平行線的性質(zhì)平移-七年級數(shù)學(xué)下冊講義（教師版）（人教版）

專題平行線的性質(zhì)、平移

考點1：應(yīng)用平行線的性質(zhì)望^

考點2：真假命血靠

考點3:平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

考點4:利用圖形的平移解決問題??

S目標(biāo)導(dǎo)航

1.平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖所示。性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

2.判斷一件事情的語句叫命題。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，有真命題和假命題之分。

如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫真命題；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論不一定成立，這樣的

命題叫假命題。真命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。

3.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。

平移性質(zhì):平移前后兩個圖形中①對應(yīng)點的連線平行（或共線）且相等；②對應(yīng)線段相等③對應(yīng)角相等

趣‘考

考點1:應(yīng)用平行線的性質(zhì)求角度

典例：（2022秋?西藏林芝?七年級?？计谥校┤鐖D，點E在AC上，點F,G分別在BC,AB上,且。G〃8C,

01=02.

⑴求證：DB//EF-.

(2)若E∕=13AC,01=50°,求0ADG的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）0ΛDG=4O°

【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；

（2）先求出團(tuán)C,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解.

（1）證明：UiDG//BC,

EBl=aD8C.

又001=132,

002=0DBC,

BIDB〃EF.

（2）0Ef0AC,

WCEF=90°.

002=01=50°,

SBC=90--50°=40°.

'3?DG∕/BC,

EBAz）G=ElC=40°.

方法或規(guī)律點撥

本題考查平行線的判定和性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2022秋?山東濟(jì)南?八年級?？计谥校┰赮A8CZ）中，若NA+NC=80。，則/B的度數(shù)是（

A.140oB.120°C.100oD.40°

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，對邊平行即可求解

【詳解】如圖：

FIIYABCf）可知，AD//BC,ZA=ZC,

IaN4+NB=180°,

0ZA+ZC=8Oo,

SINA=NC=40°,

0ZB=180o-ZA=I8()°-40o=140°,

故選:A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對邊平行、對角相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2021春?四川資陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，小明從M處出發(fā)沿著北偏東70。方向行走至N處，又沿北

偏西30。方向走至A處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即A8〃MN）,則方向的調(diào)整應(yīng)是（）

B.右轉(zhuǎn)IOOoC.左轉(zhuǎn)80。D.右轉(zhuǎn)80。

【答案】B

【分析】從M處出發(fā)沿著北偏東70。方向行走至N處，北偏西30。方向走至A處，根據(jù)平行的性質(zhì)可知

ZMNA=SOo,把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即/由〃MN）,則NMW=80。，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，當(dāng)A6〃MN時，ZW4β=80o.

根據(jù)24方向上，點A處的平角可知，N4方向向右轉(zhuǎn)180。-80。=100。，

即可得到A8〃MV,

故選：B.

【點睛】本題主要考查方位角，掌握方位角中方向與偏角的關(guān)系，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?湖北武漢?七年級武漢市武珞路中學(xué)階段練習(xí)）如圖，直線AB與CD相交于點E,在NCEB的

平分線上有一點凡FM//AB.當(dāng)/DEB=Io。時，N尸的度數(shù)是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】D

【分析】由對頂角求得NAEC=I0。，由角平分線的定義求得/2=85。，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】解：EZDEB=IOo,

SZAEC=IOo,

SlNBEC=180°—10°=170°,

國EN平分NCEB,

0Z2=85o.

WFM//AB,

IaNF=N2=85。，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決

問題的關(guān)鍵.

4.（2022春,湖南長沙?九年級長沙縣湘郡未來實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線AB平行直線CD,

NEFD=Io2°,EG平分ZBEF,則NEGF=（）

A.38oB.390C.48oD.49°

【答案】B

【分析】根據(jù)AB「8可知NBEr+NEFD=180。，進(jìn)而求出ZfiEF,再根據(jù)EG平分ZBE∕?■可NBEG,再根

據(jù)平行線的性質(zhì)知ZEGF=NBEG.

【詳解】解：ABCD,

：.^BEF+ZEFD=↑80°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

.?.ZBEF=180o-ZEFD=180p-102°=78°.

EG平分ZBEF,

:.NBEG=LNBEF=39。.

2

ABCD,

.'NEGF=NBfiG=39。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故選B.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，和角平分線的定義.熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋,河南信陽?七年級校考期末）已知直線加〃”，將一塊含30。角的直角三角尺按如圖方式放置

（ZAβC=30o）,其中A,8兩點分別落在直線加，〃上，若/2=57。，則Nl度數(shù)為（）

A.32oB.57oC.55oD.27°

【答案】D

【分析】根據(jù)題意易得回2=財加9=57。，然后問題可求解.

【詳解】解：如圖,

EB2=EL4BD=57°,

EINABC=30°,

13Zl=ZABD-ZABC=27°,

故選D.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?北京西城?七年級期中）如圖，若AB〃CO,EF與AB,Cn分別相交于點E,F,EPVEF,ZEFD

平分線與EP相交于點P,ZfiEP=20。，則/PFD=°.

A--------^L-----------B

P

D

【答案】35。

【分析】由題可求出血F,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可知NDFE,根據(jù)角平分線的定義可得到

結(jié)果.

【詳解】^EP±EF,

0ZPEF=90°,

回NBEP=20°,

0NBEF=ZPEF+ZBEP=HOo,

?aABCD,

0NEFD=180°—NBEF=70°,

EIFP平分∕EΛD,

SlNPFD=LNEFD=35°.

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，注意數(shù)形結(jié)合思想是解

題關(guān)鍵.

7.（2022秋?上海閔行?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線將一塊三角板的直角頂點放在直線4

上，如果Nl=42。，那么/2=度.

【答案】48

【分析】根據(jù)平行線得到內(nèi)錯角相等，在根據(jù)直角即可得到答案.

【詳解】解：Ξa(chǎn)∕∕b,

*2=∕3,

回/1+/3=90°,Zl=42°,

0Z3=9Oo-42o=48o

故答案為48.

1

aI

b——

【點睛】本題考查平行線性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等.

8.（2022秋?北京?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，快艇從P處向正北航行到A處時，向右轉(zhuǎn)60。航行到5處,

再向左轉(zhuǎn)90。繼續(xù)航行，此時的航行方向為北偏西°?

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與方位角的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，

0ZEBF=60°,

SI?DBE90?60?30?,

此時的航行方向為：北偏西30°；

故答案為：30.

【點睛】此題主要考查方位角，解題的關(guān)鍵是熟知方位角的定義及平行線的性質(zhì).

9.（2022秋?四川瀘州?七年級統(tǒng)考期末）如圖是AB,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50。方向，在

3島的北偏西30。方向，則NAcB=.

【分析】根據(jù)方位角的概念，過點C作輔助線，構(gòu)造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，作CE〃/1。，

^?DA∕∕FB.

SiZDAC=ZACE=50°.

^?CE∕∕BF,

0ZCBF=ZBCE=30°.

13ZACB=ZACE+NBCE=50°+30°=80°.

故答案為：80°.

【點睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行線.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

10.(2022春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，已知AB〃所，8C〃OE,

若ZB=7()。，則NE=°.

t

【答案】110

【分析】先根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等"得出NBGE,再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"得出答案.

【詳解】如圖所示.

^AB//EF,

0Z5=NBGE=70°.

^?BC∕/DF,

12ZBGE+Z￡=180°,

IaNK=180o-ABGE=IlOo.

故答案為：110.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活選擇平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?吉林長春?九年級長春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線4〃兒直線/與《、4分別

交于A、B兩點.若/1=57。，則/2的大小為度.

【答案】123

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

0Zl=57o,

0Z3=18Oo-Zl=123o,

團(tuán)直線4〃4，

0Z2=Z3=123o,

故答案為：123.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出N3的度數(shù)，注意：兩直線平行,

同位角相等.

12.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，AB//CD,若NA=40。，ZC=26°,則回E=.

【答案】66°##66度

【分析】如圖所示，過點E作砂〃AB,則打，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別求出

ZAEF=AOo,ZCEF=26°,則NAEC=/AEF+NCER=66°.

【詳解】解：如圖所示，過點E作防〃回，

EF//AB,AB//CD,

^AB//CD//EF,

0NAEF=NA=40o,NCEF=ZC=26°,

SNAEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案為：66°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出/AE尸=40。，NCE產(chǎn)=26。是解題的關(guān)鍵.

13.（2021秋?四川南充?七年級四川省南充市高坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：Z1=Z2,ZZ）=60o,

E

(1)說明：AB//CD.

⑵求/3的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)120°

【分析】(1)根據(jù)對頂角相等得到∠l=NG∕ffi>,再利用平行線的判定即可證明;

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可.

(1)

解：I3N2=NGHD,Zl=Z2.

13NI=NGHD,

B1AB//CD；

(2)

AB//CD,

ElN8+ZD=180°,

EZD=60°.

0ZB=120°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

14.(2021秋?山東德州?七年級?？计谥?如圖：

^AB//EF,猜想圖①中，/B、ZSM與NF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(2)^AB//EF,如圖②，直接寫出/8、ZB6"與NF之間的數(shù)量關(guān)系：.

⑶學(xué)以致用：一個小區(qū)大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于A,8平行于地面AE,若

/88=150。，則ZABC=.

【答案】（I）NBf）F=N3+/F,證明見解析

（2）Zfi+ZBDF+NF=360。

（3）120°

【分析】（1）過點力作CO〃A3；通過平行線的性質(zhì)倒角即可；

（2）過點。作CD〃AB；根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)列出等式求解;

（3）由（2）中的結(jié)論計算即可;

【詳解】（1）解：ZBDF=ZB+ZF；理由如下：

如圖，過點。作CA3：

AB

SlNB=NBDC

BAB//EF

BCD//EF

S?ZCDF=ZF

13ZBDF=ZBDC+ZCDF

ΛBDF=ZB+ZF

（2）解：ZB+ZBDF+ZF=360°；理由如下:

如圖，過點。作C￡>〃AB；

^AB∕/EF

AB//CD//EF

0ZB+ZBDC=180o,ZCDf+ZF=180°

0ZB+ZBDF+ZF=ZB+ZBZX7+ZCDF+ZF=360p

(3)解：由(2)可知：ZBCD+ZABC+ABAE?360°

^BA±AE

SIN84E=90°

0ZABC=360o-ZBAE-NBCD=120°

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及傳遞性；熟練運用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵.

15.（2022春?黑龍江哈爾濱?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1,AB〃CQ,直線AB外有一點M,連接AM,CM.

圖1圖2圖3

（1）證明：ZM+ZA≈ZC;

（2）如圖2,延長M4至點E,連接CE,CM平分∕ECZ）,AF平分NE4B,且AF與CM交于點尸，求/E與

NAFC的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖3,在2的條件下，NE=IO0。，E4±AN,連接CN,且NM=2Z∕V,NMCN=30°,求NM的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析

⑵NE=3600-2ZAFC

(3)20°

【分析1（1）過點M作MN〃AB,根據(jù)平行線性質(zhì)即可得到角度關(guān)系，即可求證；

（2）過點E作EP〃/W,過點尸作Q尸〃AB根據(jù)平行線性質(zhì)得到角度關(guān)系即可得到答案；

（3）過點N做NF〃A3,過點M作MX〃/W,根據(jù)平行線性質(zhì)得到角度關(guān)系即可得到答案.

【詳解】（1）證明：過點M作M/V〃AB.

圖1

^?AB∕∕CD,MN//AB,

MN//CD//AB

0ZA+ZΛ?WE+ZAWE=18Oo,NNME+NMEB=180。，/MEB=NC,

0ZA+ZAME=ZMEB,

團(tuán)NA+NAMC=NC;

(2)解：團(tuán)CM平分NEcD,設(shè)NECM=ZMC￡)=〃，

乂團(tuán)?平分NE4B,設(shè)ZEAF=NfAe=/?,

⑦NECD=2∕ECM=2a,AEAB=IAEAF=Ib.

過點E作EP〃⑷?，

圖2

^AB//CD,

^EP//CD.

□ZE4B+ZAEP=180o,NECD+NCEP=180°,

ZAEP=ISOo-ZEAB=180o-2b,ZCEP=ISOo-ZECD=ISOo-2a,

ΞZAEC=ZAEP÷ZCEP=360-2?-2^z=36O-2(^÷?),

過點尸作。尸〃A8,

^QF//CD,

^ZAFQ=ZFAB,ZQFC=ZMCD,

^ZAFC=ZQFA+ZQFC=a+b

0ZAEC=360o-2ZAFC；

(3)設(shè)ZM46=∕?,ΛNCD=y

過點、N做NY〃AB,

圖3

⑦AB〃CD,NY//CD,

^ZYNA=ZNABf/YNC=NNCD,

^ZANC=ZNCD-ZNAB=y-rt

13ZΛ∕=2Z∕V,

0ZΛ/=2y-2r,

過點M作AlY〃/W,

^?MX//CD.

0ZXM4=ZM4B,ZXMC=ZMCDf

ZXMA=ZXMC-ZAMC,

團(tuán)ZAMC=ZXMC-ZXMA=ZMCD-ZMAB,

0ZM4B=2r,ZMCD=2y9

aNMCN=/MCD-NNCD=y,

團(tuán)NMCN=30。，

”=30。，

0ZΛ∕CD=2γ=6Oo,

團(tuán)NAEC=IO0。，∠S4EC=360o-2ZAFC,

0ZAFC=360o-ZAFC=130°,

由(2)?∏ZBAF+ZFCD=ZAFC,

0ZBAF=ZAFC-ZMCD=70°,

^?FA±AN,

0Z∕τW=9Oo.

自NNAB=/FAN-NBAF=20°,

Elr=20°,

0ZM4β=2r=4Oo,

回ZAMC=ZMCD-ZMAB=60。-40。=20o.

【點睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作平行輔助線轉(zhuǎn)換角度關(guān)系.

16.（2021春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校╅喿x并解決問題，課上教師呈現(xiàn)

一個問題：

己知：如圖，AB//CD,E尸交AB于點。，F(xiàn)G交CD于點、P,當(dāng)Nl=30。，NEo8=60。時，求NEFG的

度數(shù).

甲同學(xué)輔助線的做法和分析思路如下：

輔助線：過點F作MN〃CE>.

分析思路：

①欲求NEFG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求Z2和Z3的度數(shù)之和；

②由輔助線作圖可知，Z2=Z1,從而由已知Nl的度數(shù)可得/2的度數(shù);

③由A8〃CO,MN〃Ci）推出A8〃MN,由此可推出/3=/4；

④由已知NEO8=60。，即/4=6（）。，所以可得/3的度數(shù)；

⑤從而可求ZEFG的度數(shù).

⑴你閱讀甲同學(xué)思路和方法后，請你根據(jù)乙同學(xué)所畫的圖形，描述輔助線的做法，并寫出你相應(yīng)的分析思

路.輔助線：__________________________________

分析思路：

⑵請你根據(jù)丙同學(xué)所畫的圖形，求一瓦G的度數(shù).

［答案］（1）過點P作PR"EF交AB于點K；分析思路見解析

⑵NEFG=90。

【分析】（1）過點尸作PR〃防交A8于點K：根據(jù)依〃得出4Xβ=NEO8,根據(jù)A8〃8得出

ARPD=ARKB-即可得出NMD=NEOB,從而得出答案；

（2）過點。做Cw〃尸G交CO于點T,根據(jù)0H〃FG,得出NEFG=NEoH,Zi=ZOTC=30°,根據(jù)

AB//CD,得出NBO"=NOTC=30。，即可得出答案.

【詳解】（1）解：輔助線：過點尸作PR〃砂交A8于點K；

分析思路：

1.欲求NEAG的度數(shù)，由輔助線作圖可知，ZEFG=ZRPG,因此，只需轉(zhuǎn)化為求4PG的度數(shù)

2.欲求/RPG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求Nl和/RPO的度數(shù)和；

3.由已知NI的度數(shù)，所以只需求出NRP￡）的度數(shù)；

4.由PR〃EF,可推出ZΛΛB=NEQ3;

由A5〃C。可推出4PO=4∕出，所以可得NKPD=NEoB；

5.由已知NEoB=60°,可得N∕?P￡>=60°

6.從而求出/EFG度數(shù).

故答案為：過市、P作PR〃EF交AB于點K

（2）解：如圖內(nèi)，過點。做0”〃FG交CO于點T,

ΞOH//FG,

0NEFG=AEOH,Zl=ZOTC=30°,

3t1AB∕∕CD,

SZBOH=ZOTC=30°,

0NEOB=60°,

0ZEFG=ZEOH=AEOB+ZBOH=600+30°=90°.

E

A

丙

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直

線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

考點2：真假命題的判定

典例：（1）（2022春?陜西西安?八年級校考階段練習(xí)）命題"等邊對等角"的題設(shè)是結(jié)論是

【答案】同一個三角形中的兩條邊相等：這兩條邊所對的兩個角也相等

【分析】判斷一件事情的語句叫做命題.任何一個命題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)

論是由己知事項推出的事項.命題都可以寫成“如果…，那么…"的形式，"如果"后接題設(shè)部分，"那么"后接結(jié)

論部分.

【詳解】解：由于命題"在同一個三角形中，等邊對等角“可改寫成：在同一個三角形中，如果有兩條邊相等，

那么這兩條邊所對的兩個角相等.所以題設(shè)是同一個三角形中的兩條邊相等，結(jié)論是這兩條邊所對的兩個

角相等.

故答案為：同一個三角形中的兩條邊相等；這兩條邊所對的兩個角相等.

（2）（2022春?八年級單元測試）下列命題中，是真命題的是.（填序號）

①對頂角相等；

②內(nèi)錯角相等；

③三條直線兩兩相交，總有三個交點；

④若b//c,則a〃c.

【答案】①④##④①

【分析】根據(jù)對頂角相等可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)兩條直線相交的定義可判斷③；

根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可判斷④，據(jù)此可作出判斷.

【詳解】解：①對頂角相等，正確，是真命題，符合題意；

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，不符合題意；

③三條直線兩兩相交，總有三個或一個交點，故原命題錯誤，不符合題意；

④若α〃從b∕∕c,則a〃c,正確，是真命題，符合題意，

正確的有①④.

故答案為：①④.

方法或規(guī)律點撥

本題考查判斷命題真假，涉及對頂角相等、平行線的性質(zhì)、直線相交的交點問題，解答的關(guān)鍵是在判斷一

個命題的真假時，需要熟知涉及到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，并對每一個命題作出正確的判斷.

鞏固練習(xí)

1.（2022春?山東青島?八年級期末）要說明命題“若∣α∣>5,則α>5"是假命題，可以舉的一個反例是（）

A.a=5B.a=-5C.a=6D.a=-6

【答案】D

【分析】根據(jù)舉出的反例要滿足同>5,但不滿足4>5,據(jù)此對選項一一進(jìn)行分析，即可.

【詳解】解：A.當(dāng)α=5時，不滿足時>5,故不能成為反例，不符合題意；

B.當(dāng)α=-5時，不滿足時>5,故不能成為反例，不符合題意；

C.當(dāng)α=6時，∣α∣>5,則。>5,故不是反例，不符合題意；

D.當(dāng)α=-6時，∣-6∣=6>5,但-6>5不成立，故能成為反例，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了反例法判斷命題真假，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握舉反例的方法.

2.（2022春?浙江?八年級期中）對于命題"如果Nl+N2=90°,那么NIhN2."能說明它是假命題的反例是（）

A.Zl=Z2=45oB.Nl=40°,Z2≈50o

C.Nl=50°,Z2=50oD.Zl=40o,Z2=4O°

【答案】A

【分析】能說明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子，逐項判斷即可.

【詳解】A、N1=N2=45°滿足Nl+N2=90。，但不滿足N1≠N2,滿足題意：

B、Zl=40°,/2=50。滿足命題"如果Nl+N2=90o,那么N1≠N2”,不符合題意；

C、Nl=50。，N2=50。不滿足命題"如果Nl+N2=9ff5,那么N1≠N2",不符合題意；

D、Nl=40。，/2=40。不滿足命題"如果N1+N2=9O。，那么N1≠N2",不符合題意；

故選：A.

【點睛】考查了命題與定理的知識，理解能說明它是假命題的反例的含義是解決本題的關(guān)鍵

3.（2022?全國?七年級專題練習(xí)）下列語句是命題的是（）

A.畫出兩個相等的線段B.所有的同位角都相等嗎

C.延長線段A8到C,使得BC=BAD.相等的角是對頂角

【答案】D

【分析】根據(jù)命題的概念判斷即可.

【詳解】解：A、畫出兩個相等的線段，沒有做錯判斷，不是命題；

B、所有的同位角都相等嗎，沒有做錯判斷，不是命題；

C、延長線段AB到C,使得BC=BA,沒有做錯判斷，不是命題：

D、相等的角是對頂角，是命題：

故選：D.

【點睛】本題考查的是命題的概念，掌握判斷一件事情的語句，叫做命題，是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?八年級課時練習(xí)）對于命題"如果Nl+N2=90。，那么NlHN2",能說明它是假命題的反例是（）

A.Nl=N2=45°B.Nl=50°,/2=50°

C.Zl=50o,Z2=40oD./1=40。，/2=40°

【答案】A

【分析】判斷命題是假命題，結(jié)論錯誤即可，由此即可求解.

【詳解】解：當(dāng)Nl=N2=45°時，Nl+N2=90。，但∕1=N2,

團(tuán)命題"如果N1+N2=9O。，那么Zl≠N2"是假命題，

故選：A.

【點睛】本題主要考查命題真假的判定，掌握命題真假的判定方法是理解命題的條件與結(jié)論的關(guān)系，即掌

握相關(guān)定理，命題的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?河南鶴壁,八年級?？计谥校╆P(guān)于命題"等角對等邊"，下列說法錯誤的是（）

A.這個命題是真命題B.條件是“一個三角形有兩個角相等"

C.結(jié)論是"這兩個角所對的邊也相等"D.可以用"舉反例"的方法證明這個命題是真命題

【答案】D

【分析】分析原命題，找出其條件與結(jié)論，然后寫成"如果…那么…"形式即可.

【詳解】解：在三角形中，如果有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡稱：”等角對等邊"，

則選項A、B、C正確，不符合題意，

不可以用"舉反例，，的方法證明這個命題是真命題.

故選：D.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，正確理解定義是關(guān)鍵.

6.（2022春?北京?八年級人大附中?？计谥校﹏個正整數(shù)排成一列4G，。2,a3,......,an,,每次進(jìn)行以下

操作之一：

操作一：將其中一個數(shù)刪除；

操作二：將其中一個數(shù)變?yōu)楦〉恼麛?shù)；

操作三：將其中一個數(shù)變?yōu)閮蓚€正整數(shù)，且兩個正整數(shù)之和小于原來的正整數(shù)；

現(xiàn)甲乙兩人對這些數(shù)按照甲一乙一甲一乙一......的順序輪流進(jìn)行操作，規(guī)定最后操作將所有數(shù)刪除的人獲

勝.以下說法正確的是（）

A.若42,3,則甲第一次操作后可以產(chǎn)生6種不同的結(jié)果

B.若42,3,若甲乙兩人經(jīng)過k次操作后將所有數(shù)都刪除，且上述三種操作至少各進(jìn)行了一次，則b=l

或5

C.若A：1,2,2,則甲有必勝策略

D.若A：1,2,3,則乙有必勝策略

【答案】C

【分析】若要進(jìn)行操作三，則最大項的數(shù)值必須大于等于3：若要進(jìn)行操作二，則最大項的數(shù)值必須大于等

于2；進(jìn)行操作二不改變數(shù)列的項數(shù).

【詳解】解：A、當(dāng)甲進(jìn)行操作一時，會產(chǎn)生2種不同的結(jié)果，A:2或A:3；當(dāng)甲進(jìn)行操作二時，會產(chǎn)生2

種不同的結(jié)果，4:1,3或/1:2,3；當(dāng)中進(jìn)行操作三時，會產(chǎn)生1種不同的結(jié)果，因此甲第一次操

作后可以產(chǎn)生5種不同的結(jié)果，A故錯誤.

B、在數(shù)列A中，只有七項能進(jìn)行操作三，并要求三種操作至少各進(jìn)行了一次，進(jìn)行操作：后，項數(shù)為3,

①第二步先進(jìn)行操作一時，只能刪除為1的項，此時左=1（操作三）+1（操作二）+4（操作一）=6；

②第二步先進(jìn)行操作二時，此時Z=I（操作三）+1（操作二）+3（操作一）=5；

因此或6,故B錯誤.

C、根據(jù)題意可知，若數(shù)列有奇數(shù)個項，甲、乙逐個消去，最終甲執(zhí)行最后一次操作：有偶數(shù)個項逐個消去，

最終乙執(zhí)行最后一次操作；執(zhí)行操作二、操作三不影響最終結(jié)果；

4:1,2,2,為奇數(shù)項且最多可執(zhí)行2（偶數(shù)）次操作二，

.??能確保甲最后將所有項消除，只需保證進(jìn)行偶數(shù)次操作二即可，故C正確.

D、A:1,2,3,為奇數(shù)項且最多可執(zhí)行3（奇數(shù)）次操作二，

?.?能確保乙最后將所有項消除，只需保證進(jìn)行奇數(shù)次操作二即可，故D錯誤.

故選C

【點睛】本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用和邏輯推理，屬于難題.

7.（2022春?湖南長沙?七年級長沙縣湘郡未來實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一棟公寓樓有5層，每層有一或兩套

公寓.樓內(nèi)共有8套公寓.住戶人K、L、M、N、。、P、Q共8人住在不同公寓里.已知：

（I）J住在兩套公寓的樓層.

（2）K住在P的上一層.

（3）二層只有一套公寓.

（4）M、N住在同一層.

（5）。、Q不同層.

（6）Q不住在一層或二層.

（7）L住在她所在層僅有的公寓里，且不在第一次或第五層.

（8）M在第四層；

那么，J住在第（）層.

A.1B.2C.3D.5

【答案】D

【分析】首先根據(jù)己知，采取篩選法進(jìn)行一個一個篩選，就能確定答案.

【詳解】解：由（4）和（8）得出M和N住在第四層.由（2）得K只能在2或3層，又由（7）得出L在

3層且只有一戶，K在二層只有一戶，P則在一層.又由（5）和（6）知道。只能在一層，Q在五層.這時

只有五層還有一套公寓，所以J只能住在五層.

故選：D.

【點睛】用到的知識點是推理和論證，能根據(jù)已知，采取篩選法進(jìn)行一個一個篩選是解此題的關(guān)鍵.

8.（2022春?吉林長春?八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)期末）判斷命題"若〃=4,則a=2"是假命題，需要舉出的

反例是?

【答案】當(dāng)。=—2時，滿足∕=4,但是

【分析】根據(jù)舉反例的要求舉出滿足題設(shè)，但是不滿足結(jié)論的例子即可.

【詳解】解：團(tuán)當(dāng)a=—2時?，滿足/=4,但是。工2,

Ir若/=4，則a=2"是假命題的反例為：當(dāng)。=-2時，滿足∕=4,但是ar2,

故答案為：當(dāng)a=—2時，滿足∕=4,但是a#2.

【點睛】本題主要考查了乘方、命題以及證明，熟知舉反例的要求舉出滿足題設(shè)，但是不滿足結(jié)論的例子

是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?北京海淀?七年級?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（）

①相等的角是對頂角；

②同位角相等；

③等角的余角相等；

④如果Y=/,那么χ=y.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角、平行線的性質(zhì)、余角的概念、平方根的概念逐一判斷，即可得到答案.

【詳解】解：①相等的角不一定是對頂角，原說法錯誤，是假命題；

②兩直線平行，同位角相等，原說法錯誤，是假命題；

③等角的余角相等，原說法正確，是真命題；

④如果V=y2,那么χ=±y,原說法錯誤，是假命題，

即真命題的個數(shù)為1，

故選：A.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

10.（2022春?上海?八年級階段練習(xí)）寫出命題"等腰三角形兩腰上的高相等"的逆命題：如果

,那么.

【答案】三角形兩邊上的高相等這個三角形是等腰三角形

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題；

【詳解】命題"等腰三角形兩腰上的高相等"的逆命題：如果三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰

三角形.

故答案為：三角形兩邊上的高相等，這個三角形是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查命題與定理的知識點，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，

而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命

題的逆命題.

11?（2021春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谥校┯邢铝忻}是真命題的是（)

A.相等的角是對頂角

B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

C.有一邊互為反向延長線，且和為180。的兩個角是鄰補(bǔ)角

D.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)和定義，鄰補(bǔ)角的定義，平行線的性質(zhì)，平行線公理逐一判斷即可.

【詳解】A、共頂點，且一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，這樣的兩個角是對頂角，但是，相

等的兩個角，若不滿足對頂角的定義，也不是對頂角，故此命題是假命題；

B、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故此命題是假命題；

C、有一邊互為反向延長線，且共頂點與共一條邊的兩個角是鄰補(bǔ)角，故此命題是假命題；

D、過直線外一點有且只有一-條直線與這條直線平行，是真命題；

故選：D.

【點睛】本題考查了命題真假的判斷，掌握命題所涉的相關(guān)知識是關(guān)鍵.

12.（2022春?浙江,八年級階段練習(xí)）命題“對頂角相等"改寫成如果—，那么—.

【答案】兩個角是對頂角這兩個角相等

【分析】分清題目的己知與結(jié)論，即可解答.

【詳解】解：命題"對頂角相等"改寫成"如果...，那么，’的形式為：

如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

故答案為：兩個角是對頂角：這兩個角相等.

【點睛】本題考查命題的擴(kuò)充改寫，解題關(guān)鍵是先要明確命題中的已知條件和結(jié)論，然后根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的

知識將已知和結(jié)論的描述語言進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)充.

13.（2022春?全國?八年級專題練習(xí)）某次數(shù)學(xué)競賽中有5道選擇題，每題1分，每道題在A、B、C三個選

項中，只有一個是正確的.下表是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分：

第一題第二題第三題第四題第五題得分

甲CCABB4

乙CCBBC3

丙BCCBB2

TBCCBA—

（I）則丁同學(xué)的得分是；

（2）如果有一個同學(xué)得了1分，他的答案可能是（寫出一種即可）

【答案】3CACCC

【分析】（1）分甲從第1題到第5題依次錯?道，進(jìn)而得出其余四道的正確選項，再根據(jù)乙，丙的選項和

得分判斷，進(jìn)而得出甲具體選錯的題號，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）先得出五道題的正確選項，然后留一個正確，其他都錯誤即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）當(dāng)甲選錯了第1題，那么，其余四道全對，

針對于乙來看，第1,3,5道錯了，做對兩道，此時，得分為2,而乙得分3,所以，此種情況不符合題意，

當(dāng)甲選錯了第2題，那么其余四道全對，

針對于乙來看，第2,3,5道錯了，做對2道，此時，得分為2分，而乙得分3分，所以，此種情況不符

合題意，

當(dāng)甲選錯第3題時，那么其余四道都對，

針對于乙來看，第5道錯了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做對3道，即：第3題乙也選錯，即：第3

題的選項C正確，

針對于丙來看，第1，5題錯了，做對3道，此時，丙的得分為3分，而丙的地方為2分，所以，此種情況

不符合題意，

當(dāng)甲選錯第4題，那么其余四道都對，

針對于乙來看，第3,4,5道錯了，做對了2道，此時，得分2分，而乙的得分為3分，所以，此種情況

不符合題意，

當(dāng)甲選錯第5題，那么其余四道都對，

針對于乙來看，第3道錯了，而乙的得分為3分，所以，乙只能做對3道，所以，乙第5題也錯了，所以，

第5題的選項A是正確的，

針對于丙來看，第1，3,5題錯了，做對了2道，得分2分，

針對于丁來看，第3,5題錯了，做對了3道，得分3分，

故答案為3；

（2）由（1）知，五道題的正確選項分別是：CGA加,

如果有一個同學(xué)得了1分，那么，只選對1道，

即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，

故答案為：CACCC（答案不唯一）.

【點睛】本題考查合情推理的應(yīng)用，考查分析圖表的能力，熟練運用推理能力是解決本題的關(guān)鍵

考點3：平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

典例：（2022春?陜西漢中?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點D,E,G分別在A8,AC,BC上，連接DG,點F

在。G上，連接DE,EF,已知N2=N4,N3=N3?

⑴試判斷NAE￡＞與NC的關(guān)系，并說明理由;

⑵若/1=130。，/5=65。，求ZDGS的度數(shù).

【答案】（I）NAED=NC,理由見解析

（2）65°

【分析】（1）根據(jù)N2=N4,N3=N8,證明BD〃瓦DE//BC,即可得出結(jié)論;

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）解：ZAED=ZC,理由如下：

N2=N4,

:.BD//EF,

.?.Z3=Z5,

QZ3=NB,

.?.Z5=ZB,

：.DE//BC,

:.ΛAED=ΛC?,

(2)?,?Zl+Z4=180o,Zl=130o,

.?.Z4=50o,

Z2=Z4,

.?.N2=50°,

Z5=65o,

又N5+N2+NEDG=180°,

ZEDG=65°,

0DE〃BC,

:.ZDGB=ZEDG=65°.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

L（2022秋?廣西南寧?七年級南寧三中校考期中）已知AB〃C。，點E在8。連線的右側(cè)，NABE與NCDE

的角平分線相交于點F,則下列說法正確的是（）；

①ZABE+ZCDE+ZE=360°；

②若NE=80°,則4尸￡）=140。；

③如圖（2）中，ΛABM=^ZABF,ZCDM=^ZCDF,則6/8Affi?+N￡=360。；

④如圖（2）中，若NE=m°,ZABM=-ACDF,則NM=

圖⑴圖⑵

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】分別過E、尸作GE〃AB,FH//CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答.

【詳解】解：分別過E、/作GE〃/15,FH//CD,

^AB∕∕CD,

AB//GE//FH//CD,

0ZABE+/BEG=180o,ACDE+NDEG=180°,

?aZABE+ZBEG+ZCDE+ZDEG=360°,

即ZABE+ZBED+NCDE=360o,①正確;

0NBED=80o,ZABE+ZBED+ZCDE=360°,

El/ABE+NCOE=280°,

AB//CD,

SlZABF=NBFH,NCDF=NDFH,

0ABFD=ABFH+ZDFH=ZABF+ZCDF=?(AABE+ACDE)=140°,②正確，

與上同理，ZBMD=ZABM+ZCDM=?(NABF+ZCDF),

El6ZBMD=2(ZABF+NCDF)=ZABE+ZCDE,

06ZβΛ7P+ZE=36Oo,③正確，

由題意，④不一定正確，

SI①②③正確，

故選：C.

【點睛】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

2.(2022秋?廣東湛江?七年級?？计谀?如圖，點E,B,C,。在同一條直線上，NA=∕4CF,ZDCF=55。,

則ZABE的度數(shù)是()

【答案】C

【分析】根據(jù)ZA=NACF證得ΛB"B,求出NABC,利用鄰補(bǔ)角定義求出NABE.

【詳解】解：0ZA=ZACF,

^AB∕∕CF,

ZABC=ZDCF=55°,

SZABE=1SOo-ZABC=125o,

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?江蘇南通?七年級期中）如圖，線段A3,Ao交于點A,C為直線AD上一點（不與點A,。重

合）.過點C在BC的右側(cè)作射線CE_LBC,過點。作直線。尸AB,交CE于點G（G與。不重合）.

（1）如圖，若點C在線段AD上，且NBc4為鈍角.求證：ZCGD-ZB=90°；

⑵若點C在線段QA的延長線上，直接寫出NB與/CGO的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）見解析

（2）ZB+ZCGD=90°

【分析】（1）依據(jù)過點C在BC的右側(cè)作射線CEL3C,過點。作直線￡）尸〃AB,交CE于點G,畫出圖形,

根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∕2+∕HCG=180°,進(jìn)而得出/CGO-/B=90。：

（2）過點C作C//〃ΛS,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到NB=ZBcH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到

ZCGD+ZHCG=?SQo,進(jìn)而得出ZB+ZCGD=90°.

【詳解】（1）證明：如圖，過點C作⑦〃A3,

^AB//DF,

^?CH//DFf

團(tuán)/2+，”CG=I80。，

ΞCElBC,

國∕l+∕HCG=900,

0/CGD+(90°-NB)=180°,

即ZCGD-ZB=90o;

(2)∕CGf)+∕8=90°,

理由：如圖，過點。作CH〃A8,

SZB=ZBCH,

^AB∕/DF,

eCH〃DF,

團(tuán)NCGD+NHCG=180°,

又IZ）CEj_CB,

團(tuán)NBCG=90。,

團(tuán)NBCH+90。+NCGD=180°,

即4+/CG￡>=90。.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等：兩直線平行，同

旁內(nèi)角互補(bǔ).

4.（2022春,八年級單元測試）如圖，已知點￡、尸在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H,

/C=/EFG,ZCED=ZGHD.

M,

'B

Hi

CGD

⑴求證：CE〃GF；

(2)試判斷/血>與/。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)?ZEWF=88o,ND=28°,求的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

(2)NAEr>+/￡>=180。，理由見解析；

(3)116°

【分析】(1)依據(jù)同位角相等，即可得到兩直線平行；

(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出NFGZ)=NEFG,進(jìn)而判定ABJCD,即可得出NAEZ)+ND=180。；

(3)依據(jù)已知條件求得NCG尸的度數(shù)，進(jìn)而利用平行的性質(zhì)得出NeE尸的度數(shù)，依據(jù)對頂角相等即可得

到∕4fiW的度數(shù).

【詳解】(1)證明：ZCED=NGHD,

.-.CE//GF；

(2)解：ZAED+ZD=180°;

理由：CE//GF,

.?.ZC=ZFGD1

Q4C=/EFG,

；.4FGD=4EFG,

:.AB//CD,

.?.ZAED+ZD=I80°；

(3)解：:NGHD=NEffF=88°,ZZ>28o,

.?.NCGF=NGHD+ZD=880+28°=116°,

又?CE//GF,

.?.ZC+ZCGF=180°,

.?.ZC=l80o-H6o=64o,

又,AB//CD.

.?.ZAEC=NC=64。，

.?.ZAEW=180o-64o=116o.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判定兩直線的位置關(guān)系，

平行線的性質(zhì)是由平行線關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

5.（2022春?八年級單元測試）如圖所示，已知Nl+N2=180。，Z3=∠β,試判斷/AED與/。的大小關(guān)

系，并對結(jié)論進(jìn)行說理.

A

A

°G

【答案】NA￡D=/C.證明見解析

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行推理即可.

【詳解】解：ZAED=NC.證明見解析

證明：Zl+Z4=180o（鄰補(bǔ)角定義），/1+22=180。（已知）

.?.Z2=Z4（同角的補(bǔ)角相等）

.-.EF//AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

.?.Z3=ZADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又Zβ=z3（己知），

.-.ZADE=ZB（等量代換），

.?.DE∕∕BC（同位角相等，兩直線平行），

.-.ZAED=ZC（兩直線平行，同位角相等）.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

6.（2022春?吉林長春?七年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)期末）（1）問題背景：如圖1,已知AB〃CD,點P的位置

如圖所示，連結(jié)P4,PC,試探究NAPC與NA、NC之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過程，請你

結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：

圖1圖2圖3

解：