人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)期末復(fù)習(xí)資料

五、線面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直文字語言：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.符號(hào)語言：關(guān)鍵點(diǎn)：在平面內(nèi)找兩條相交直線與所要證的直線垂直六、線面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直線線垂直文字語言：若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直平面內(nèi)的任意一條直線.符號(hào)語言：關(guān)鍵點(diǎn)：往往線面垂直中的線線垂直需要用這個(gè)定理推出七、平面與平面垂直的判定定理：線面垂直面面垂直文字語言：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.（如果一條直線垂直于一個(gè)平面，并且有另一個(gè)平面經(jīng)過這條直線，那么這兩個(gè)平面垂直）符號(hào)表示：關(guān)鍵點(diǎn)：在需要證明的兩個(gè)平面中找線面垂直八、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：面面垂直線面垂直文字語言：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面.符號(hào)語言：關(guān)鍵點(diǎn)：先找交線，再在其中一個(gè)面內(nèi)找與交線垂直的線。一、線線、線面和面面的位置關(guān)系兩直線位置關(guān)系線面位置關(guān)系面面的位置關(guān)系二、有關(guān)平行的證明線∥線⑴線∥線線∥線（都是直線）⑵線∥面線∥線（相交平面）⑶面∥面線∥線（平行平面）⑷同垂直于一個(gè)平面線∥線（線面垂直）線∥面⑴線∥線線∥面⑵面∥面線∥面面∥面線∥面面∥面

三、有關(guān)垂直的證明線⊥線線⊥線線⊥線線⊥面線⊥線線⊥面線⊥線線⊥面面⊥面線⊥面面⊥面線⊥面面⊥面四、三種角的范圍異面直線所成角直線與平面所成角二面角（理科用）五、三角形的四心六、平面幾何中結(jié)論外心：中位線定理——中位線平行且等于底邊的一半內(nèi)心：線段對(duì)應(yīng)成比例線線平行重心：兩組對(duì)邊平行或一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形垂心一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形為梯形必修第二冊(cè)常用29個(gè)結(jié)論1．三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．4．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).7．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．8．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.9．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.10．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.11．|z|2＝|eq\x\to(z)|2＝z·eq\x\to(z).12．特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面為平),\s\do5(行四邊形))eq\x(平行六面體)eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(直平行六面體)eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(矩形))eq\x(長(zhǎng)方體)eq\o(→,\s\up7(底面邊),\s\do5(長(zhǎng)相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\do5(邊長(zhǎng)相等))eq\x(正方體)上述四棱柱有以下集合關(guān)系：{正方體}{正四棱柱}{長(zhǎng)方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}．13．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x軸，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，,相對(duì)位置不改變.))14．正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.15．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．16．異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．17．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))線面平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))面面性質(zhì)定理平行線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想．18．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.19．直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．20．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))線面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))面面垂直21．證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．22．證明空間任意四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．23．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，分層抽樣中各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．24．利用分層抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù)，則應(yīng)當(dāng)調(diào)整各層容量，即先剔除各層中“多余”的個(gè)體．25．平均數(shù)的性質(zhì)①若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)為aeq\x\to(x)；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b.②若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X，N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y，則這(M＋N)個(gè)數(shù)的平均數(shù)是eq\f(MX＋NY,M＋N).③若兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數(shù)分別是eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均數(shù)是eq\x\to(x)＋eq\x\to(y).26．方差的性質(zhì)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.特別地，當(dāng)a＝1時(shí)，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)中的第一個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)，方差是不變的，即不影響數(shù)據(jù)的波動(dòng)性．27．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．28．巧用四個(gè)有關(guān)的結(jié)論(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．29．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．RJA必修第二冊(cè)常見31個(gè)知識(shí)誤區(qū)1．若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則這兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．2．零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．3．注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行之間的關(guān)系．4．平面向量的基底中一定不含零向量．5．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，向量的坐標(biāo)是指向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)．6．投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量．7．向量a在向量b方向上的投影與向量b在向量a方向上的投影不是一個(gè)概念，要加以區(qū)別．8．向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．9．兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?0．利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．11．注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．12．求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò)．13．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．14．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線即不平行，也不相交．15．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)最易忽視“線在平面內(nèi)”．16．在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．17．解題中注意符號(hào)語言的規(guī)范應(yīng)用．18．證明線面垂直時(shí)，易忽視平面內(nèi)兩條直線為相交直線這一條件．19．兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件．20．向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．21．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))①證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說明點(diǎn)M或點(diǎn)N不在平面ABC內(nèi)(因?yàn)棰偈街槐硎緀q\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面)．22．當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角．23．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.24．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率是相同的．25．易忽視頻率分布直方圖中縱軸表示的應(yīng)為eq\f(頻率,組距).26．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.27．一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型才是古典概型．28．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，概率是一個(gè)常數(shù)．29．對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．30．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.31.當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．第六章 平面向量設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定義及表示（向量無特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向線段：帶有方向的線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度；②向量的表示：2、向量的有關(guān)概念：相等向量是平行（共線）向量，但平行（共線）向量不一定是相等向量向量名稱定義零向量長(zhǎng)度為0的向量，記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任一向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，記作a＝b【6.2】平面向量的運(yùn)算1、向量的加法（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算.（2）運(yùn)算法則：向量求和的法則圖示幾何意義三角形法則使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相接”的條件，而向量加法的平行四邊法則應(yīng)用的前提是共起點(diǎn)已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC（OC是?OACB的對(duì)角線）就是向量a與b的和（3）規(guī)定：對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.（5）一般地我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時(shí)等號(hào)成立.（6）向量加法的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律相同2、向量的減法（1）相反向量（利用相反向量的定義，－AB＝BA就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法）定義：我們規(guī)定，與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量性質(zhì)：①對(duì)于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量減法運(yùn)算（向量的減法是向量加法的一種逆運(yùn)算）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.a－b＝a＋（－b），減去一個(gè)向量就等于加上這個(gè)向量的相反向量.幾何意義：a－b表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.3、向量的數(shù)乘運(yùn)算（實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算）（1）定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反.③由①可知，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.（2）運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb；特別地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.（3）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍是向量.對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.（4）共線向量定理：向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示.4、向量的數(shù)量積（1）向量的夾角：兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為0，（2）向量的夾角的定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作向量OA＝a，OB＝b，則∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角.當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向.如果a與b的夾角是π2，我們說a與b垂直，記作a⊥b（3）向量的數(shù)量積及其幾何意義：向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正可負(fù)可為0（4）向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（5）投影：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB＝a，CD＝b，我們考慮如下變換：過AB的起點(diǎn)a和終點(diǎn)b，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a（6）向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b?a·b＝0③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.在求解向量的模時(shí)一般轉(zhuǎn)化為模的平方，但不要忘記開方④|a·b|≤|a|·|（7）運(yùn)算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c（8）運(yùn)算性質(zhì)：類比多項(xiàng)式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1、平面向量基本定理（定理中要特別注意向量e1與向量e2是兩個(gè)不共線的向量）條件：e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論：對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2、平面向量的坐標(biāo)表示（1）基底：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.（2）坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo).（3）坐標(biāo)表示：a＝（x，y）.（4）特殊向量的坐標(biāo)：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.（5）平面向量的加減法坐標(biāo)運(yùn)算（可類比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則進(jìn)行記憶）設(shè)向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，則有下表：文字描述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝（x1－x2，y1－y2）重要結(jié)論一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1）（6）平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝（x，y），則有λa＝（λx，λy），這就是說實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（7）平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.（8）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x=x1+x22y=y1（9）兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.數(shù)量積：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0（10）與向量的模、夾角相關(guān)的三個(gè)重要公式①向量的模：設(shè)a＝（x，y），則|a|＝x2②兩點(diǎn)間的距離公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝（x③向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ，則θ【6.4】平面向量的應(yīng)用1、平面幾何中的向量方法用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例（1）向量與力：向量是既有大小，又有方向的量，它們可以有共同的起點(diǎn)，也可以沒有共同的起點(diǎn).而力是既有大小和方向，又有作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問題時(shí)，往往把向量平移到同一作用點(diǎn)上.（2）向量與速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加、減運(yùn)算.用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的知識(shí)主要是向量的線性運(yùn)算，有時(shí)也借助于坐標(biāo)來運(yùn)算.（3）向量與功、動(dòng)量：力所做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ為F和s的夾角）.動(dòng)量mν實(shí)際上是數(shù)乘向量.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推論（SAS、SSS、SSA）文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號(hào)語言：；；.在△ABC中，有，推論：（2）解三角形：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，該比值為該三角形外接圓的直徑.符號(hào)語言：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（R為△ABC的外接圓的半徑）（4）正弦定理的變形形式變形形式是在三角形中實(shí)現(xiàn)邊角互化的重要公式設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；（5）三角形面積公式：．（6）相關(guān)術(shù)語①仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示.②方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指從原點(diǎn)O出發(fā)的經(jīng)過目標(biāo)的射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上.依此可類推正北方向、正東方向和正西方向.東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線（如圖2所示）.（7）解三角形應(yīng)用題解題思路：基本步驟：運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟如下：①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個(gè)或幾個(gè)三角形）；②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題的解.第七章 復(fù)數(shù)【7.1】復(fù)數(shù)的概念1、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.（2）復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi（a，b∈R），其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.（3）復(fù)數(shù)相等：在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d.（4）復(fù)數(shù)的分類①對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以分類如下：復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)（②集合表示：2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)平面（復(fù)平面中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部）（2）復(fù)數(shù)的幾何意義①復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）.②復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）一一對(duì)應(yīng)平面向量OZ.（3）復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式：（，）.（4）復(fù)數(shù)的模①定義：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的?；蚪^對(duì)值.②記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2（a，b如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于|a|（a的絕對(duì)值）.（5）共軛復(fù)數(shù)：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.（6）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)就不能比較大小。（7）解復(fù)數(shù)方程若，在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根.【7.2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的加法法則①運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).②復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如圖，復(fù)數(shù)z1＋z2是以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ③加法運(yùn)算律：對(duì)任意z1，z2，z3∈c，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.④復(fù)數(shù)加法的幾何意義：兩個(gè)向量OZ1與OZ2的和就是與復(fù)數(shù)（a＋c）＋（b＋d）i（2）復(fù)數(shù)的減法法則①運(yùn)算法則：復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算；設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).②復(fù)數(shù)減法的幾何意義：如圖，復(fù)數(shù)z1－z2是從向量OZ2的終點(diǎn)指向向量OZ1的終點(diǎn)的向量Z2、復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算①復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.②復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律 z1·z2＝z2·z1乘法對(duì)加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3結(jié)合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）（2）復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算設(shè)z1＝a＋bi，,z2＝c＋di（c＋di≠0）），則z復(fù)數(shù)的除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化.若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi.3、幾個(gè)重要的結(jié)論①②③若為虛數(shù)，則4、運(yùn)算律① ② ③5、關(guān)于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：①②③④【7.3】復(fù)數(shù)的三角表示1、復(fù)數(shù)的三角表示式（1）復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式，為了與三角形式區(qū)分開來，a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.（2）輻角主值：規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.2、復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)三角形式的乘法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].（2）復(fù)數(shù)三角形式的除法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.r第八章 立體幾何初步【8.1】基本立體圖形1、多面體（1）空間幾何體（我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大?。┛臻g幾何體：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸（2）多面體多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊情形棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O（4）棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.（5）簡(jiǎn)單組合體（“接”和“截”簡(jiǎn)單幾何體就可得到組合體）①定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.②簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的.【8.2】空間幾何體的直觀圖1、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟2、斜二測(cè)畫法的步驟：①平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；②平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線長(zhǎng)度不變3、原圖與直觀圖的關(guān)系：S直=S原；S原=S直【8.3】簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和（2）圓柱的表面積 （3）圓錐的表面積（4）圓臺(tái)的表面積 （5）球的表面積2、空間幾何體的體積（1）柱體的體積 （2）錐體的體積（3）臺(tái)體的體積 （4）球體的體積3、球的組合體（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)（a）.（3）球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.【8.4】空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、平面（1）含義：平面是無限延展的DCBAα（DCBAα①平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）②平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。2、點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置的符號(hào)表示文字語言 符號(hào)語言點(diǎn)A在直線l上 A∈l點(diǎn)A在直線l外 A?l點(diǎn)A在平面α內(nèi) A∈α點(diǎn)A在平面α外 A?α直線l在平面α內(nèi) l?α直線l在平面α外 l?α平面α，β相交于l α∩β＝l3、三個(gè)基本事實(shí)：（1）基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α?；臼聦?shí)1作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)表示為：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l?α基本事實(shí)2作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l基本事實(shí)3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)4、基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論（1）經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面符號(hào)表示為：A?l=>存在唯一的α，使A∈α，l?α（2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面符號(hào)表示為：l∩m=A=>存在唯一的α，使l?α，m?α（3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面符號(hào)表示為：l∥m=>存在唯一的α，使l?α，m?α5、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)6、空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a?α來表示a?α a∩α=A a∥α7、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面有三種位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)（2）兩個(gè)平面相交——無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在同一直線上）α//β α∩β=aABCD【8.5ABCD1、直線與直線平行（1）基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：a∥b，c∥b=>a∥c強(qiáng)調(diào)：基本事實(shí)4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用?；臼聦?shí)4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（2）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)A、B、C、D所構(gòu)成的圖形。（3）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)表示為：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’等角定理作用：判定與證明兩個(gè)角相等。2、直線與平面平行（1）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a?α，b?β，a∥b=>a∥α（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a∥α，a?β，α∩β=b=>a∥b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。3、平面與平面平行（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則面面平行。符號(hào)表示：a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α證明方法：反證法（2）兩個(gè)平面平行的判定定理的推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a?β，b?β，a∩b=P，a’?α，b’?α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α（3）平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。簡(jiǎn)記為：面面平行則線線平行。符號(hào)表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b（4）兩平面平行的相關(guān)性質(zhì)①若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個(gè)平面平行（β∥α，a?α=>a∥β）②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等③平行平面具有傳遞性及平行于同一平面的兩個(gè)平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）④兩條直線被三個(gè)平行平面所截截得的對(duì)應(yīng)線段成比例4、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。【8.6】空間直線、平面垂直1、異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角θ∈（0，π2②當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；l④計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。l2、直線與平面垂直αP（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。αP符號(hào)表示：任意a?α，都有l(wèi)⊥a=>l⊥α（2）判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α3、直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定這條直線與該平面成直角。當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定這條直線與該平面成0°角。（2）范圍：斜線與平面所成的角θ的范圍是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。4、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：（1）直線與平面垂直的性質(zhì)定理1：垂直于平面的直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直。簡(jiǎn)記為：線面垂直則線線垂直。符號(hào)表示：l⊥α，b?α=>l⊥b（2）直線與平面垂直的性質(zhì)定理2：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。簡(jiǎn)記為：線面垂直則線線平行。作用：作平行線。符號(hào)表示：a⊥α，b⊥α=>a//b5、點(diǎn)面距、線面距、面面距（1）點(diǎn)面距：過一點(diǎn)做垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離點(diǎn)面距AO范圍：AO≥0（2）線面距：一條直線與一個(gè)平面平行直線條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離當(dāng)直線l與平面α相交或l?α?xí)r，直線l到平面α的距離為O（3）面面距：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離當(dāng)平面β與平面α相交時(shí)，平面β到平面α的距離為O6、平面與平面垂直（1）二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形二面角的記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面與平面垂直：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。符號(hào)表示：α⊥β（3）兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。簡(jiǎn)記為：線面垂直則面面垂直。符號(hào)表示：AB⊥β，AB?α=>α⊥β（4）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，則這條直線與另一個(gè)平面垂直。簡(jiǎn)記為：面面垂直則線面垂直。作用：作平面的垂線。符號(hào)表示：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l=>α⊥β第九章 統(tǒng)計(jì)【9.1】隨機(jī)抽樣1、在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體，把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．總體中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體，從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（1）抽簽法的一般步驟：將總體的個(gè)體編號(hào)；連續(xù)抽簽獲取樣本號(hào)碼．適用于：總體中個(gè)體數(shù)相對(duì)較少特點(diǎn)：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（等可能性）；總體中個(gè)體數(shù)有限（有限性）；從主體中逐個(gè)抽?。ㄖ鹨恍裕?）隨機(jī)數(shù)表法的步驟：將總體的個(gè)體編號(hào)；在隨機(jī)數(shù)表中選擇開始數(shù)字；讀數(shù)獲取樣本號(hào)碼．適用于：總體中個(gè)體數(shù)相對(duì)較多4、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)（1）總體平均數(shù)（總體均值）：一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，···，YN，則稱Y（2）加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi（i=1，2，···，k），則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)（3）樣本平均數(shù)（樣本均值）：如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，他們的變量值分別為y1，y2，···，yn，則稱y5、分層抽樣（1）分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。抽樣比＝（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：①調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量②保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量③有明顯分層區(qū)分的變量（3）分層的比例問題：①按比例分層抽樣②不按比例分層抽樣（4）在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，···，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用X1，X2，···，Xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，···，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，···，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則：第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為X第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為Y總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為W在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)ω估計(jì)總體平均數(shù)W，即W6、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑獲取數(shù)據(jù)的基本途徑適用類型注意問題通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)對(duì)于有限總體問題，一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的人為錯(cuò)誤通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢嚴(yán)格控制試驗(yàn)環(huán)境，通過精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量通過觀察獲取數(shù)據(jù)自然現(xiàn)象借助專業(yè)測(cè)量設(shè)備通過長(zhǎng)久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)通過查詢獲得數(shù)據(jù)眾多專家研究過，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲(chǔ)必須根據(jù)問題背景知識(shí)“清洗”數(shù)據(jù)去偽存真【9.2】用樣本估計(jì)總體1、畫頻率分布直方圖的步驟（畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，而不是頻率）（1）求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.（2）決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成5～12組，一般取等長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整”.（3）將數(shù)據(jù)分組.（4）列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.（5）畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率組距.小長(zhǎng)方形的面積＝組距×頻率組距＝頻率.各小長(zhǎng)方形的面積和等于2、其他統(tǒng)計(jì)圖表扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)3、第p百分位數(shù)（1）定義：（第50百分位數(shù)就是中位數(shù)，中位數(shù)是百分位數(shù)的特例，百分位數(shù)是中位數(shù)的推廣）一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.（2）計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)第2步，計(jì)算i＝n×p%第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i＋1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（3）四分位數(shù)：25%，50%，75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)4、總體集中趨勢(shì)的估計(jì)（1）眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)②中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù).如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)③平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)（2）眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù)）的影響對(duì)極端值不敏感平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，數(shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大5、總體離散程度的估計(jì)（1）一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為1標(biāo)準(zhǔn)差為1（2）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為Y，則稱S為總體方差，S＝S2如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，總體的平均數(shù)為y，則稱S為總體方