2024年初中升學考試真題模擬卷山東省臨沂市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023年山東省臨沂市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2023?臨沂）計算（﹣7）﹣（﹣5）的結(jié)果是（）A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．22．（3分）（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°3．（3分）（2023?臨沂）如圖是我國某一古建筑的主視圖，最符合視圖特點的建筑物的圖片是（）A． B． C． D．4．（3分）（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內(nèi)，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）5．（3分）（2023?臨沂）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定6．（3分）（2023?臨沂）下列運算正確的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a5）2＝a7 D．3a3?2a2＝6a57．（3分）（2023?臨沂）將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°8．（3分）（2023?臨沂）設m＝515?45A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣39．（3分）（2023?臨沂）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調(diào)查小組進行社會調(diào)查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A．16 B．13 C．1210．（3分）（2023?臨沂）正在建設中的臨滕高速是我省“十四五”重點建設項目．一段工程施工需要運送土石方總量為105m3，設土石方日平均運送量為V（單位：m3/天），完成運送任務所需要的時間為t（單位：天），則V與t滿足（）A．反比例函數(shù)關系 B．正比例函數(shù)關系 C．一次函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系11．（3分）（2023?臨沂）對于某個一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），根據(jù)兩位同學的對話得出的結(jié)論，錯誤的是（）A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k=?112．（3分）（2023?臨沂）在實數(shù)a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，則下列結(jié)論：①|(zhì)a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）（2023?臨沂）若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為．14．（3分）（2023?臨沂）觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述規(guī)律，＝n2．15．（3分）（2023?臨沂）如圖，三角形紙片ABC中，AC＝6，BC＝9，分別沿與BC，AC平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點剪去兩個角，得到的平行四邊形紙片的周長是．16．（3分）（2023?臨沂）小明利用學習函數(shù)獲得的經(jīng)驗研究函數(shù)y＝x2+2①當x＜﹣1時，x越小，函數(shù)值越小；②當﹣1＜x＜0時，x越大，函數(shù)值越?。虎郛?＜x＜1時，x越小，函數(shù)值越大；④當x＞1時，x越大，函數(shù)值越大．其中正確的是（只填寫序號）．三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．（12分）（2023?臨沂）（1）解不等式5﹣2x＜1?x（2）下面是某同學計算a2a?1解：a2a?1=a=a=a=a?1a?1上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程．18．（8分）（2023?臨沂）某中學九年級共有600名學生，從中隨機抽取了20名學生進行信息技術操作測試，測試成績（單位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）請按組距為5將數(shù)據(jù)分組，列出頻數(shù)分布表，畫出頻數(shù)分布直方圖；頻數(shù)分布表成績分組劃記頻數(shù)（2）①這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；②分析數(shù)據(jù)分布的情況（寫出一條即可）；（3）若85分以上（不含85分）成績?yōu)閮?yōu)秀等次，請預估該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優(yōu)秀等次的人數(shù)．19．（8分）（2023?臨沂）如圖，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）20．（10分）（2023?臨沂）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金．當她工作滿20天后因故結(jié)束實習，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金．（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現(xiàn)金，她應獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？21．（10分）（2023?臨沂）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AE∥BC，E為BD的延長線與AE的交點．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求CD的長．22．（12分）（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫出AB與BD的數(shù)量關系．（2）延長BC到E，使CE＝BC，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點H，求證：AH＝FH．23．（12分）（2023?臨沂）綜合與實踐：問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：數(shù)據(jù)整理：（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價（元/盆）日銷售量（盆）模型建立（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關系．拓廣應用（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？

2023年山東省臨沂市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2023?臨沂）計算（﹣7）﹣（﹣5）的結(jié)果是（）A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2【分析】利用有理數(shù)的減法法則運算即可．【解答】解：原式＝（﹣7）+5＝﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的減法，熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關鍵．2．（3分）（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【分析】本題根據(jù)∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．【解答】解：根據(jù)∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．故選：C．【點評】本題主要考查了學生量角器的使用方法，結(jié)合∠ABC的位置進行思考是解題關鍵．3．（3分）（2023?臨沂）如圖是我國某一古建筑的主視圖，最符合視圖特點的建筑物的圖片是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的圖形，可得答案．【解答】解：根據(jù)圓錐的主視圖是等腰三角形，圓臺的主視圖是等腰梯形，可知最符合視圖特點的建筑物的圖片是B．故選：B．【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，理解視圖的意義是正確判斷的前提．4．（3分）（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內(nèi)，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案．【解答】解：若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內(nèi)，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（6，2）．故選：A．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．5．（3分）（2023?臨沂）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出答案．【解答】解：∵l⊥m，n⊥m，∴l(xiāng)∥n．故選：C．【點評】本題考查了垂線和平行線，熟練掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行是關鍵．6．（3分）（2023?臨沂）下列運算正確的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a5）2＝a7 D．3a3?2a2＝6a5【分析】根據(jù)合并同類項，完全平方公式，冪的乘方，單項式乘單項式的法則進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合題意；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合題意；C、（a5）2＝a10，故C不符合題意；D、3a3?2a2＝6a5，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了整式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．7．（3分）（2023?臨沂）將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【分析】求出正六邊形的中心角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的整數(shù)倍進行判斷即可．【解答】解：由于正六邊形的中心角為360°6所以正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角可以為60°或60°的整數(shù)倍，即可以為60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故選：B．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及正多邊形中心角的計算方法是解決問題的關鍵．8．（3分）（2023?臨沂）設m＝515?45A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3【分析】將原式進行化簡后判斷其在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可．【解答】解：m＝51=25×15=5?3＝﹣25=?20∵16＜20＜25，∴16＜即4＜20那么﹣5＜?20則﹣5＜m＜﹣4，故選：B．【點評】本題考查無理數(shù)的估算，將原式計算后得出結(jié)果為?209．（3分）（2023?臨沂）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調(diào)查小組進行社會調(diào)查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A．16 B．13 C．12【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出所選的學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【解答】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=8故選：D．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．10．（3分）（2023?臨沂）正在建設中的臨滕高速是我省“十四五”重點建設項目．一段工程施工需要運送土石方總量為105m3，設土石方日平均運送量為V（單位：m3/天），完成運送任務所需要的時間為t（單位：天），則V與t滿足（）A．反比例函數(shù)關系 B．正比例函數(shù)關系 C．一次函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系【分析】列出V與t的關系式，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：Vt＝105，∴V=105t，故選：A．【點評】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，掌握反比例函數(shù)的定義．11．（3分）（2023?臨沂）對于某個一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），根據(jù)兩位同學的對話得出的結(jié)論，錯誤的是（）A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k=?1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象不經(jīng)過第二象限，∴b＜0，又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點（2，0），∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴k＞0，k=?12∴kb＜0，∴錯誤的是k+b＞0．故選：C．【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b中，k與b對函數(shù)圖象的影響是解題的關鍵．12．（3分）（2023?臨沂）在實數(shù)a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，則下列結(jié)論：①|(zhì)a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用絕對值的意義，相反數(shù)的意義和不等式的性質(zhì)對每個結(jié)論進行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，∴2c＜a+b＝0，∴c＜0．∵c﹣a＞0，∴c＞a，∴a＜0，∵a+b＝0，∴b＝﹣a＞0，∴a，b互為相反數(shù)，∴|a|＝|b|，綜上，正確的結(jié)論有：④，∴正確的個數(shù)有一個．故選：A．【點評】本題主要考查了實數(shù)大小的半徑，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)，正數(shù)與負數(shù)，相反數(shù)的意義，正確掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）（2023?臨沂）若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為24．【分析】由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，由△DAC的面積=12AC?OD，△BAC的面積=12AC?OB，得到菱形ABCD的面積=12AC?（OD+OB【解答】解：如圖：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△DAC的面積=12AC?OD，△BAC的面積=12∴菱形ABCD的面積＝△DAC的面積+△BAC的面積=12AC?（OD+OB）=12AC故答案為：24．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的面積，關鍵是由三角形面積公式，得到菱形ABCD的面積=12AC?14．（3分）（2023?臨沂）觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述規(guī)律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．【分析】根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律，寫出第（n﹣1）個等式即可．【解答】解：觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…；按照上述規(guī)律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．故答案為：（n﹣1）（n+1）+1．【點評】本題考查了數(shù)字的變化，根據(jù)數(shù)字的變化找出其規(guī)律是解本題的關鍵．15．（3分）（2023?臨沂）如圖，三角形紙片ABC中，AC＝6，BC＝9，分別沿與BC，AC平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點剪去兩個角，得到的平行四邊形紙片的周長是14．【分析】根據(jù)DE∥BC，DF∥AC，可得四邊形DECF為平行四邊形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以DEBC=ADAB=13，DFAC=【解答】解：如圖，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DECF為平行四邊形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，∴DEBC=AD∵AC＝6，BC＝9，∴DE＝3，DF＝4，∴平行四邊形紙片的周長是2×（3+4）＝14．故答案為：14．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是理解題意，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．16．（3分）（2023?臨沂）小明利用學習函數(shù)獲得的經(jīng)驗研究函數(shù)y＝x2+2①當x＜﹣1時，x越小，函數(shù)值越??；②當﹣1＜x＜0時，x越大，函數(shù)值越?。虎郛?＜x＜1時，x越小，函數(shù)值越大；④當x＞1時，x越大，函數(shù)值越大．其中正確的是②③④（只填寫序號）．【分析】由題意，利用導數(shù)的性質(zhì)分析y＝x2+2【解答】解：由題意，∵y＝x2+2∴y'＝2x?2令y'＝0，∴2x3﹣2＝0．∴x＝1．∴當x＜0或0＜x＜1時，y'＜0，則此時y隨x增大而減??；又當x≥1時，y'≥0，則此時y隨x增大而增大．∴當x＜﹣1時，x越小，函數(shù)值越大，故①錯誤．當﹣1＜x＜0時，x越大，函數(shù)值越小，故②正確．當0＜x＜1時，x越小，函數(shù)值越大，故③正確．當x＞1時，x越大，函數(shù)值越大，故④正確．故答案為：②③④．【點評】本題考查了探究函數(shù)的增減性問題，解題時需要靈活運用方法是關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．（12分）（2023?臨沂）（1）解不等式5﹣2x＜1?x（2）下面是某同學計算a2a?1解：a2a?1=a=a=a=a?1a?1上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程．【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；（2）利用異分母分式的加減法法則，進行計算即可解答．【解答】解：（1）5﹣2x＜1?x2（5﹣2x）＜1﹣x，10﹣4x＜1﹣x，﹣4x+x＜1﹣10，﹣3x＜﹣9，x＞3，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（2）上述解題過程從第①步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解題過程如下：a2a?1=a2a?1=a=a=1【點評】本題考查了解一元一次不等式，分式的加減法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．18．（8分）（2023?臨沂）某中學九年級共有600名學生，從中隨機抽取了20名學生進行信息技術操作測試，測試成績（單位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）請按組距為5將數(shù)據(jù)分組，列出頻數(shù)分布表，畫出頻數(shù)分布直方圖；頻數(shù)分布表成績分組80＜x≤8585＜x≤9090＜x≤9595＜x≤100劃記頻數(shù)4673（2）①這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是90.5；②分析數(shù)據(jù)分布的情況（寫出一條即可）成績在90＜x≤95的人數(shù)最多；（3）若85分以上（不含85分）成績?yōu)閮?yōu)秀等次，請預估該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優(yōu)秀等次的人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖的畫法畫出相應的條形統(tǒng)計圖即可；（2）①根據(jù)中位數(shù)的定義，計算出排序后第10、11兩個數(shù)的平均數(shù)即可；②根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得答案；（3）求出樣本中“優(yōu)秀”所占的百分比，進而估計總體中“優(yōu)秀”所占的百分比，再根據(jù)頻率=頻數(shù)【解答】解：（1）畫出頻數(shù)分布直方圖如下：（2）①將這20名學生的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為90+912故答案為：90.5；②從頻數(shù)分布直方圖可知：成績在90≤x＜95的人數(shù)最多，故答案為：成績在90＜x≤95的人數(shù)最多；（3）600×16答：該校九年級600名學生中，測試成績達到優(yōu)秀等次的人數(shù)大約為480人．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布表，中位數(shù)，理解中位數(shù)的定義，掌握頻數(shù)分布直方圖的繪制方法是正確解答的前提．19．（8分）（2023?臨沂）如圖，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）【分析】根據(jù)題意畫出圖形，作AC⊥BC，設AC＝x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x表示出BC，根據(jù)正切的定義用x表示出CD，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，設AD＝x海里，由題意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里，在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD∴BD=ADtan32°≈解得，x＝10，∵10＞9，∴如果船不改變航線繼續(xù)向西航行，沒有觸礁危險．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．20．（10分）（2023?臨沂）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金．當她工作滿20天后因故結(jié)束實習，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金．（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現(xiàn)金，她應獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？【分析】（1）設這臺M型平板電腦價值x元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）可求出工作一個月的報酬（現(xiàn)金），再根據(jù)工作m天列出代數(shù)式即可．【解答】解：（1）設這臺M型平板電腦價值x元，根據(jù)題意得：2030（x+1500）＝x解得：x＝2100，∴這臺M型平板電腦價值2100元；（2）由（1）知，一臺M型平板電腦價值2100元，∴工作一個月，她應獲得的報酬為2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她應獲得的報酬為m30×3600=120【點評】本題主要考查一元一次方程的應用、列代數(shù)式，理解題意，找準題中所蘊含的等量關系列出方程和代數(shù)式是解題關鍵．21．（10分）（2023?臨沂）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AE∥BC，E為BD的延長線與AE的交點．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求CD的長．【分析】（1）連接并延長AO交BC于點F，連接OC，則∠OAB=180°?∠AOB2，∠OAC=180°?∠AOC2，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，則∠AOB＝∠AOC，即可證明∠OAB＝∠OAC，所以AF⊥BC，由AE∥BC，得∠OAE＝∠AFB＝90°，即可證明AE（2）由∠ACB＝∠ABC＝75°，得∠BAC＝30°，則∠BOC＝2∠BAC＝60°，所以△BOC是等邊三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，則OC＝BC＝2，即可根據(jù)弧長公式求得CD的長是4π3【解答】（1）證明：連接并延長AO交BC于點F，連接OC，則OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA=180°?∠AOB2，∠OAC＝∠OCA∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB＝∠AOC，∴180°?∠AOB2∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切線．（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴l(xiāng)CD∴CD的長是4π3【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、切線的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、弧長公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．22．（12分）（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫出AB與BD的數(shù)量關系．（2）延長BC到E，使CE＝BC，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點H，求證：AH＝FH．【分析】（1）結(jié)論：AB＝（2+1）BD．在BC上取一點T，使得BT＝BD，連接DT，AT．設AB＝AC＝a，則BC=2a．證明CA＝（2）證明△BCD≌△ECF（SAS），推出∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，可得BD∥EF，可得結(jié)論；（3）延長CH交EF的延長線于點J．證明△ACH≌△FJH（AAS），可得結(jié)論．【解答】（1）解：結(jié)論：AB＝（2+1）BD理由：在BC上取一點T，使得BT＝BD，連接DT，AT．設AB＝AC＝a，則BC=2a∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT=2a﹣a∴ABBD∴AB＝（2+1）BD（2）證明：如圖2中，在△BCD和△ECF中，BC=EC∠BCD=∠ECF∴△BCD≌△ECF（SAS），