1.3 解直角三角形（7大題型）（分層練習(xí)）（原卷版）

第1章解直角三角形1.3解直角三角形（7大題型）分層練習(xí)考查題型一解直角三角形的相關(guān)應(yīng)用1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點(diǎn)，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．

3．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

考查題型二解非直角三角形1．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．2．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．考查題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積1．（22·23下·益陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022下·哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點(diǎn)，將沿直線AM對(duì)折得到，若AN平分，則CN的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．33．（22·23下·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．考查題型四仰角俯角問(wèn)題1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門(mén)的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門(mén)的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

考查題型五方位角問(wèn)題1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

3．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向上，已知該島周?chē)?海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）考查題型六坡度坡比問(wèn)題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（22·23下·南充·階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？考查題型七解直角三角形的其他應(yīng)用1．（2022春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫(xiě)得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算2．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長(zhǎng)廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長(zhǎng)廊加修一條棧道，則的最短長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）3．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門(mén)式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長(zhǎng)．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米，）

1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊上，若，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，連結(jié)并延長(zhǎng)至C，連結(jié)，若滿足，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．3．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B，D分別落在點(diǎn)，處，如果點(diǎn)，，C在同一條直線上，那么的值為（）

A． B． C． D．4．（2022下·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫(xiě)得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算5．（2023下·山東日照·九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，斜坡的坡度是，如果點(diǎn)B離地面的高度是3米，那么斜坡的長(zhǎng)度是米．

7．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方的點(diǎn)處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端兩點(diǎn)的俯角分別為和，則橋的長(zhǎng)度是（結(jié)果根據(jù)四舍五入法精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)）．

8．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門(mén)高米，學(xué)生身高米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開(kāi)體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭的仰角為，則體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段的長(zhǎng)為．9．（2023上·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上．如果平分，那么的長(zhǎng)度為．10．（2022下·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，．點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是．11．（2023上·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知梯形是一水庫(kù)攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬米，壩高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求壩底寬．12．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校┪覈?guó)在人工智能技術(shù)研究領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先地位，“中國(guó)制造”已向“中國(guó)智造”轉(zhuǎn)型，圖1是我國(guó)自行設(shè)計(jì)的一款智能手臂機(jī)器人，圖2是該型號(hào)手臂機(jī)器人處于工作狀態(tài)時(shí)的示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，，為機(jī)械臂，，，，，過(guò)點(diǎn)C作直線垂直工作臺(tái)于點(diǎn)D，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)．(1)求的度數(shù)．(2)求機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）13．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某地下停車(chē)庫(kù)入口的設(shè)計(jì)示意圖，已知，坡道的坡度，的長(zhǎng)為7.2米，的長(zhǎng)為0.4米．按規(guī)定，車(chē)庫(kù)坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，以便告知停車(chē)人車(chē)輛是否能安全駛?cè)耄鶕?jù)所給數(shù)據(jù)，請(qǐng)確定該車(chē)庫(kù)入口的限高（即點(diǎn)D到的距離的值）．14．（2023上·北京西城·九年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校逗u算經(jīng)》是中國(guó)古代測(cè)量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測(cè)量向間接測(cè)量的橋梁．直至近代，重差測(cè)量法仍有借鑒意義．如圖，為測(cè)量海島上一座山峰的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿和，兩桿間距相距6米，D、B、H三點(diǎn)共線．從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點(diǎn)共線，