解：（1）繳稅時商販的效用為假設(shè)偷稅罰款為X元，則逃稅的效用為設(shè)則解得：所以罰款額至少為188.74元。（2）在有其他收入的情況下繳稅時商販的效用為假設(shè)偷稅罰款為X元，則逃稅的效用為設(shè)則解得：5．設(shè)有一居民李四效用函數(shù)為U（x，y）＝x14y34，其中x為食品消費量，y為其他商品的消費量，且該居民的收入為5000元，x與y的價格均為10元，請計算：（1）該居民的最優(yōu)消費組合。（2）若政府提供該居民2000元的食品兌換券，此兌換券只能用于食品消費，則該居民的消費組合有何變化？（廈門大學(xué)2003研）解：（1）要實現(xiàn)消費者的效用最大化，應(yīng)滿足：即得①同時要滿足收入約束：②聯(lián)立①②得：（2）y500354.170145.83200500700x消費者的預(yù)算約束如圖所示，政府提供該居民2000元的食品兌換券后，消費者的預(yù)算線變?yōu)橐粭l折線。此時，消費者的無差異曲線與其沒有公切點。所以，該居民的最優(yōu)消費組合為折點，即：。6．近年來保險業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)原理分析為什么人們愿意購買保險，假定有一戶居民擁有財富10萬元，包括一輛價值2萬元的摩托車，該戶居民所住地區(qū)時常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜，假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中W表示財富價值。（1）計算該戶居民的效用期望值；（2）如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險，還是愛好風(fēng)險？（3）如果居民支付一定數(shù)額的保險費則可以在摩托車被盜時從保險公司得到與摩托車價值相等的賠償，試計算該戶居民最多愿意支付多少元的保險費？（4）在該保險費中“公平”的保險費（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是多少元？解：（1）該戶居民的期望效用為：；（2）由可得：

故該戶居民是風(fēng)險規(guī)避者。（3）繳納保險費后，居民的財富確定，為：不繳納保險費，居民的預(yù)期效用為：11.46令元。故居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保險費為2×25%＝0.5萬元故保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是5434－5000＝434（元）2．某人有10萬元的存款，存入銀行可以獲取2％的利率。他可以將一部分錢投入股票市場，現(xiàn)在假設(shè)股票市場僅僅存在一種股票，收益率和方差服從正態(tài)分布N（0.1，1），他對于均值和方差的偏好為U（μ，σ）＝10μ－σ2，他應(yīng)該將多少錢投放到股票市場上？（清華大學(xué)2004研）解：設(shè)此投資者將x比例的錢投資放到股票市場上，則他存入銀行的比例為（1－x）。這樣，可以把其投資看成是含有一種風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合。其中，無風(fēng)險利率，風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率，標(biāo)準(zhǔn)差則投資組合的期望收益率為：標(biāo)準(zhǔn)差為：則對投資組合的偏好可表示為：投資者追求效用最大化，應(yīng)滿足：得：x＝0.4即投資者應(yīng)將（萬元）的錢投放到股票市場上。4．假設(shè)王五的效用函數(shù)為，其中I代表以千元為單位的年收入。（1）王五是風(fēng)險中性的，風(fēng)險規(guī)避的還是風(fēng)險愛好型的，請解釋。（2）假設(shè)王五現(xiàn)在的年收入為10000元，該工作是穩(wěn)定的，他可以獲得另一份工作，收入為15000元的概率為0.5，收入為5000元的概率為0.5，王五將作何選擇？（中山大學(xué)2004研）解：（1）王五的貨幣邊際效用為；>0貨幣的邊際效用是遞增的，所以王五是風(fēng)險愛好者。（2）王五獲得另一份工作的期望收益為期望收益和原來的年收入一樣，因為王五是風(fēng)險愛好者，在期望收益相同時，王五會選擇風(fēng)險更大的工作，即王五將辭掉目前的工作，而找另一份工作。9.某人的效用函數(shù)形式為u=lnw。他有1000元錢，如果存銀行，一年后他可獲存款的1.1倍，若他買彩票，經(jīng)過同樣時間后他面臨兩種可能：有50%的機會他獲得買彩票款的0.9倍，50%的可能獲得彩票款的1.4倍。請問他該將多少錢存銀行，多少錢買彩票。（北大2006研）解：假設(shè)此人將其所擁有的1000元中的x用于購買彩票，他將剩余的（1000－x）元存在銀行。對于（1000－x）元的銀行存款而言，在一年后連本帶息將有1.1×（1000－x）元；而對于x元購買彩票的錢而言，將有兩種可能性：①獲得0.9x元，其概率為0.5②獲得1.4x元，其概率為0.5綜上所述，此人的期望效用為：EU＝0.5×ln[1.1×（1000－x）+0.9x]＋0.5×ln[1.1×（1000－x）+1.4x]解得x=916.6所以此人為了使其預(yù)期效用最大化，他將花費916.6元用于購買彩票，將剩余的錢元用于銀行存款。10．近年來保險業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)原理分析為什么人們愿意購買保險，假定有一戶居民擁有財富10萬元，包括一輛價值2萬元的摩托車，該戶居民所住地區(qū)時常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜，假定該戶居民的效用函數(shù)為其中W表示財富價值。（1）計算該戶居民的效用期望值。（2）如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險，還是愛好風(fēng)險？（3）如果居民支付一定數(shù)額的保險費則可以在摩托車被盜時從保險公司得到與摩托車價值相等的賠償，試計算該戶居民最多愿意支付多少元的保險費？（4）在該保險費中“公平”的保險費（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是多少元？（北大1998研）解：（1）該戶居民的期望效用為：75%×ln100000+25%×ln80000=11.46（2）故該戶居民是風(fēng)險規(guī)避者。（3）繳納保險費后，居民的財富確定地為：不繳納保險費，居民的預(yù)期效用為：11.46故元。居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保險費為2×25%=0.5萬元故保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是5434－5000=434（元）12．假定某君效用函數(shù)為U=20+2M，這里，U是效用，M是貨幣收入（萬美元）。他有10萬美元，想投資于某項目。他認(rèn)為有50%的可能損失全部投資，有50%可能獲得30萬美元，試問：（1）如果他投資，他的效用是多少？（2）他是否會進行這筆投資？（復(fù)旦大學(xué)1998研）解：（1）該君貨幣期望值為0.5×0+0.5×30=15（萬元）。因此，如果他投資，效用為U=20+2M=20+2×15=50?；颍浩谕в脼椋?）從效用函數(shù)的形式看，效用是貨幣收益的線性函數(shù)，因而他是一個風(fēng)險中立者。他對風(fēng)險持無所謂態(tài)度，關(guān)心的只是貨幣期望值極大，既然投資的貨幣期望值是15，而不投資的貨幣期望值為10，他當(dāng)然會選擇投資。13．收獲后，農(nóng)民決定是賣糧存錢還是存糧。假定農(nóng)民預(yù)期一年后糧價將漲20%。（不考慮糧食質(zhì)量的差異），而存糧一年期間老鼠將吃掉10%的糧食，銀行存款的年利率是10%。計算當(dāng)預(yù)期的通貨膨脹率為5%時，農(nóng)民將如何選擇？通貨膨脹率到什么水平時，農(nóng)民將選擇存錢?（北大1999研）解：假設(shè)農(nóng)民現(xiàn)有價值1元的糧食。若他賣糧存錢，則一年后的收益為1+10%=1.1；若存糧，一年后的價值為（1+20%）（1－10%）（1+5%）=1.134，故農(nóng)民將選擇存糧。設(shè)通貨膨脹至π時，農(nóng)民將選擇存錢，此時必有（1+10%）（1+20%）（1－10%）（1+π）因此，當(dāng)通貨膨脹率小于等于1.85%時，農(nóng)民將選擇存錢。14．如果一個市場中的消費者都具有擬線性偏好（quasilinearutility），即其中，……N代表第i個消費者，和分別代表每i個消費者對商品x和y的消費量，證明商品x的市場需求曲線一定不可能有正斜率。（北大1999研）解：對第i個消費者來說，其效用最大化問題為：使得其中mi為消費者i的收入由一階條件因此，故斜率一定非正。15．如果某人的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)為一常數(shù)，則這個人的效用函數(shù)的形式必為。證明：設(shè)則有,為任意常數(shù)。=>u（w）=故其效用函數(shù)的形式必為23．一個具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財產(chǎn)，但他面臨火災(zāi)風(fēng)險：一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會使其損失120000。他的效用函數(shù)形式是＝。若他買保險，保險公司要求他自己承擔(dān)7620單位的損失（若火災(zāi)發(fā)生）。這個投保人愿支付的最高保險金是多少？解：假設(shè)這個投保人愿支付的最高保險金為R，則有=得＝385即此投保人最高愿支付保險金385元。17．一個農(nóng)民認(rèn)為在一個播種的季節(jié)里，雨水不正常的可能性是一半對一半。他的預(yù)期效用函數(shù)的形式為預(yù)期效用=這里，與分別代表農(nóng)民在“正常降雨”與“多雨”情況下的收入。（1）假定農(nóng)民一定要在兩種如下表所示收入前景的谷物中進行選擇的話，會種哪種谷物？谷物小麥28000元10000元谷子19000元15000元（2）假定農(nóng)民在他的土地上可以每種作物都播種一半的話，他還會選擇這樣做嗎？請解釋你的結(jié)論。（3）怎樣組合小麥與谷子才可以給這個農(nóng)民帶來最大的預(yù)期效用？（4）如果對于只種小麥的農(nóng)民，有一種要花費4000元的保險，在種植季節(jié)多雨的情況下會賠付8000元，那么，這種有關(guān)小麥種植的保險會怎樣改變農(nóng)民的種植情況？解：（1）∵∴種谷子（2）∵∴各播種一半時∴會選擇每種作物播種一半。（3）設(shè)小麥的播種比例為x，谷子為1-x則預(yù)期效用令，且∴應(yīng)選擇比例種小麥。（4）當(dāng)種植小麥時，得最大預(yù)期效用：而在只種小麥但投保情況下：∴會選擇只種小麥并投保。某人A的效用函數(shù)為：，M為收入。如果他成為一名秘書，則每年肯定能夠收入30000元；如果成為一名產(chǎn)科醫(yī)生，在產(chǎn)育的高峰期將收入60000元（假設(shè)發(fā)生的概率為0.75），而在產(chǎn)育的低谷期則只能收入20000元（假設(shè)發(fā)生的概率為0.25）。如果有一家咨詢公司能夠預(yù)測兩種情況將要發(fā)生的概率。A認(rèn)為應(yīng)該為這條信息費用最多支付多少錢。解：兩種職業(yè)進行對比，如果為醫(yī)生職業(yè)支付得過多，那么，他寧愿選擇成為秘書。所以，當(dāng)兩個職業(yè)的期望收入效用相等，此時的X即為最大支付費用。如表3.1。表3.1A的效用矩陣秘書收入的期望效用：醫(yī)生收入的期望效用：所以，醫(yī)生收入的期望效用高于秘書收入的期望效用，A愿意為該信息支付費用。本題如果按照支付X信息費后，計算醫(yī)生收入的期望效用，然后解方程，由于未知數(shù)處于兩個不同分式的分母，解題將極為困難。此時，可以換一種思路，如果秘書的收入增加，當(dāng)增加后秘書的收入的期望效用大于等于醫(yī)生收入的期望效用，此時A將不愿意為該信息付費，那么此時假設(shè)的增加的收入即為答案。解題如下：當(dāng)收入增加10000時候，A就開始不愿意為該信息支付費用了。所以，很顯然，最大支付的費用為10000。如果支付費用為10000，進行驗算：說明最大支付費用為10000符合題意。25．在固定收益率為的資產(chǎn)上投資美元，可以在兩種狀態(tài)時獲得；而在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資在好日子收益為，在壞日子為（其中。通過上述假定，風(fēng)險資產(chǎn)上的投資就可以在狀態(tài)偏好的框架中被加以研究。（1）請畫出兩種投資的結(jié)果。（2）請說明包含無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險資產(chǎn)的“資產(chǎn)組合”怎樣可以在你的圖中得到顯示。你怎樣說明投資在風(fēng)險資產(chǎn)中的財富比例？（3）請說明個人對于風(fēng)險的態(tài)度會怎樣決定他們所持有的無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險資產(chǎn)的組合。一個人會在什么情況下不持有風(fēng)險資產(chǎn)？解：（1）