第11講 導數(shù)中的新定義問題（教師版）-2024年高考數(shù)學一輪復習考點（新教材新高考）

第11講導數(shù)中的新定義問題(核心考點精講精練)

考情探究

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設題結(jié)合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分

【備考策略】1熟練掌握導數(shù)的定義及基本運算

2能結(jié)合實際題目理解導數(shù)新定義的概念及運算

3能結(jié)合導數(shù)知識進行綜合求解

【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一，而導數(shù)新定義更加考查學生的

數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復習

考點梳理

知識講解

新定義問題的解決策略

第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進行化簡;

第二步，數(shù)形結(jié)合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉(zhuǎn)化思想，將新

定義問題和自己所學的知識結(jié)合起來轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識進而求解

考點一、導數(shù)中的新定義問題

☆典例引領

1.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預測)定義方程/(x)=r(x)的實數(shù)根x叫做函數(shù)/(x)的“奮斗點”.若函數(shù)

g(x)=lnx,〃(*)=4-2的“奮斗點”分別為m,n,則m,〃的大小關系為()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】D

【分析】求導，根據(jù)“奮斗點”的定義可得工=ln〃?，〃3-2=3〃2,構造函數(shù)，利用導數(shù)及零點存在定理求出

m

2

機的范圍，由"=3+=求出”的范圍，從而可比較大小.

n

【詳解】函數(shù)g(x)=lnx,得g〈x)=J

由題意可得，g(帆)=g'(M，即一=1n機.

m

設"〈X)=--y--?

因為x>0,所以“'(x)v0,

易得“(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減且，⑴=1>0,，⑵=g-ln2=ln當<0,

故1<加<2.

由力(6=3_2,/i,(x)=3x2,

2

由題意得：n3-2=3n2?易知〃工0,所以〃=3+r>3,

n

因為1cm<2,所以

故選:D.

2.(2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模)現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇彳期量曲線彎曲程度的重要指標是曲

率，曲線的曲率定義如下：若尸(X)是“X)的導函數(shù),/〃(*)是/'(X)的導函數(shù)，則曲線y=〃x)在點

(xj(x))處的曲率(1(/()y『?函數(shù)""=3lnx的圖象在(1J⑴)處的曲率為()

A.3B-高

rL底?---

1000100。?嚕

【答案】D

【分析】求出:(x)、r(x),代值計算可得出函數(shù)〃x)=31nx的圖象在處的曲率.

【詳解】因為/(x)=3lnx,所以尸(x)=；a，./""(x)=-Wa

所以/'⑴=3,r(i)=-3.

J=3x6n亞

所產(chǎn)JS《100.

故選：D.

3.(2022.湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)“X),g(x)的定義域都是。，直線*=毛伉€。)與y=f(x),

y=g(x)的圖象分別交于A,B兩點，若線段A3的長度是不為0的常數(shù)，則稱曲線y=〃x),y=g(x)為“平

行曲線”設/(x)=e*-aInx+c(a>0,c/0),且y=/(x),y=g(x)為區(qū)間(0,+巧的“平行曲線”其中g⑴=e,

g(x)在區(qū)間(2,3)上的零點唯一，則。的取值范圍是()

A'、ln3'ln2,、ln2'ln3,仁|^in3'In2J、ln3'ln2.

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意可知函數(shù)函數(shù)g(x)是由函數(shù)八x)的圖象經(jīng)過上下平移得到，設

gM=f(x)+h=ex-a]nx+c+h,結(jié)合g(D=e,求出c+〃=(),即可得到。=支，構造函數(shù)，利用導數(shù)判

\nx

斷函數(shù)的單調(diào)性，可得〃的取值范圍.

【詳解】解：丫=/(*)4=83為區(qū)間的“平行曲線”，

函數(shù)g(x)是由函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過上下平移得到，

艮|Jg(x)=/(x)+h=ev—a\nx+c+〃，

g⑴=e-alnl+c+h=e+c+h=e,

=0,

即g(x)=e'-cdwc,

由g(x)=0,

ex

..ci——，

\nx

令h{x)=f-,

Inx

g(x)在區(qū)間(2,3)上的零點唯一，

.?一=〃(用與函數(shù)丁=。在區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯?的交點，

ev(lnx——)

〃(幻二八，

(Inx)J

當x>2時，//(x)>0,

」?函數(shù)/幻在(2,3)上單調(diào)遞增，

〃(2)<a<h(3),

e2e3

即Hn---<a<—,

ln2ln3

故。的取值范圍是(巨,2)，

ln2ln3

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)新定義，考查學生的創(chuàng)新能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力.解題關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖

象與直線有唯一交點，從而轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì).

即時檢測

1.(2022?遼寧?遼寧實驗中學校考模擬預測)(多選)我們把形如/(x,y,y')=0的方程稱為微分方程，符合

方程的函數(shù)y=/(x)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程9+y-9'=。的解的是()

A.y=e"B.y=xex

C.y=xe'+1D.y=c-xe\ceR)

【答案】CD

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算求得導函數(shù)y',代入微分方程檢驗即可.

【詳解】選項A,y=e",則y'=e",孫+>-孫'=疣，+e*-北=e，0,不是解：

選項B,y=xex,y=ex+xex,xy+y-xy'=x2ex+xex-xex-x2ex=0,是方程的解；

選項C,y=xe*+l,y=eA+xe',沖+、-曲-'=彳%*+x+xe*+l-xe*-x'e*=x+lx0,不是方程的解；

選項D,>'=c-x-eA(ceR),y'=ceA+cxe',xy+y-xy!，=cx2e'+cxe'-cx&x-cx2ex=0,是方程的解.

故選：CD.

2.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預測)(多選)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩個不同的點P,Q,使得Ax)在

這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)y=/(x)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)''的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.y=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出導函數(shù)，確定切線斜率，選項AB,過圖象最高點(或最低點)處的切線是同一條直線，可判

斷，選項C,由導函數(shù)斜率相等的點有無數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結(jié)論，選項

D,導函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點，這樣易判斷結(jié)論.

【詳解】對A,/(x)=sinx+cosx=A/2-y-sinx+-y-cosxj=>/2sin^.r+—J,

f'(x)=x/5cos(x+(),x=2E+(,%€Z時，/,(x)=0,/(x)取得最大值夜，

直線丫=夜是函數(shù)圖象的切線，且過點+所以函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

對B,/(x)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),x=2攵;r,攵cZ時，fr(x)=0,cosx=l,-sin1<f(x)<sin1,

此時/(x)=sinl是函數(shù)的最大值，直線y=sinl是函數(shù)圖象的切線，且過點(2E,sinl)#eZ,函數(shù)是“切線重

合函數(shù)”；

對C,/(x)=x4-sinx,/r(x)=l+cosx,

x=2Z兀+5,AwZ時，/(x)=1,而+])=2E+],

過點(2E+5,2也+萬+1),&eZ的切線方程是y—(2左兀+萬+11=x—(2也+萬)，即y=x+l,

因此該切線過/“)圖象上的兩個以上的點，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

對D,/(x)=x2+sinx,/V)=2x+cosx,令g(x)=/'(x)=2x+cosx,

則g<x)=2-sinx>。，所以g(x)即f。)是R上增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點，它們的切線斜率相

等，

也就不存在切線過圖象上的兩點，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)

故選：ABC.

【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，解題關鍵是理解新定義，實質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方程，只是

要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對三角函數(shù)來講，其最高點或最低點是首選，對其它與

三角函數(shù)有關的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點也是我們首選考慮的.

3.(2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？寄M預測)定義一個可導函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)一點處與的彈性為

,請寫出一個定義在正實數(shù)集上且任意一點處的彈性均為血的可導函數(shù).

【答案】/(%)=^(答案不唯一)

【分析】由彳胃=血整理得礦(x)-0〃x)=O,可構造函數(shù)g(x)=4^,可得g'(x)=0,可得

g(x)=?^=C,可得〃%).

【詳解】由題意，當x>0,Wxf'(x)=r-

/(x)

整理得苗(x)-0/(x)=O

設g(x)=室，

X

則g，(x)=⑶/=0，

故g(x)=C,C為常數(shù),

由g(x)=4Lc

得〃x)=C.”

故答案為：/(x)=x^(答案不唯一)

4.(2022?遼寧沈陽?東北育才學校校考模擬預測)給出以下三個材料：①若函數(shù)“X)可導，我們通常把導函

數(shù)尸(x)的導數(shù)叫做“X)的二階導數(shù)，記作了"(X).類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，記作了”(x),

三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……一般地，n-l階導數(shù)的導數(shù)叫做”階導數(shù)，記作

/")(；(；)=[/("7)(力],〃24地若"?1^,定義〃!=〃x(”一l)x(〃-2)x…x3x2xl.③若函數(shù)f(x)在包含/的

某個開區(qū)間(。力)上具有〃階的導數(shù)，那么對于任一x?a,6)有

g(x)="Xo)+牛(》7。)+粵q+我們將g(x)稱為函

數(shù)/(x)在點X=X。處的”階泰勒展開式.例如，y=e,在點X=()處的〃階泰勒展開式為1+x+h+…+4x，，.

2n\

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

⑴求出工(X)=sinx在點X=0處的3階泰勒展開式(%),并直接寫出后(x)=cosx在點x=0處的3階泰勒展

開式gzG)；

⑵比較(1)中工(X)與&(X)的大小.

(3)證明：eA+sinx+cosx>2+2%.

2

【答案】(Dg"x)=X-!x3,g2(X)=l-^X；

o2

(2)答案見解析；

(3)證明過程見解析.

【分析】(1)根據(jù)/(力在點x=%處的”階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；

(2)令〃(x)=/(x)-g/x),利用導數(shù)可求得人㈤在R上單調(diào)遞增，結(jié)合M°)=。可得M*)的正負，由此

可得力(x)與&(x)的大小關系；

(3)令c(x)=/；(x)-g2(x),利用導數(shù)可求得C(x)Ne(0)=0,BPcosx>l-^x2；①當時,由

er>l+x+^x2+^x3,sinx>x-lx3,可直接證得不等式成立；②當x<0時，分類討論，由此可證得不等

266

式成立.

【詳解】(1)<'(x)=cosx,<(x)=-sinx,力[x)=-cosx,

"(0)=1,4(0)=0,加))=-1,

.,?&(x)=sin0+：(x-0)+S(x-0『+9(x-0)3,即&(力=*一；/；

1!2!3!o

2

同理可得：g2(x)=l-jx;

(2)由(1)知：/(x)=sinx,g](x)=x-，d

6

(x)=sinx-x+—x3,則/f(x)=,

62

/./zff(x)=—sinx+x,/zw(x)=l—cosx>0,

???/(%)在R上單調(diào)遞增,又"(0)=0,

???當時,〃"(x)<0,〃'("單調(diào)遞減；當x￡((),go)時，〃"(x)>0,"⑺單調(diào)遞增;

?.?["(Minin="(0)=1-1+0=0,>0,

???〃(力在R上單調(diào)遞增,又砍0)=0,

???當力€(-8,0)時,/?(%)<0;當X￡(0,+8)時,A(X)>0;

綜上所述：當XV。時，<(%)<%(%);當x=0時,<(%)=&(%);當%>0時,/(x)>g|(x)；

(3)令e(x)=6(x)-g2(x)=cosx-l+12,則”(x)=-sinx+x,

/.^(x)=l-cosx>0,“'⑺在H上單調(diào)遞增,

又砥0)=0,「.姒力在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

°(x)20(O)=O,即cosx'l-gf.

?1?y=e*在點x=o處的4階泰勒展開式為：l+x+gf+:d+(

eJ=1+X4—X~4—*34--x4>1+X4—x24—x3,當且僅當x=0時取等號,

262426

①當xWO時，由(2)可知，smx>x-yx\當且僅當x=0時取等號，所以

6

eA+sinx+cosx|1+xH—x~+—j+(x—14-11—x"

=2+2x；

I26{6{2

②當xvO時，設產(chǎn)(x)=e'+sinx+cosx-2-2x,F(0)=0,

eA+cosx-sinx-2=eA+V2cosx+--2,Fff(x)=ev-sinx-cosx,

尸(x)=I4j

當X￡(T,O),由(2)可知sinxvxX3,所以,

6

=e、-sinx-cosx>1+JV4--x2+—x3+—x3-x-cosx

V7266

=1-COSX+^X2(3+2X)>0,艮［1有尸'(x)</'(0)=0；

當x￡時，9(x)=e"+5/2cos(x+1)—2<—FV2—2<—+>/2—2<0,

所以，xvO時，尸(力單調(diào)遞減，從而尸(不尸尸⑼二。，BPev+sinx+cosx>2+2x.

綜」二所述：eA+sinx+cosxN2+2屋

【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數(shù)中的新定義問題，關鍵是審題時明確〃階泰勒展開式的具體定義；本題

在證明不等式成立時的關鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在x=0處的3階泰勒展開式的大小關系，利用放縮的方

法將不等式進行轉(zhuǎn)化.

8.(2022.河北石家莊.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=2x-：-(&+l)lnx,k>0.

(1)當女=1時，過坐標原點O作曲線y=/(x)的切線，求切線方程；

(2)設定義在/上的函數(shù))，=〃(x)在點P(x。,%)處的切線方程為y=/(x),對任意若

(/?(刈-/(力)@-%)>0在/上恒成立，則稱點P為函數(shù)y=/?(x)的“好點”，求函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上所

有“好點”的橫坐標(結(jié)果用k表示).

【答案】(i)y=x

(2)橫坐標飛=二2k

【分析】(i)根據(jù)導數(shù)的幾何意義及斜率公式建立方程可求解；

(2)根據(jù)題中的新定義，表達出了(X)-/(X),再通過研究其單調(diào)性得到最值，從而判斷“好點”的橫坐標.

(1)

112

當&=1時，f(x)=2x----21nx,r(x)=2+r—,

設切點坐標為6,/(/))，則切線方程為：

(J2Y1

y=2H-----(x—%)+2%------21nx0

I/%

因為切線過原點，代入原點坐標可得：-」-ln/+l=O

%

令g(x)=_g-lnx+l,則g[x)=g一：=,

當xw(0,l)時，g'(x)>0,即g(x)在x?O,l)上單調(diào)遞增，

當x?l,+co)時，g[x)<0,即g(x)在xe(l,"o)上單調(diào)遞減，

所以g(x)4g⑴=0,且當x=lB寸，g⑴=0,所以-，-lnXo+l=O的解唯一，即天=1,

X。

所以切點坐標為(1,1),切線斜率為左=/''⑴=1,切線方程為：y=x.

(2)

設點尸際%)是函數(shù)y=〃x)上一點，且在點處的切線為尸心),

則/(x)=2+與一區(qū)

(x-)+2x()-----(k+1)InX。

kX。X。工0

令尸(x)=/(x)_/(x),所以/(4)=/(?))_/(%)=0

F'(x)=7'(x)—/'(x)=

(4+1反-%]_(x-Xo)[((A+l)x()-A)x-5]

k>0

2

kx())XXQ

①當(k+1)為一AW0,即W----H寸，((攵+l)x0—k^x—kx^<0,

則XG&,+OO)時,F(x)<0,所以尸(X)在xe($,+oo)單調(diào)遞減，故尸(x)C尸(%)=0,即：f(x)<l(x),

不滿足(/(x)-/(刈)(尺一天)>0,所以％4￡時，P?,%)不是函數(shù)y=〃x)在(0,+8)上的好點.

十1

.、k(x-x)x-----爭----

②當化+】反4>。，即*何時，一)=((g)x°d()工+北㈤

i)若獷可普T即X。(普，此時：

當xex0,——竺_-時，尸(x)<0,所以尸(x)在xe單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)<F(%)=0

1(4+1)玉,-百*'(％+1)/_幻

不滿足(/(x)—/(x))(x-x0)>0,所以當￡<與<長時，尸(％,九)不是函數(shù)y=〃x)在(0,+8)上的好

點

kx(、2k

")Xo>(A+l)x0*即%>何，此時：

x

當xeTi一號―7>o時，尸(x)<0，所以F(x)在xe--伴--,x0單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)>F(^)=0

{(k+\)x0-kJ^k+\)x0-kJ

不滿足(〃x)—/(x))(x-為)>0,所以當天>夫時，尸(維,幾)不是函數(shù)y=/(x)在(。，+8)上的好點.

/vI1

kx.2k

iH)當天=(Z+l)}x"即與二百,此時：

xe(O,M)時，尸'(x)20恒成立，所以尸(x)在xe(0,y)單調(diào)遞增，

故當xe(O,Xo)時，F(xiàn)(X)<F(AO)=O,即〃X)</(X),所以x?0,%)時：(/(x)-/(x))(x-x0)>0

當x?Xo，y)時，尸(x)>尸(為)=0,即所以xw(玉,+?)時，(/(x)-/(x))(x-^)>0

即對任意XH%,(/(x)-/(x))(x-x0)>0,所以當拓=言■時，Pa”%)是函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)上的好

點.

2k

綜上所述，曠=/(可在(0，+8)上存在好點尸劣,%),橫坐標飛=屐］.

【點睛】解決導數(shù)的幾何意義的關鍵一是要看清是求在某點處的切線還是過某點求切線；解決恒成立的問

題的實質(zhì)是解決單調(diào)性和最值，這一般要分類討論.

好題沖關

【基礎過關】

一、單選題

1.(2023春?遼寧大連?高三中學校考開學考試)在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信

息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公

式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在一點的鄰域中的值，常見的公式有：

ex=1+—x+—x2+—x3+—x4++—x"+；sinv=x-—x3+—JC5-—x1++(-!)"17；---+

1!2!3!4!n\

則利用泰勒公式估計cosl的近似值為()(精確到。001)

A.0.536B.0.540C.0.544D.0.549

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可得8SX=1，/+#-,指一+,分別計算當X=1時，前幾項的計

算結(jié)果，可得答案.

［詳解］根據(jù)題意，求導可得cosx=l-,x2+*x4_+(_］)?冊/"+

因為1」=0.5,1—!-+—?0.5417,0.5403,1--+—?0.5403,

224!24!6!24!6!8!

所以cos1=1--X1+-X1--xl+?0.540,

2!4!6!

故選：B.

2.(2023?全國?高三專題練習)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它

可應用到有限維空間，并構成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(x),

存在一個點％,使得〃不)=%,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點''函數(shù)的是()

A./(x)=lnxB./(x)=x2-3sin2x+1

c.f(x)=e*D./(x)=x+g

【答案】B

【分析】結(jié)合“不動點”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，刻于選項A、C,構造新函數(shù)，求導，研究函

數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，即可判斷，對于選項B,利用零點存在性定理判斷，對于選項D,直接根據(jù)方程

無根判斷.

【詳解】對于A：令f(x)=lnx=x(x>0),即Inx-x=0，令g(x)=lnx-x(x>0),

則g'(x)=g—1=9,令g'(x)=(),得x=l,當0<x<l時，g'(x)>0,g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，當x>l時，

g，(x)<0,g(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，

所以g(x)Vg⑴==所以方程lnx-X=0無根，所以函數(shù)/(X)不是“不動點”函數(shù)，故A不正確；

對于B：令f(x)=/2-3sin2x+l=x,BPx2-3sin2x-x+l=0>

令g(x)=￡-3sin2x—x+l,函數(shù)g(x)=f-3sin2x-x+l的圖象連續(xù)不斷，且

g(0)=l>0,g《J=￡)2-?-2<0,由零點存在性定理知，函數(shù)g(x)=d_3sin2x-x+l在(0,向上有零

點，即x2-3sin2x_x+l=0有根，所以函數(shù)/(*)是“不動點”函數(shù)，故B正確；

對于C：令/(x)=e'=x,即e*-X=0，令g(x)=e*-x,則,(x)=e*-l=0,得x=0,當x<0時，g'(x)<0,

g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減,當x~)時，g'(x)>0,g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以g(x)2g(O)=e°-0=1>0,

所以方程e*-x=0無根，所以函數(shù)/5)不是“不動點”函數(shù)，故C不正確；

對于D：令f(x)=x+L=x,即L=0,而xwO,所以方程』=0無根，所以函數(shù)F(x)不是“不動點”函數(shù)，

XXX

故D不正確；

故選：B

【點睛】思路點睛：方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可直接求方程的根，或者利用零點存

在性定理判斷，也可構造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點問題，有時還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問

題.

二、多選題

3.(2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習)給出定義：若函數(shù)”X)在。上可導，即r(x)存在，且導函數(shù)/(x)

在。上也可導，則稱f(x)在。上存在二階導函數(shù)，記廣(x)=(/，(x))',若/"(x)<0在。上恒成立，則稱“X)

在。上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在(0卷)上是凸函數(shù)的是()

A./(x)=sinr-cosxB./(x)=lnx-3x

x

C./(X)=-X3+3X-1D./(x)=xe-

【答案】BCD

【分析】根據(jù)“二階導函數(shù)”的概念，結(jié)合導數(shù)運算公式求解即可.

JT

【詳解】對于A,(x)=cosx+sinx,(x)=-sinx+cosx=-sin(x--),

當卜寸，sin(x——)<0,/*(x)=—sin(x——)>0,故A錯誤；

對于B,r(x)=：-3,f"(x)=-5<0在(0,；卜亙成立，故B正確；

對于c,r(x)=—3/+3,/〃(力=《犬<0在恒成立，故C正確；

對于D,/'(x)=b—=(I-x)e-*""(x)=-ev-(l-x)e-x=-(2-x)e-x,

因為所以2T>0,所以/"(x)=—(2—30<0恒成立，故D正確.

故選：BCD.

4.(2022秋?廣東深圳?高三深圳中學?？茧A段練習)已知定義在區(qū)間&句上的函數(shù)戶"x),/'(X)是"X)

的導函數(shù)，若存在會(。,匕),使得/㈤-/(〃)=/'⑷僅一。).則稱為函數(shù)〃x)在［4例上的“中值點”.下

列函數(shù)，其中在區(qū)間［-2,2］上至少有兩個“中值點”的函數(shù)為()

A./(x)=sinxB./(x)=ev

C./(x)=ln(x+3)D./(x)=x3-x+l

【答案】AD

【分析】求出尸(x),逐項判斷方程/《)="2)7(-2)在)4-2,2］上的根的個數(shù),可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，/(2)-/(—2)=2sin2,f'(x)=cosx,

lll/(2)-/(-2)=4r(^)=4cos^,所以，cosj=等,

當會［-2,2］時、cos24cos&41,如下圖所示：

由圖可知，直線產(chǎn)容與曲線y=cosj在JG［-2,2］上的圖象有兩個交點，

A選項滿足條件；

對于B選項，/(2)-/(-2)=e2-p-,r(x)=ev,

2-2

由/⑵-〃-2)=4(⑷=4e§,所以,酋=巧^,

2-2

因為函數(shù)^=苫在［-2,2］上單調(diào)遞增，故方程e<=土常在［-2,2］上不可能有兩個根，B不滿足條件;

對于C選項，/(2)-/(-2)=ln5,/。)=+，

由“2)-〃-2)=47⑶=ln5,可得義=苧，解得空白-3€卜2,2］,

故函數(shù)“X)在［-2,2］上只有一個“中值點”，C選項不滿足條件；

對于D選項，，'(力=3/-1,/(2)-/(-2)=12,

由/(2)-2)=4/'0=12,可得<=±孚€［-2,2］.

故函數(shù)”X)在卜2,2］上有兩個“中值點”，D滿足條件.

故選：AD.

5.(2022秋?福建廈門?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)為f(x),若存在/使得/'($)=/(%),

則稱與是f(x)的一個“新駐點”，下列函數(shù)中，具有“新駐點'’的是()

A./(x)=sinxB./(x)=x3

C./(x)=lnxD./(x)=xex

【答案】ABC

【分析】求出各個選項中的導函數(shù)，結(jié)合''新駐點''的定義，逐個求解/'(x)=/(x)是否有解即可

【詳解】根據(jù)“新駐點''的定義，即判斷方程r(x)=/a)是否有解.

TT

選項A./'0)=85%,則$M工二85尤可得%=人4+—,&eZ,故有新駐點.

4

選項B.:。)=3/,則3%2=丁可得x=o或工=3,故有新駐點.

選項C.f'(x)=-,由，=lnx,設g(x)=lnx-,

xxx

g，(x)=J+*>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由g(l)=-l<0,g(e)=l—；>0,所以存在/e(l,e),使得g(%)=0

所以函數(shù)〃x)=lnx有新駐點.

選項D.r(x)=(x+l)e\由(x+l)e'=xe、,顯然無解，故無新駐點.

故選：ABC

6.(2023?全國?高三專題練習)記((x)、g'(x)分別為函數(shù)“X)、g(x)的導函數(shù)，若存在X°€R,滿足

/(x0)=g(%)且r(x°)=g，(x0),則稱X。為函數(shù)/(X)與g(x)的一個“S點”，則下列說法正確的為()

A.函數(shù)/'(x)=e*與g(x)=x+1存在唯一“S點”

B.函數(shù)/(x)=lnx與g(x)=x-2存在兩個“S點”

C.函數(shù)/(引=3與8(%)=』+2犬-2不存在“5點”

D.若函數(shù)/(力=加一1與g(x)=lnx存在“S點”，貝?。?。=|

【答案】ACD

【分析】令秋x)=/(x)-g(x),求出“(X),利用“S點”的定義逐項判斷,可得出合適的選項.

【詳解】令力(x)=〃x)-g(x).

對于A選項，=則〃'(x)=eX-l,

由〃(x)<0可得x<0,由可得x>0,

所以，函數(shù)〃(x)在(-”,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以，/?(x)>/?(O)=e°-0-1=0,所以，/t'(0)=/i(0)=0,

此時,函數(shù)f(x)=e*與g(x)=x+l存在唯一"S點”,A對;

對于B選項，/?(x)=lnx-x+2,則/(x)=L-l=L^,

函數(shù)的定義域為(0,+s),令”(x)=0可得x=l,且Ml)=lnl-1+2=1HO,

所以，函數(shù)f(x)=lnx與g(x)=x-2不存在“S點”，B錯：

對于C選項，/I(X)=X-(X2+2X-2)=-X2-X+2,則旗x)=-2x-l,

令〃(x)=0可得f+x—2=0,解得x=l或一2,但〃'(1)=一3*0,〃(一2)=3H0,

此時，函數(shù)““=》與8(力=f+28—2不存在“S點”，C對;

對于D選項，//(x)=ar2-lnx-1,其中x>0,則〃'(x)=2ox-L

若函數(shù)/(另=加-1與g(x)=lnx存在“S點”，記為％,

/z(x0)=-Inx0-1=0xQ=；

則W\O1八，解得加，D對.

h(x)=2ar----=0e

〔00X。相

故選：ACD.

7.(2023?全國?高三專題練習)定義/"(x)是y=/(x)的導函數(shù)y=/'(x)的導函數(shù)，若方程/(x)=0有實數(shù)

解與，則稱點(與,/(%))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)〃"=海+加+6+d(?0)都

有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是()

A.存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=丁_3/-3x+5的對稱中心也是函數(shù)y=tan]x的一個對稱中心

C.存在三次函數(shù)〃(x),方程”(x)=0有實數(shù)解與,且點&,/?(%))為函數(shù)丫=力("的對稱中心

D.若函數(shù)g(x)=#_#_方則g(盛卜后(嘉卜g(高卜…+g[翳卜-⑼。

【答案】BCD

【分析】根據(jù)三次函數(shù)拐點與對稱中心關系研究判斷A、B；由題設定義，求解是否存在三次函數(shù)力(可，使

〃'(x)=0有實數(shù)解％判斷C；利用定義找到g(x)對稱中心，應用對稱性求函數(shù)值判斷D.

【詳解】A：設三次函數(shù)〃。=加+加+5+d(aw0),易知y=/"(x)是一次函數(shù)，

所以任何三次函數(shù)只有一個對稱中心，故不正確；

B：由已知/'(x)=3X2-6X-3,(x)=6x—6,

由6x—6=0得：x=l,函數(shù)/(x)的對稱中心為(1,0),

丐x若,kwZ,得x=keZ,故的對稱中心的個對稱中心，故正確;

C：設"(x)=cut?+bx2+cx+w0),貝!J/f(x)=3ax2+2bx+c,力"(x)=6cix+2b,

2+2Z?x-4-c—0

聯(lián)立6；+26=°0得：3℃-。2=0,即3℃-從=0時，存在三次函數(shù)/z(x),"(x)=0有實數(shù)解與,

■(%/(七))為y=/i(x)的對稱中心，故正確;

D：由題設g[x)=x2-x,g〃(x)=2x-l,

令g"(x)=。得：x=；，則851

--------———t

122

，則g(x)+g(I)=-l,

焉)+g扁■島卜…+g(制

所以27==-2020,

LI2021J[2021)

所以(蠢H］就＞…+8(黑卜-⑼①

故正確.

故選：BCD.

三、填空題

8.(2023?全國高三專題練習)給出定義:設/'(x)是函數(shù)y=〃x)的導函數(shù)，&(同是函數(shù)y=/'(x)的導

函數(shù)，若方程廣(另=0有實數(shù)解％,則稱(如/(.%))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函

數(shù)〃x)=加+涼+cr+4("0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(x)的圖像的對稱中心，若函數(shù)

4044)(4045]

/(x)=-x3+3x2,2023廣，12023)

【答案】8090

【分析】本題首先可根據(jù)“司=—/+3/得出/'(x)=-3X?+6X,從而r(X)=-6X+6,然后令_f(x)=0,

求出對稱中心(1,2),/(x)+/(2-x)=4,最后根據(jù)/(x)+"2—x)=4即可求出算式.

【詳解】由題意因為/(x)=—V+3f,

所以/'(x)=-3x2+6x,/"(x)=-6x+6,

令/"(x)=0,解得x=l,/(l)=-P+3?I2=2,

由題意得對稱中心為(1,2),

所以〃x)+/(2—x)=4,

套+，］蚤M星…牖上端）

(2022)/2024yl(2023]

=/盛）+/（露卜舟+/（露卜+12023J+12023JJ+712023J

=4+4+4++4+2=4?20222=8090,

故答案為：8090.

9.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預測）用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學之“美''.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲

線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若（（x）是〃x）的導函數(shù),

/⑺是尸（x）的導函數(shù)，則曲線y=/（x）在點（x,f（x））處的曲率*則曲線f(x)=4

在（1,1）處的曲率為；正弦曲線g（x）=sinx（xGR）曲率的平方K2的最大值為.

2

【答案】-1

52

【分析】（1）由題意，求導，代入公式，可得答案：

（2）由題意，整理曲率的函數(shù)解析式，換元求導，求最值，可得答案.

11_311

【詳解】（1）由題意得r（x）=；7■尸，則r（i）=-1,

27x424

K-『⑴?一2

叫人一、3一3

（巾⑴甘式

/、/,2_sin2x_sin2x

（2）由題意得，g'（x）=cosx,#〃（x）=-sinx,?,?K=7=~.\3?

（l+cos~xj（2-sin2x\

令/=2_sin2x?l,2],則片=亨，令p?)=號,則/⑴

顯然當疙口,2］時，p'（f）＜0,p（r）單調(diào)遞減，所以「（。四=「⑴=1，工^的最大值為L

2

故答案為：―,1.

52

四、雙空題

10.（2022秋?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習）對于三次函數(shù)./?（司=渥+加+以+4（。/0）,給出定義：設

/'（X）是函數(shù)的導數(shù)，/（X）是尸（x）的導數(shù)，若方程/"（同=0有實數(shù)解%,則稱點（%J（x°））為函數(shù)

y=/（x）的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐

點”就是對稱中心.設函數(shù)/(x)=#+3X-A,則的拐點為,

心]+g]+/0++/警]=

(2023)(2023)(2023J(2023J--------

【答案】(；1)2022

【分析】空1,令/"*)=0,解得x=g.計算即可得出；

空2,由于函數(shù)f(x)的對稱中心為可得f(l-x)+/(x)=2.即可得出.

【詳解】f(x)=^x3-^x2+3x-^,故八x)=x?-x+3,f"(x)=2x-l,

令"(x)=0,解得：x=；,而/Q)=l,

故函數(shù)/(x)的對稱中心坐標是J；

由于函數(shù)fM的對稱中心為6，1),則函數(shù)圖像上的點(xJ3)關于(；,1)的對稱點(I,2-/⑼也在函數(shù)

圖像上，B|J/(l-x)=2-7(x).

■.f(l-x)+f(x)=2.

JLL/n+/fM++/呼=

12023)(2023)(2023J(2023)

=4C+產(chǎn)〕+心)+/”+…+d半+/0]

2[V2023J1,2023J1,2023JV2023J1,2023J2023)_

=-(2x2022)

=2022.

故答案為：2022.

【能力提升】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)y=/〃(x)是，=/'(力的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0')的圖象都有對稱中心&,/($)),其中與滿足/?(毛)=0,已知函數(shù)

十)=2/*+9]《則《麻卜,寶卜(薪卜?"(!!)=()

口20214021

A.2021B.----C.2022D.

22

【答案】B

【分析】通過條件，先確定函數(shù)f(x)圖象的對稱中心點，進而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.

7

【詳解】由/(力=2》3-31+9》一］,可得尸(X)=6Y-6X+9,7"(X)=12X-6,令/'"(X)=12X-6=0,得

》=；，又一3x(gJ+9xg_g=g,所以對稱中心為(g，；),所以

/11/2021A.2}/2020］,(1010A.(1012^,.(10lHI

/12022尸，12022尸［2022尸，［2022尸，…，f［2022J+2022J-'f\2022)2'

所以d-M+d2l+d工卜一+d出』。麗+L電.

［2022J［2022J(2022)(2022)22

故選：B.

2.(2022秋?山東青島?高三?？茧A段練習)設函數(shù)y=.f(x)在區(qū)間。上的導函數(shù)為/(X),/")在區(qū)間。上

的導函數(shù)為g(x).若在區(qū)間。上，g(x)<。恒成立，則稱函數(shù)〃