2023-2024學年八年級數學下冊舉一反三系列專題21.3 期中期末專項復習之平行四邊形二十二大必考點（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數學下冊舉一反三系列專題21.3平行四邊形二十二大必考點【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】 1【考點2利用平行四邊形的判定與性質求面積】 3【考點3利用平行四邊形的判定與性質求長度】 4【考點4利用平行四邊形的判定與性質求角度】 5【考點5利用平行四邊形的判定與性質求最值】 6【考點6利用動點判斷平行四邊形】 7【考點7平行四邊形的判定與性質的實際應用】 9【考點8根據矩形的判定與性質求線段長】 10【考點9根據矩形的判定與性質求角度】 11【考點10根據矩形的判定與性質求面積】 12【考點11矩形與折疊問題】 14【考點12根據菱形的判定與性質求線段長】 15【考點13根據菱形的判定與性質求角度】 16【考點14根據菱形的判定與性質求面積】 18【考點15根據正方形的判定與性質求線段長】 20【考點16根據正方形的判定與性質求角度】 21【考點17根據正方形的判定與性質求面積】 23【考點18中點四邊形】 24【考點19特殊四邊形的證明】 26【考點20特殊四邊形的動點問題】 28【考點21特殊四邊形的最值問題】 29【考點22特殊四邊形的存在性問題】 31【考點1格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】【例1】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網格中，每個小正方形的邊長為1，點A,B在格點上．請根據條件畫出符合要求的圖形．(1)在圖甲中畫出以點A為頂點且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點均在格點上．(2)在圖乙中畫出線段AB的中點O．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．【變式1-1】（2022春·內蒙古呼倫貝爾·八年級校考期末）如圖，每個小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網格的格點上．(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．(2)找到格點E，并畫出四邊形ABED（一個即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【變式1-2】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網格中（每個正方形的邊長為1），點A和點B都在格點上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為6；(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為10．【考點2利用平行四邊形的判定與性質求面積】【例2】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，F是□ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB于點E，連接AF與DE相交于點P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【變式2-1】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點A成中心對稱的△AB′C′，其中點B對應點為B′，點C對應點為CA．128 B．643 C．64 D．【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內（如圖），DE與FG交于點P，連結AP，FE．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【變式2-3】（2022春·全國·八年級專題練習）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【考點3利用平行四邊形的判定與性質求長度】【例3】（2022·遼寧丹東·校考一模）如圖，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點E，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，且CF=1，則AB的長是（）A．2 B．1 C．3 D．2【變式3-1】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點P為BC上一動點，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．【變式3-2】（2022·廣東佛山·石門中學?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【變式3-3】（2022春·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點E為BC延長線上一點，連接AC、AE，AE交CD于點H，∠DCE的平分線交AE于點G．若AB=2AD=10，點H為CD的中點，HE=6，則A．9 B．97 C．10 D．3【考點4利用平行四邊形的判定與性質求角度】【例4】（2022春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，AB=13，點D為AB上一動點，CD⊥AB于D，CD=8，點E在線段CD上，CE=3，連接BE．當BE+AC最小時，∠ACD的度數為（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，【變式4-2】（2022秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；(2)過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數．【變式4-3】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，點E是BC邊上一點，連接EO并延長交AD邊于點F、交CD延長線于點G．OE=OF，AD=BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數．【考點5利用平行四邊形的判定與性質求最值】【例5】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中有A0,3，D5,0兩點．將直線l1：y=x向上平移2個單位長度得到直線l2，點B在直線l2上，過點B作直線l1的垂線，垂足為點C，連接AB，BC，【變式5-1】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學校?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點P在AD上，點Q在BC上，且AP=CQ，連結CP、QD，則PC+QD的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【變式5-2】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式5-3】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知四邊形AMNB各頂點坐標分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1,?a<b，那么四邊形AMNB周長的最小值為（A．6+25 B．6+13 C．34+2【考點6利用動點判斷平行四邊形】【例6】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=x+2與x軸和y軸分別交于點A、B，直線CD與AB交于點C，與y軸交于點D(0,8)，過點C作CE⊥x軸于點E，點E的橫坐標為3．(1)求直線CD的解析式；(2)點P是x軸上一動點，過點P(t,0)作x軸垂線分別與直線AB、CD交于點M、N，求線段MN的長（用t表示）；(3)在（2）的條件下，t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．【變式6-1】（2022春·八年級課時練習）如圖在平面直角坐標系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點P從點A出發(fā)，以1個單位長度/s的速度向點B運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向點(1)當四邊形BCQP是平行四邊形時，求t的值；(2)當PQ=BC時，求t的值；(3)當PQ恰好垂直平分BO時，求t的值．【變式6-2】（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當運動時間為多少秒時，以點P，Q，E，【變式6-3】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點(1)PD?=_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)當運動時間t為多少秒時，PQ∥(3)當運動時間t為多少秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．【考點7平行四邊形的判定與性質的實際應用】【例7】（2022春·八年級課時練習）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式7-1】（2022春·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學校期中）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式7-2】（2022秋·浙江溫州·八年級樂清外國語學校校考期末）某風力發(fā)電設備如圖1所示，其示意圖如圖2，已知三個葉片OA，OB，OC均勻地∠AOB=∠BOC=∠COA分布在支點O上，OH垂直地面MN．當光線與地面的夾角為60°，葉片CO與光線平行時，測得葉片影子【變式7-3】（2022春·江蘇·八年級期末）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個過程，當遮陽蓬支架完全閉合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F，B三點共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形．(1)若遮陽蓬完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）(2)長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是______．【考點8根據矩形的判定與性質求線段長】【例8】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，E，F是對角線AC上兩點，AE=CF，過點E，F分別作AC的垂線，與邊BC分別交于點G，H．若BG=1,CH=4，則EG+FH=（

）A．41 B．34 C．42 【變式8-1】（2022春·廣東珠海·八年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，AD∥BC，AD與BC之間的距離為4，AB=AD=CD=5，則邊BC的長為______．【變式8-2】（2022春·廣西防城港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，延長AB到E，使BE=AB，連接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求證：CD=BE；(2)求證：四邊形BECD是矩形；(3)連接AC，若AD=7，CD=2，求AC【變式8-3】（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)如圖2，M為AD的中點，N為AB的中點，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的長．【考點9根據矩形的判定與性質求角度】【例9】（2022春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，DF⊥AC于點F，且AE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠BAE:∠EAD=4:5，求∠EAO的度數．【變式9-1】（2022春·陜西延安·八年級延安市實驗中學?？计谥校┤鐖D，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=BD，∠OAD=30°，求∠OAB的度數．【變式9-2】（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點E從點A出發(fā)，沿邊AD，DC向點C運動，A，D關于直線BE的對稱點分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當E在邊AD上且DE＝2時，求∠AEM的度數．(2)當N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關系，說明理由．(3)當直線MN恰好經過點C時，求DE的長．【變式9-3】（2022春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，∠EAO=15°，求∠BEO的度數．【考點10根據矩形的判定與性質求面積】【例10】（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM點E，EM=BM，連接DE，若BD=2AB，且DC=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式10-1】（2022春·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM=BM，連接DE．（1）求證：△AMB≌△CND；（2）若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式10-2】（2022春·貴州遵義·八年級校考期中）如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE＝DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點．(1)求證：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面積．【變式10-3】（2022春·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC上一點，∠DAE的角平分線AF交CD于點G，交BC的延長線于點F，連接EG，△AGE的面積為S．（1）求證：AE＝EF；（2）若EG⊥AF，試探究線段AE，EC，AD之間的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．【考點11矩形與折疊問題】【例11】（2022秋·廣東肇慶·八年級廣東肇慶中學?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點E處，已知AB=6cm，BC=10cm，則CF的長是（A．83 B．2 C．52 【變式11-1】（2022秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD，AB=5，AD=3，矩形GBEF是由矩形ABCD繞點B順時針旋轉90°得到的，點H為CD邊上一點，現將四邊形ABHD沿BH折疊得到四邊形A′BHD′，當點A′恰好落在EFA．175 B．72 C．185【變式11-2】（2022秋·九年級課時練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，直線DE垂直平分AB，把線段AE繞點E順時針旋轉90°，使點A落在直線DE上的點F處，聯(lián)結CF、BF，線段AC、BF交于點G，如果CF//AB，那么【變式11-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=5，AD=6，點P是射線AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△A′BP，點A′恰好落在BC的垂直平分線【考點12根據菱形的判定與性質求線段長】【例12】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點E，F分別是邊AD，AB的中點，P為菱形邊上的一點，且△PEF為直角三角形，那么BP的長度為______．【變式12-1】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，則四邊形A．12 B．18 C．24 D．30【變式12-2】（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B，F為圓心，大于12BF的長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）設AE與BF相交于點O，四邊形ABEF的周長為16，BF＝4，求AE的長和∠C的度數．【變式12-3】（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）已知，在長方形紙片ABCD中，AB=4，BC=8．將紙片沿對角線BD翻折，點C落在點E處，BE交AD于點F．(1)如圖1，連結AE．①求證：△ABF≌②求證：AE∥(2)如圖2，將△BDE沿BD翻折回去，則點F正好落在BC邊G處，連結FG，求FG【考點13根據菱形的判定與性質求角度】【例13】（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接EB，DF．(1)求證：四邊形EBFD為菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度數．【變式13-1】（2022春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：在數學課外小組活動中，老師要求大家對“菱形的剪拼”問題進行探究．如圖1，將邊長為4，∠A=45度的菱形紙片ABCD沿著對角線BD剪開，得到△ABD和△B′DC．將△初步探究：（1）“愛心小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉，當D再次探究：（2）“勤奮小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉至圖2，連接AC，BB′深入探究：（3）“創(chuàng)新小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉至圖3，此時點B，D，B′恰好在一條直線上，延長BA，B′【變式13-2】（2022春·河北邯鄲·八年級校聯(lián)考期末）已知，四邊形ABCO是菱形，延長AO到D點，使OD=OC，連接AC、BO相交于E點，連接CD．（1）求證：∠ACD=90°；（2）過A作AF⊥BC于F點．①已知AD=15，AC=9，求AF的長；②點M是對角線OB上一點，∠BAF=∠D，若△ABM是銳角三角形，求∠BAM的取值范圍．【變式13-3】（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC，BD相交于點O．(1)求邊AB的長；(2)求∠BAC的度數；(3)如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．【考點14根據菱形的判定與性質求面積】【例14】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°．點D是邊AB上的一點，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．(1)如圖1，當CD⊥AB時，求證：AC=ED；(2)如圖2，當D是邊AB的中點時，若AB=10，ED=8，求四邊形ADCE的面積．【變式14-1】（2022春·浙江·八年級期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，E，F分別為BC，AD的中點，作CG⊥AB于點G，GF的延長線交CD的延長線于點H．（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）當AB=5,BF=8時，①求GH的長．②如圖2，CG交BF于點P，記△FGP的面積為S1，△BCP的面積為S2，則【變式14-2】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點E、F分別是邊AB、AD上兩個點，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點G．（1）如圖1，求∠BGD的度數；（2）如圖2，作CH⊥BG于H點，求證：2GH＝GB+DG；（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面積．【變式14-3】（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，四邊形ABCD、CEFG均為正方形．可知BE=DG．【拓展】如圖②，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，且∠A=∠F．求證：BE=DG．【應用】如圖③，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，點E在邊AD上，點G在AD延長線上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面積為8，菱形CEFG的面積是_______．（只填結果）【考點15根據正方形的判定與性質求線段長】【例15】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G．若BC=4,DE=AF=1，則CG的長是_____．【變式15-1】（2022春·天津南開·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E，F分別在AD，CD上，AE=DF=2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為________．【變式15-2】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長為2，以AD為一邊向外作等腰直角三角形ADE，則點E到點B的距離為___________．【變式15-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△EAF中，∠A=90°，∠AEF，∠AFE的外角平分線交于點C，過點C分別作直線AB，AD的垂線，B，D(1)【問題發(fā)現】∠ECF=______°（直接寫出結果，不寫解答過程）．(2)【問題探究】①求證：四邊形ABCD是正方形．②若AF=DF=4，求BE的長．(3)【問題拓展】如圖2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=4，HR=1，則HQ的長度是______（直接寫出結果，不寫解答過程）．【考點16根據正方形的判定與性質求角度】【例16】（2022秋·重慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點M是AB上一點，點E是CM的中點，AE繞點E順時針旋轉90°得到EF，連接DE，DF．則∠CDF的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【變式16-1】（2022秋·福建泉州·七年級校考期中）如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則α、β、γ三個角的數量關系為（

）A．α+β+γ=90° B．α+β?γ=90° C．α?β+γ=90° D．α+2β?γ=90°【變式16-2】（2022春·全國·八年級期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點P為對角線BD上一動點，點E在射線BC上．

（1）填空：∠PBC=________度；（2）若點E為BC的中點，連接PE、PC，求PE+PC的最小值；（3）若點E是直線AP與射線BC的交點，當△PCE為等腰三角形時，求∠PEC的度數．【變式16-3】（2022春·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD垂直平分線上的點，點E關于BD的對稱點是E'，直線DE與直線BE'交于點F．(1)若點E是CD邊的中點，連接AF，則∠FAD＝___°；(2)小明從老師那里了解到，只要點E不在正方形的中心，則直線AF與AD所夾銳角不變．他嘗試改變點E的位置，計算相應角度，驗證老師的說法．①如圖，將點E選在正方形內，且△EAB為等邊三角形，求出直線AF與AD所夾銳角的度數；②請你繼續(xù)研究這個問題，可以延續(xù)小明的想法，也可用其它方法．我選擇___小明的想法；（填“用”或“不用”）并簡述求直線AF與AD所夾銳角度數的思路．【考點17根據正方形的判定與性質求面積】【例17】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的角平分線交于點G，GE⊥BC于點E，GF⊥AC于點F．(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四邊形GECF的面積．【變式17-1】（2022秋·江西南昌·九年級期中）如圖，E、F在正方形ABCD的邊上，∠EAF=45（1）△ABG是由△ADE旋轉而來，旋轉中心是什么？旋轉角是多少度？（2）求證：GF=EF；（3）若BG=2,BF=3，求正方形ABCD的面積．【變式17-2】（2022·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnD【變式17-3】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點E是正方形ABCD外一點，連接AE、BE和DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為7；④S正方形ABCD＝8+14．則正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點18中點四邊形】【例18】（2022春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中點A3，B3，C3，D3……以此類推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中點An，Bn，Cn，Dn，若四邊形AnBnCnDn的面積為1532，則nA．5 B．6 C．7 D．8【變式18-1】（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蜛BCD的對角線AC，BD交于點O，點M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形ABCD，四邊形MNPQ都是平行四邊形；②若四邊形ABCD是平行四邊形，則MP與NQ交于點O；③若四邊形ABCD是矩形，則四邊形MNPQ也是矩形；④若四邊形MNPQ是正方形，則四邊形ABCD也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【變式18-2】（2022春·福建福州·八年級福州華倫中學?？计谥校┮阎涸诰匦蜛BCD中，AB=6，AD=4．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個頂點E、F、H分別在AD，AB，CD上，DE=1①連接BG，若BG=5，求AF②設AF=m，△GFB的面積為S，且S滿足函數關系式S=3?12m．在自變量m的取值范圍內，是否存在m，使菱形EPGH【變式18-3】（2022春·浙江·八年級期中）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、M；（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結論；（2）若在AB上取一點E，連結DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時四邊形PQMN的形狀，并證明你的結論；②當AE=6，EB=3，求此時四邊形PQMN的周長（結果保留根號）．【考點19特殊四邊形的證明】【例19】（2022春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在邊BC、AB上，點G在邊BA的延長線上，且CE=BF=AG．(1)求證：①DE=DG；②DE⊥DG；(2)尺規(guī)作圖：以線段DE、DG為邊作出正方形DEHG（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；(3)連接（2）中的FH，猜想四邊形CEHF的形狀，并證明你的猜想；(4)當CECB=1【變式19-1】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，這是一張三角形紙片，小紅想用這張紙片剪出一個菱形圖案，貼在她制作的手抄報，使∠B為菱形的一個內角．(1)請在圖中畫出一個符合要求的菱形，并簡要說明畫圖步驟．(2)根據你的畫圖步驟，證明你所畫的圖形是一個菱形．【變式19-2】（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，E是射線AB上一動點，連接EC，點F在直線CD上，且EF=EC，將EF繞點E順時針旋轉90°得到EG，過點C作EG的平行線，交射線AD于點H，連接HG．(1)如圖1，當點E在AB中點時，D，F重合，請判斷四邊形(2)如圖2，當點E在AB延長線上時，補全圖形并回答下列問題：①四邊形HCEG的形狀是否發(fā)生改變，請說明理由；②連接HE，交DC于點M，若MC=5，EF=53，請直接寫出ME【變式19-3】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別為A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n滿足關系式d?a?c+b+|m﹣n(1)判斷四邊形ABCD的形狀并證明你的結論．(2)在圖1中，若∠ABC＝60°，BD交y軸于點F，點P為線段FD上一點，連接PA，且點E與點B關于y軸對稱，連接PE，若PE＝PA，①試求∠APE的度數；②試求PFBF+PD(3)如圖2，在（2）的條件下，若PE與CD交于點M，且∠CME＝45°，請直接寫出BC+CEBC?CE的值【考點20特殊四邊形的動點問題】【例20】（2022春·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）已知在平面直角坐標系中，四邊形ACBO是矩形，A（a，0）、B（0，b）滿足a?b+a?22=0，P是對角線AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥(1)求a、b的值．(2)當P點運動時，PE的值是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．(3)若∠OPD=45°，求點D的坐標．【變式20-1】（2022春·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，M為射線BD上一動點（M與點B，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．(1)當點M在線段BD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的關系？請直接寫出結果______；(2)如圖2，當點M在線段BD的延長線上時（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由；(3)若正方形AMEF的邊長為5，DM=1，求BF的長．【變式20-2】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．(1)如圖1，連接AF、CE，求AF的長；(2)如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為每秒1cm，設運動時間為t秒．①問在運動的過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度，若不可能，請說明理由；②若點Q的速度為每秒0.8cm，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．【變式20-3】（2022春·遼寧沈陽·八年級東北育才學校?？计谥校┌匆蠡卮鹣铝袉栴}發(fā)現問題如圖（1），在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD邊上的動點，且∠EAF=45°，易證：EF=DF+BE．（不必證明）(1)類比延伸①如圖（2），在正方形ABCD中，如果點E，F分別是邊BC，CD延長線上的動點，且∠EAF=45°則（1）中的結論還成立嗎？請寫出證明過程；②如圖（3），如果點E，F分別是邊BC，CD延長線上的動點，且∠EAF=45°則EF，BE，DF之間的數量關系是________．（不要求證明）(2)拓展應用：如圖（1），若正方形的ABCD邊長為6，AE=35，求EF【考點21特殊四邊形的最值問題】【例21】（2022秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．(1)當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在長方形ABCD的內部，延長PB′①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；②連接B′C，直接寫出【變式21-1】（2022春·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形OABC，是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10,OC=6，在AB上取一點M使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作B′點，(1)求B(2)求折痕CM所在直線的表達式；(3)求折痕CM上是否存在一點P，使PO+PB'【變式21-2】（2022春·遼寧沈陽·八年級期末）在正方形ABCD中，BD是對角線，直線BD上有一點E（不與B、D重合），連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線BC于點F.(1)如圖，當點E在線段BD上時，求證：∠BAE=∠EFC；(2)當AE=CF，且AB=23+2時，直接寫出線段(3)設S=2AE+BE，AB=2，當S取最小值時，直接寫出S2【變式21-3】（2022春·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）在?ABCD中，AB=6，BC=8．(1)如圖①，將?ABCD沿直線BE折疊，使點A的對應點F落在BC邊上，求證：四邊形ABFE是菱形．(2)如圖②，若?ABCD是矩形，①按（1）中操作進行，求證：四邊形ABFE是正方形．②在矩形ABCD中折疊出一個菱形，并使菱形的各個頂點都在矩形的邊上，則菱形面積的最大值為______，最小值為______．【考點22特殊四邊形的存在性問題】【例22】（2022春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形紙片ABCD置于坐標系中，AB∥x軸，BC∥y軸，AB＝4，BC＝3，點A（﹣3，4），翻折矩形紙片使點D落在對角線AC上的H處，AG是折痕．(1)求DG的長；(2)在x軸上是否存在點N，使BN+DN的值最小，若存在，求出這個最小值及點N的坐標；若不存在．請說明理由；(3)點P從點A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C運動，到達點C時停止運動，是否存在一點P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式22-1】（2022春·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）已知：在平面直角坐標系中，直線l1:y=?x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點，直線l2經過點A，與y(1)求直線l2(2)如圖1，點P為直線l1一個動點，若△PAC的面積等于10時，請求出點P(3)如圖2，將△ABC沿著x軸平移，平移過程中的△ABC記為△A1B1C1，請問在平面內是否存在點【變式22-2】（2022春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，AD∥BC∥x軸，AD與y軸交于點E，OE=1，且AE,DE的長滿足AE?3+|DE?1|=0(1)求點A的坐標；(2)若P(?2,?1)，①求△EPC面積；②正方形ABCD的邊CD上是否存在點M，使S△ECM=S【變式22-3】（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BE、DG．直線BE與DG交于點H．(1)如圖1，當點E在AD上時，線段BE與DG的數量關系是，∠BHD的度數為；(2)如圖2，將正方形AEFG繞點A旋轉任意角度．①請你判斷（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由；②當點H在直線AD左側時，連接AH，則存在實數m、n滿足等式：m·AH＋DH＝n·BH，猜想m、n的值，并予以證明；(3)若AB＝5，AE＝1，則正方形AEFG繞點A旋轉的過程中，點F、H是否能重合？若能，請直接寫出此時線段BG的長；若不能，請說明理由．專題21.3平行四邊形二十二大必考點【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】 1【考點2利用平行四邊形的判定與性質求面積】 7【考點3利用平行四邊形的判定與性質求長度】 10【考點4利用平行四邊形的判定與性質求角度】 15【考點5利用平行四邊形的判定與性質求最值】 20【考點6利用動點判斷平行四邊形】 25【考點7平行四邊形的判定與性質的實際應用】 31【考點8根據矩形的判定與性質求線段長】 36【考點9根據矩形的判定與性質求角度】 42【考點10根據矩形的判定與性質求面積】 47【考點11矩形與折疊問題】 54【考點12根據菱形的判定與性質求線段長】 59【考點13根據菱形的判定與性質求角度】 65【考點14根據菱形的判定與性質求面積】 71【考點15根據正方形的判定與性質求線段長】 79【考點16根據正方形的判定與性質求角度】 85【考點17根據正方形的判定與性質求面積】 95【考點18中點四邊形】 100【考點19特殊四邊形的證明】 108【考點20特殊四邊形的動點問題】 119【考點21特殊四邊形的最值問題】 129【考點22特殊四邊形的存在性問題】 140【考點1格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】【例1】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網格中，每個小正方形的邊長為1，點A,B在格點上．請根據條件畫出符合要求的圖形．(1)在圖甲中畫出以點A為頂點且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點均在格點上．(2)在圖乙中畫出線段AB的中點O．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用數形結合的思想，畫出平行四邊形即可；（2）如圖：取格點P、Q，連接PQ交AB于點O，點O即為所求．【詳解】（1）解：如圖甲中，四邊形ABCD即為所求．（2）解：如圖乙中，點O即為所求．【點睛】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質等知識，靈活運用數形結合的思想是解答本題的關鍵．【變式1-1】（2022春·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤鐖D，每個小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網格的格點上．(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．(2)找到格點E，并畫出四邊形ABED（一個即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【答案】(1)∠BCD不是直角，證明見解析(2)見解析（答案不唯一）【分析】（1）先根據勾股定理求出BC（2）先利用平行四邊形的性質找到格點E，再利用等高模型畫出圖形即可．（1）解：∠BCD不是直角，證明如下：∵BC2=52∴BC∴∠BCD不是直角．（2）解：如圖，點E和四邊形ABED即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于?？碱}型．【變式1-2】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網格中（每個正方形的邊長為1），點A和點B都在格點上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為6；(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為10．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)根據平行四邊形的面積公式及對邊平行的性質即可求解；(2)根據平行四邊形的面積公式，利用數形結合的思想即可求解．（1）解：如下圖所示，均以AB為邊作平行四邊形，且面積為6．（2）解：如下圖所示，均以AB為對角線作平行四邊形，且面積為10．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、性質及平行四邊形的面積公式等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1-3】（2022春·福建龍巖·八年級?？计谥校┯蛇呴L為1的小正方形構成網格，每個小正方形的頂點叫做格點，點A、B，C都是格點，僅用無刻度的直尺在給定9×12的網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結果用實線表示，并回答下列問題：(1)直接寫出AB的長是；(2)在圖1中，畫以點A、B、C為頂點且周長最大的平行四邊形；(3)在圖2中，畫△ABC的角平分線AD．【答案】(1)5(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據勾股定理即可求解；（2）根據網格的特點結合平行四邊形的性質，以AC為對角線畫出平行四邊形；（3）根據網格的特點，延長AC至E，使得AE=52，則△ABE是等腰三角形，再找到BE的中點D，連接AD【詳解】（1）解：AB=7故答案為：52（2）如圖1中，四邊形ABCE即為所求作；（3）如圖2中，延長AC至E，使得AE=52，則△ABE是等腰三角形，再找到BE的中點D，連接AD，線段AD【點睛】本題考查了畫平行四邊形，勾股定理與網格問題，等腰三角形的性質，三線合一，掌握以上知識是解題的關鍵．【考點2利用平行四邊形的判定與性質求面積】【例2】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，F是□ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB于點E，連接AF與DE相交于點P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【答案】C【分析】連接EF，證明四邊形EBCF是平行四邊形，求出S△BEF=16cm【詳解】解：連接EF，∵F是□ABCD的邊CD上的點，∴BE∥∴∠EBF=∠CFB，∵BQ=FQ，∴△EBQ?△CFQ，∴EQ=CQ，∴四邊形EBCF是平行四邊形，∴S∵S△AED∴S△APD∴S陰影故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，解題關鍵是熟練運用平行四邊形的性質與判定進行證明與計算．【變式2-1】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點A成中心對稱的△AB′C′，其中點B對應點為B′，點C對應點為CA．128 B．643 C．64 D．【答案】D【分析】根據含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求得AC=2，根據中心對稱的性質以及平行四邊形的判定定理，得出四邊形CB【詳解】解：如圖所示，∵△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．∴∠ABC=30°,AB=2AC=8,∴BC=43∵作出△ABC共于點A成中心對稱的△AB∴AB=AB′,∴四邊形CB∴四邊形CB′C故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱的性質，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，得出四邊形CB【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內（如圖），DE與FG交于點P，連結AP，FE．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【答案】C【分析】先根據勾股定理得S△ABC=S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG【詳解】解：由題意得S△ABC=S△AFG+∴四邊形CEPG是平行四邊形，∴S△CEG∵S△ABC∴S四邊形∴S△CEG故選：C．【點睛】本題主要考查了以直角三角形三邊組成的圖形的面積，平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠正確理解題意．【變式2-3】（2022春·全國·八年級專題練習）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【答案】4.5##9【分析】由條件可證明四邊形HPFD、BEPG為平行四邊形，可證明S四邊形AEPH=S四邊形【詳解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG為平行四邊形，∴S同理可得SΔPHD=∴S即S四邊形∵CG=3BG，S?BEPG∴S故答案為：4.5．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵，即①兩組對邊分別平行?四邊形為平行四邊形，②兩組對邊分別相等?四邊形為平行四邊形，③一組對邊平行且相等?四邊形為平行四邊形，④兩組對角分別相等?四邊形為平行四邊形，⑤對角線互相平分?四邊形為平行四邊形．【考點3利用平行四邊形的判定與性質求長度】【例3】（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點E，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，且CF=1，則AB的長是（）A．2 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】先根據平行四邊形的判定與性質可得四邊形ABDE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得AB=DE，從而可得CE=2AB，再根據含30度角的直角三角形的性質可得CE=2，由此即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE，∴CE=CD+DE=AB+AB=2AB，∵∠BCD=120°，∴∠ECF=60°，∵EF⊥BC，∴∠CEF=30°，∴CE=2CF=2×1=2，∴AB=1，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．【變式3-1】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點P為BC上一動點，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．【答案】

平行四邊形

2+10【分析】根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求解；當PQ是AQ和BC間距離時PQ取得最小值，計算四邊形APCQ的周長即可．【詳解】解：如圖，∵AQ∥BC，CQ∥AP，∴四邊形APCQ是平行四邊形．當PQ⊥BC時，PQ取得最小值，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AH=HC=12AC，QH=PH=12∵∠ABC=45°，AB=2，BC=22∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=22∴PQ=2，∴QC=PC∴四邊形APCQ的周長為：2PC+2QC=2×22+2×102=故答案為：平行四邊形；2+【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，垂線段最短的性質，綜合性較強．【變式3-2】（2022·廣東佛山·石門中學?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【答案】10?4【分析】方法一、延長ED交FC于G，延長BA，DE交于點M，根據折疊的性質以及平行四邊形的判定定理得出四邊形BFEM是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質及等角對等邊即可得出答案；延長CA和FB相交于點H，根據折疊的性質及等邊對等角得出∠EFC=∠ECF，再根據等角的余角相等以及等角對等邊得出【詳解】解：方法一、如圖，延長ED交FC于G，延長BA，DE交于點M，∵將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，∴EF=EC，DF=∴EG⊥CF，又∵∠BFC=∴BF∥EG，∵AB∥EF，∴四邊形BFEM是平行四邊形，∴BM=∴AM=∵AB∥EF，∴∠M=∴∠M=∴AE=方法二、延長CA和FB相交于點H，∵折疊，∴EF=∴∠EFC=又∵∠BFC=∴∠H=∴EF=∵AB∥EF，∴∠ABH=∴AB=∴AE=故答案為：10?43【點睛】本題考查了折疊的性質、平行四邊形的判定及性質、平行線的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．【變式3-3】（2022春·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點E為BC延長線上一點，連接AC、AE，AE交CD于點H，∠DCE的平分線交AE于點G．若AB=2AD=10，點H為CD的中點，HE=6，則A．9 B．97 C．10 D．3【答案】B【分析】根據平行線的性質得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，得出AD∥BC，由點H是CD的中點可得△ADH≌△ECH(AAS)，則CH=CE=AD=5，由等腰三角形三角形合一的性質可得出HG=GE=3，進而求出AG的長，由勾股定理可得出【詳解】解：∵AB∥∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=2AD=10，點H是CD的中點，∴AD=BC=5，AB=CD=10，DH=CH=5，∵AD∥∴∠D=∠DCE，∠DAE=∠E，∴△ADH≌△ECH(AAS∴AH=HE=6，AD=CE=5，∴CH=CE=5，∵CG平分∠DCE，∴CG⊥HE，HG=GE=3，∴AG=9，在Rt△CGE中，GE=3，CE=5由勾股定理可得CG=C∴AC=9故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、平行線的判定與性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．【考點4利用平行四邊形的判定與性質求角度】【例4】（2022春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，AB=13，點D為AB上一動點，CD⊥AB于D，CD=8，點E在線段CD上，CE=3，連接BE．當BE+AC最小時，∠ACD的度數為（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】過點E作l∥AB，作點B關于直線l的對稱點B′,則BB′=2DE=10，B′E=BE，過點A作AA′∥CE，則AA′⊥AB，且AA′=CE=3，連接A′E，則四邊形ACE【詳解】解：∵點D為AB上一動點，CD⊥AB于D，CD=8，點E在線段CD上，CE=3，∴DE=CD?CE=5，過點E作l∥AB，作點B關于直線l的對稱點B′∴BB′=2DE=10過點A作AA′∥CE，則AA′⊥AB，且AA由兩點之間線段最短可知：當點E在A′B′與直線l的交點處即點E′時，此時，過點A′作A′F⊥BB′交B′B∴A∴B′∴∠B∴∠AA此時，四邊形AC′E′A′是平行四邊形，設∴∠AC即當BE+AC最小時，∠ACD的度數為45°．故選：C【點睛】此題考查了平行四邊形的性質和判定、矩形的判定和性質、軸對稱的性質等知識，準確作出輔助線是解題的關鍵．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，【答案】150°【分析】根據勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，根據周角的定義得∠DAE=360°?∠BAC?∠BAD?∠CAE=150°，根據平行四邊形的對角相等即可求解．【詳解】解：∵△ABD和△FBC和△ACE，都是等邊三角形，加上和△ACE∴BD＝BA在△ABC與△DBF中，AB=DB∠ABC=∠DBF∴△ABC≌∴AC＝同理可證△ABC≌∴AB＝∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵AB＝∴AB∴∠BAC＝又∠DAB＝∴∠DAE＝∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠DFE＝【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的性質和判定、平行四邊形的判定、勾股定理的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．【變式4-2】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；(2)過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)16°【分析】（1）①由AD//BC，可得∠OAE＝∠OCF，然后根據ASA即可證明△AOE≌△COF；②同理可證△AOD≌△COB，由全等三角形的性質可得AD＝CB，又AD//BC，則可證四邊形ABCD為平行四邊形；（2）先根據平行線的性質可得∠EBD=∠DBF=32°，∠ABC＝180°?∠BAD=80°，由線段垂直平分線的性質得BE=DE，則∠EBD=∠EDB=32°，然后根據∠ABE＝∠ABC?∠EBD?∠DBF即可求得答案.【詳解】（1）證明：①∵AD//BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，{∴△AOE≌△COF（ASA）；②∵AD//BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，{∠OAD=∠OCB∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD//BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；（2）解：∵AD//BC，∠DBF=32°∴∠EDB＝∠DBF=32°，由（1）②得：四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴EF是BD的垂直平分線∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB=32°，∵AD//BC，∠BAD=100°∴∠ABC＝180°?∠BAD=180°?100°=80°，∴∠ABE＝∠ABC?∠EBD?∠DBF＝80°?32°?32°=16°【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.【變式4-3】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，點E是BC邊上一點，連接EO并延長交AD邊于點F、交CD延長線于點G．OE=OF，AD=BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數．【答案】（1）見解析；（2）102°【分析】（1）證△BOE≌△DOF（SAS），得出∠OBE＝∠ODF，證出AD∥BC，由平行四邊形的判定即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質得出∠C＝∠A＝62°，再由三角形的外角性質即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵O是對角線BD的中點，∴OB=OD．在△BOE和△DOF中，OB=OD∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF(SAS∴∠OBE=∠ODF，∴AD//BC，又∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）由（1）可知四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠A=62°，∴∠BEG=∠C+∠G=62°+40°=102°．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定和性質、平行線的判定以及三角形的外角性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【考點5利用平行四邊形的判定與性質求最值】【例5】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中有A0,3，D5,0兩點．將直線l1：y=x向上平移2個單位長度得到直線l2，點B在直線l2上，過點B作直線l1的垂線，垂足為點C，連接AB，BC，【答案】2【分析】先證四邊形ABCF是平行四邊形，可得AB=CF，則AB+BC+CD=CF+2+CD，即當點C，點D，點F三點共線時，CF+CD有最小值為DF的長，即【詳解】解：如圖，將點A沿y軸向下平移2個單位得到E(0，1)，以AE為斜邊，作等腰直角三角形AEF，則點F(1，2)，連接CF，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF=EF=2，∠∵將直線l1：y=x向上平移2個單位長度得到直線l∴∠AOC=45°，∴BC=AF=2，∠∴EF//OC，∵AF⊥EF，BC⊥OC，∴AF//BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AB=CF，∴AB+BC+CD=CF+2∴當點C，點D，點F三點共線時，CF+CD有最小值為DF的長，即AB+BC+CD有最小值，∵點D5，0∴DF=(5?1∴折線ABCD的長AB+BC+CD的最小值為25故答案為：25【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，平行四邊形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，一次函數的應用，添加恰當輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點P在AD上，點Q在BC上，且AP=CQ，連結CP、QD，則PC+QD的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接BP，則PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=12，連接PE、CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，∵AP=CQ，∴AD?AP=BC?CQ，∴DP=QB，DP∥∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，則PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=12，連接PE，則BE=2AB=24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，連接CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∴CE=B∴PC+PB的最小值為26，即PC+QD的最小值為26，故選：D．【點睛】本題考查的是矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質和平行四邊形的判定與性質，證出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解題的關鍵．【變式5-2】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】當B在x軸上時，對角線OB長度最小，由題意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四邊形的性質得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS證明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出結果.【詳解】當B在x軸上時，對角線OB長度最小，如圖所示：直線x＝1與x軸交于點D，直線x＝4與x軸交于點E，根據題意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOD＝∠CBE，在△AOD和△CBE中，∠AOD＝∠CBE∠ADO＝∠CEB∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5，故答案為5.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.【變式5-3】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知四邊形AMNB各頂點坐標分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1,?a<b，那么四邊形AMNB周長的最小值為（A．6+25 B．6+13 C．34+2【答案】A【分析】如圖，把A(0，?2)向上平移一個單位得：A1(0，?1)，作A1關于直線x=3的對稱點A2(6，?1)，連接A2B，交直線x=3于N，

連接A1N，則此時四邊形AMNB【詳解】解：如圖，把A(0，?2)向上平移一個單位得：A1(0，?1)，作A1關于直線x=3的對稱點A2(6，?1)，連接A2B，交直線∴A由MN=AA∴四邊形AMNA∴A所以此時：四邊形AMNB的周長最短，∵A(0，?2)，B(2，2)，A∴AB=(0?2)A2C四邊形AMNB=AB+MN+A=25故選：A.【點睛】本題考查的是圖形與坐標，勾股定理的應用，軸對稱的性質，平行四邊形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【考點6利用動點判斷平行四邊形】【例6】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=x+2與x軸和y軸分別交于點A、B，直線CD與AB交于點C，與y軸交于點D(0,8)，過點C作CE⊥x軸于點E，點E的橫坐標為3．(1)求直線CD的解析式；(2)點P是x軸上一動點，過點P(t,0)作x軸垂線分別與直線AB、CD交于點M、N，求線段MN的長（用t表示）；(3)在（2）的條件下，t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．【答案】(1)y=?x+8(2)?2t+6(t≤3)或2t?6(t>3)(3)12或【分析】（1）先求出點C的坐標，然后用待定系數法求出直線CD的解析式；（2）先用t表示出點M、N的坐標，然后分類兩種情況分別表示出MN的長；（3）根據平行四邊形對邊相等的性質列出關于t的方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）當x=3時，y=x+2=3+2=5，∴C(3,5)，設直線CD的解析式是y=kx+b，將C(3,5)，D(0,8)坐標代入得，3k+b=5b=8解得：k=?1∴直線CD的解析式是y=?x+8．（2）由題知xP∵點M在直線AB上，∴yM∴M(t,t+2)，∵點N在直線CD上，∴yN∴N(t,?t+8)，當t≤3時，MN=y當t>3時，MN=y（3）∵CE⊥x軸，MN⊥x軸，∴CE//MN，若四邊形MNCE是平行四邊形，則CE=MN，即：?2t+6=5或2t?6=5，∴t=12或【點睛】本題主要考查了待定系數法，平面內兩點之間的距離及平行四邊形的性質，靈活運用一次函數和平行四邊形的相關知識，用t表示出點M、N的坐標，然后進行分類討論是解題的關鍵．【變式6-1】（2022春·八年級課時練習）如圖在平面直角坐標系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點P從點A出發(fā)，以1個單位長度/s的速度向點B運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向點(1)當四邊形BCQP是平行四邊形時，求t的值；(2)當PQ=BC時，求t的值；(3)當PQ恰好垂直平分BO時，求t的值．【答案】(1)t=8(2)t=8或t=(3)t=【分析】（1）利用平行四邊形的性質構建方程即可解決問題．（2）分兩種情形：四邊形PBCQ是平行四邊形，四邊形PBCQ是等腰梯形，分別求解即可．（3）利用線段垂直平分線的性質構建方程即可解決問題．【詳解】（1）∵AB∥y，∴當PB=CQ時，四邊形PBCQ是平行四邊形，∵BP=24?t，CQ=2t，∴24?t=2t，∴t=8（2）①當四邊形PBCQ是平行四邊形時，CQ=BP，∴24?t=2t，∴t=8②當四邊形PBCQ是等腰梯形時，BC=PQ，此時CQ?PB=2(OC?AB)，∵C0,26∴OC=26，∴2t?(24?t)=2(26?24)，∴t=綜上，t=8或t=（3）∵A?8,0∴OA=8．當PQ垂直平分BO時，則BP=PO，∴24?t2解得t=【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰梯形，線段垂直平分線的性質，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，利用參數構建方程解決問題．【變式6-2】（2022秋·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當運動時間為多少秒時，以點P，Q，E，【答案】t=1或7【分析】分兩種情況進行討論，①當點Q在線段CE上時，②當點Q在線段BE上時，再根據平行四邊形對邊相等的性質列出方程求解即可．【詳解】解：∵AD=3，BC=8，E是BC的中點，AD∥∴PD=QE時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．①當點Q在線段CE上時，QE=4?2t，PD=3?t，即：4?2t=3?t，解得：t=1；②當點Q在線段BE上時，QE=2t?4，PD=3?t，即：2t?4=3?t，解得：t=7所以當t=1或73時，以點P，Q，E，D【點睛】此題考平行四邊形的性質，解題關鍵是由已知明確有兩種情況，不能漏解．【變式6-3】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點(1)PD?=_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)當運動時間t為多少秒時，PQ∥(3)當運動時間t為多少秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．【答案】(1)6?t；3t；(2)t為1.5秒時，PQ∥CD(3)當運動時間t為1秒或3.5秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）根據題意列出代數式即可；（2）根據PQ∥CD、AD∥BC可判定四邊形PQCD為平行四邊形，此時PD=CQ，可得方程6?t=3t，解方程即可得解；（3）分別從當Q在CE上時，四邊形PDQE為平行四邊形和當Q在BE上時，四邊形PQED為平行四邊形兩方面分析求解即可求得答案；【詳解】（1）解：∵AD=6，BC=16，點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，∴PD?=6?t，CQ=3t，故答案為：6?t；3t；（2）解：如圖示，∵PQ∥CD，AD∥BC∴四邊形PQCD為平行四邊形∴PD=CQ又∵PD=AD?AP=6?t