4.2 由平行線截得的比例線段（2大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第4章相似三角形4.2由平行線截得的比例線段（2大題型）分層練習(xí)考查題型一由平行判斷成比例的線段1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，若，，，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的方法即可求解．【詳解】解：在中，，∴，∴，且，，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，直線分別交，，于點(diǎn)A，B，C，直線分別交，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，與相交于點(diǎn)G，且，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計(jì)算，可求得答案．【詳解】解：∵，，，∵直線，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）基本事實(shí)：兩條線段被一組所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果，那么，，．【答案】平行線【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】基本事實(shí)：兩條線段被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖，如果，那么，，．故答案為：平行線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的知識(shí)，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，，則．【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到對(duì)應(yīng)邊成比例，然后利用比例性質(zhì)求出DE．【詳解】∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，在中，，求證：

(1)(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵∴∴；（2）證明：∵∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了成比例線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段成比例的性質(zhì)．考查題型二由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值1．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，．若，，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．15 C．16 D．18【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，可得，即可得到．【詳解】解：，，即，解得：，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D在邊上，，O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作交于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，，再根據(jù)O是的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：如圖，作交于F，

∵，O是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過(guò)分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）五線譜是一種記譜法，通過(guò)在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來(lái)記載音樂．如圖，，，為直線與五線譜的橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，則的值是．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)作于，交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，交于，∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．5．（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)．

(1)過(guò)點(diǎn)作直線，交線段于點(diǎn)E．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，若，求的值．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）作，交于點(diǎn)，（2）利用平行線分線段比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，作，交線段于點(diǎn)，∴，則直線即為所作；

（2）∵，，∴，∴∴．∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了平行線的判定，平行線分線段成比例定理．掌握基本作圖和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的長(zhǎng)（

）

A．3 B．4 C．5 D．10【答案】D【分析】根據(jù)得到求得后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】∵，，，∴，∴，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是線段延長(zhǎng)線上的一個(gè)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到平行線，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算判斷即可．【詳解】∵平行四邊形，∴，∴，∴，∴，故A正確；∵平行四邊形，∴，∴，∴，故C正確；∵平行四邊形，∴，∴,故D正確；∵平行四邊形，∴，∴，∴，故B錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線，直線與分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是（）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西寶雞·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，M為的中點(diǎn)，連接，E為中點(diǎn)，連接、，若為直角，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而利用矩形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)E作于F，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，

∵四邊形是矩形，，，，，，，∴四邊形是矩形，∵E為的中點(diǎn)，，，，，，，，，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，

，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．5．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,可證．同理，可得，，；由,得，于是；設(shè)，則，，，從而得．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．設(shè)，則，∴∴．∴．∴．∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)已知平行線得到，然后帶入求值即可．【詳解】解：，，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)平行線找到對(duì)應(yīng)成比例線段是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，的長(zhǎng)度不定，且，點(diǎn)E在上，且，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)度為．【答案】4或9/9或4【分析】分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，如圖，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，∴，∴∴；當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，∴，這與矛盾，故不符合題意，舍去．綜上可知，的長(zhǎng)度為4或9．故答案為：4或9．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由平行線分線段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點(diǎn)進(jìn)一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；則；而，，；為邊的中點(diǎn)，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．9．（2023春·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】根據(jù)菱形的對(duì)稱性，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接交于，則的值最小，故的長(zhǎng)即為的最小值．過(guò)E作于G，過(guò)F作于H，連接，則，，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可求得，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即可求出．【詳解】解：根據(jù)菱形的對(duì)稱性，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接交于，則的值最小，故的長(zhǎng)即為的最小值．過(guò)E作于G，過(guò)F作于H，連接，如圖，

則，，由菱形的性質(zhì)可知，，由可得，，∵，，∴∴，∴在中，，∴，由平行線分線段成比例定理可得，即，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，能用一條線段的長(zhǎng)表示兩條線和的最小值是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為．【答案】2【分析】以為對(duì)稱軸作的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連，依據(jù)，可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)，再求得，即可得出，，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可得到．【詳解】解：如圖所示，以為對(duì)稱軸作的對(duì)稱點(diǎn)，連，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為，，為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，即的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．11．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)且，請(qǐng)?jiān)谏险乙稽c(diǎn)E，使得．

【答案】見解析【分析】在三角形內(nèi)部作，邊交于點(diǎn)E，可得，于是，得．【詳解】解：以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，為邊，作，邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．理由如下，如圖，，∴．∴．∴．

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，作一個(gè)角等于已知角，平行線的判定，平行線分線段成比例定理；由平行線得到比例線段是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，已知，；，，．求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題．角平分線分線段成比例定理：如圖①，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；(2)如圖③，在中，是角平分線，，，．求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵是角平分線，∴，∵，，，∴，解得cm．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)均為格點(diǎn)，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中找一格點(diǎn)滿足下列要求：

(1)在圖①中，將平移，使點(diǎn)平移到點(diǎn)，畫出經(jīng)平移