蘇科版七年級數學下冊《高分突破 培優(yōu)新方法》 專題05 平行線中三角尺綜合運用（含答案）

專題05平行線中三角尺綜合運用真題再現真題再現 1．(2023秋?天山區(qū)校級期末）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1＝38°，則∠2的度數是（）A．128° B．138° C．142° D．152°2．(2023秋?和平區(qū)校級期末）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1＝40°，則∠2度數是（）A．60° B．40° C．80° D．70°3．(2023秋?通川區(qū)期末）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC，按如圖所示方式放置，其中A、B兩點分別落在直線m、n上，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）A．45° B．35° C．30° D．25°4．(2023秋?長清區(qū)期末）如圖，直角三角板的直角頂點放在直線b上，且a∥b，∠1＝55°，則∠2的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．25°5．(2023秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE6．(2023?定遠縣模擬）將一副三角板按如圖所示放置，則下列結論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有AC∥DE；③如果∠2＝30°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正確的有（）A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④7．(2023春?秦淮區(qū)校級月考）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數是（）A．38° B．45° C．52° D．58°8．(2023春?龍崗區(qū)校級期中）一副直角三角板如圖放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果點C在FD的延長線上，點B在DE上，且AB∥CF，則∠DBC的度數為（）A．10° B．15° C．18° D．30°9．(2023春?寧陽縣期末）將含30°角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝50°，則∠2等于（）A．80° B．100° C．110° D．120°10．(2023春?羅莊區(qū)期末）將直角三角板按照如圖方式擺放，直線a∥b，∠1＝136°，則∠2的度數為（）A．44° B．45° C．46° D．56°11．(2023春?鹽田區(qū)校級期中）如圖，m∥n∥l，一塊三角板按圖所示擺放，則下列結論正確的有（）①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6?∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④12．(2023春?蜀山區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE，則∠BCE的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．80°13．(2023?深圳）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°14．(2023春?玄武區(qū)期末）將兩個形狀相同，大小不同的三角板按如圖所示方式放置，C是公共頂點，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．對于下列三個結論，其中正確的結論有（）①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③15．(2023?南召縣模擬）將一塊含30°角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的方式擺放，若∠2＝40°，則∠1的度數為（）A．10° B．15° C．20° D．25°16．(2023秋?城關區(qū)校級期末）同學們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數學活動，提出了很多數學問題，請你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數量關系？請說明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q，求∠FQG的大?。?7．(2023秋?渝中區(qū)校級期末）已知，AB∥CD，直線FE交AB于點E，交CD于點F，點M在線段EF上，過M作射線MR、MP分別交射線AB、CD于點N、Q．（1）如圖1，當MR⊥MP時，求∠MNB+∠MQD的度數；（2）如圖2，若∠DQP和∠MNB的角平分線交于點G，求∠NMQ和∠NGQ的數量關系；（3）如圖3，當MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°時，作∠MNB的角平分線NG．把一三角板OKI的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與MR和MP重合，將其繞點O點順時針旋轉，速度為5°每秒，當OI落在MF上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉．三角板開始運動的同時∠BNG繞點N以3°每秒的速度順時針旋轉，記旋轉中的∠BNG為∠B'NG'，當NG'和NA重合時，整個運動停止．設運動時間為t秒，當∠B'NG'的一邊和三角板的一直角邊互相平行時，請直接寫出t的值．18．(2023秋?景德鎮(zhèn)期末）含30度角的直角三角板和直尺按如圖所示方式放置，直尺與三角板的外圍邊緣分別交于A，B，C，D四點．（1）若∠3＝95°，試求∠2的大小．（2）∠1與∠2的和是否的定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．19．(2023春?順德區(qū)校級月考）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°（2）如圖2，現把三角板繞B點逆時針旋轉n°，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出∠1＝°，∠2＝°（結果用含n的代數式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如圖1三角板ABC的放置，現將射線BF繞點B以每秒2°的轉速逆時針旋轉得到射線BM，同時射線QA繞點Q以每秒3°的轉速順時針旋轉得到射線QN，當射線QN旋轉至與QB重合時，則射線BM、QN均停止轉動，設旋轉時間為t（s）．①在旋轉過程中，若射線BM與射線QN相交，設交點為P．當t＝20（s）時，則∠QPB＝°②在旋轉過程中，是否存在BM∥QN．若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．20．(2023?南譙區(qū)校級開學）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（3）將圖①中的三角尺COD繞點O按每秒15°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，在第幾秒時，MN恰好與CD平行；第幾秒時，MN恰好與直線CD垂直．21．(2023春?新羅區(qū)期中）如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點O按每秒20°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．（1）當直角三角板旋轉到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，此時，∠BOC與∠BOE之間有何數量關系？并說明理由；（2）在旋轉的過程中，若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①當邊AB與射線OE相交時（如圖3），則∠AOC﹣∠BOE的值為；②當邊AB所在的直線與OC平行時，求t的值．22．(2023春?岳陽期末）如圖，已知∠DCF和∠ECF互為鄰補角，∠DCF＝α（0＜α＜90°），將一個三角板的直角頂點放在點C處（注：∠ACB＝90°，∠ABC＝60°）．（1）如圖1，使三角板的短直角邊BC與射線CD重合，若α＝40°，則∠ACF＝．（2）如圖2，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉60°，試判斷此時AB與DE的位置關系，并說明理由．（3）如圖3，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉β（0＜β＜90°），使得∠ACE＝∠BCF，此時α和β滿足什么關系？請說明理由．（4）將圖1中的三角板繞點C以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，AC恰好與直線CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．23．(2023春?平南縣期末）如圖已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），有一塊三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，現將該三角板如圖所示放置，使頂點B始終落在ON上，過點A作DA∥ON交OM于點E．（1）如圖1，若BC∥OM，∠CAD＝40°，請求出α的大??；（2）若∠BAE的平分線AP交ON于點P；①如圖2，當AP∥OM，且α＝60°時，請說明：BC∥OM；②如圖3，將三角板ABC沿直線ON從左往右平移，且在平移的過程中，始終保持BC∥OM不變，請?zhí)骄俊螼PA與α之間的數量關系，并直接寫出你的結論．24．(2023春?莆田期末）李想是一位善于思考的學生，在一次數學活動課上，他將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究．已知直線EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，點C為直線EF上一定點．將直角三角板ABC繞點C轉動，當點A在直線GH上時，點B也恰好在直線GH上．（1）如圖1，求∠ECB的度數；（2）如圖2，若點A在直線EF上方，點B在GH下方，BC與GH交于點Q，作∠ACE的角平分線并反向延長與∠CQH的角平分線交于點O．在直角三角板ABC繞點C轉動的過程中，∠O的度數是否保持不變？若不變，求出∠O的度數；否則，請說明理由；（3）如圖3，直角三角板ABC繞點C轉動，若點A在直線EF，GH之間（不含EF，GH上），點B在GH下方，AB，BC分別與GH交于點P，Q．設∠FCB＝n°，是否存在正整數m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．25．(2023春?岳池縣期中）已知在三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，在長方形DEFG中，DE‖GF．如圖①，若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，AB⊥DE于點N，BC與DE相交于點M，則∠EMC的度數是多少呢？若過點C作CH‖GF，則CH‖DE，這樣就將∠CAF轉化為∠HCA，∠EMC轉化為∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數．（1）請你直接寫出：∠CAF＝°，∠EMC＝°；（2）若將三角板ABC按圖②所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數量關系，并證明你的猜想；（3）請在圖②中探究∠BAG與∠BMD有何數量關系？并說明理由．26．(2023秋?南崗區(qū)校級期末）已知：直線AB∥CD，一塊三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如圖1，三角板EFH的頂點H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點G，若∠2＝2∠1，求∠1的度數；（2）如圖2，當三角板EFH的頂點F落在直線AB上，且頂點H仍在直線CD上時，EF與直線CD相交于點M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數量關系；（3）如圖3，當三角板EFH的頂點F落在直線AB上，頂點H在AB、CD之間，而頂點E恰好落在直線CD上時得△EFH，在線段EH上取點P，連接FP并延長交直線CD于點T，在線段EF上取點K，連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求證：PQ∥FH．27．(2023秋?王益區(qū)期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M，且點M在點D的左側．（1）如圖，若CE∥OA，∠NDE＝45°，則α＝°；（2）若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F，①如圖，當DF∥OA，且α＝60°時，試說明：CE∥OA；②如圖，當CE∥OA保持不變時，試求出∠OFD與α之間的數量關系．28．(2023春?睢陽區(qū)期末）問題情境：我們知道，“如果兩條平行被第三條直線所截，所截得的同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補”，所以在某些探究性度量中通過“構造平行線”可以起到轉化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．問題初探：如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N．則∠EMC的度數是多少呢？若過點C作CH∥GF，則CH∥DE，這樣就將∠CAF轉化為∠HCA，∠EMC轉化為∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數為…．（1）請你直接寫出：∠CAF＝°，∠EMC＝°．類比再探：（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數量關系？并說明理由．方法遷移：（3）請你總結（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數量關系？并說明理由．29．(2023春?南開區(qū)校級月考）如圖1，點B，點C分別在線段AD、線段MN上，且∠NCE+∠CEB﹣∠ABE＝180°．（1）求證：AD∥MN；（2）如圖2，把一個三角板的直角頂點放在點C處，三角板直角邊在射線CI，CG上，其中CG平分∠ECM，BF平分∠DBE，交CI于點F，當∠CEB＝80°時，求∠CFB的度數，寫出推導過程；（3）在（2）的條件下，如圖3，過點E作EH∥BF，交CG于點H，當∠CHE＝α，∠BFI＝β，請直接寫出α和β的關系式．30．(2023春?海陵區(qū)校級期末）如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．（1）填空：∠OBC+∠ODC＝；（2）如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：（3）如圖2：若BF、DG分別平分∠CBM、∠NDC，判斷BF與DG的位置關系，并說明理由．專題05平行線中三角尺綜合運用真題再現真題再現 1．(2023秋?天山區(qū)校級期末）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1＝38°，則∠2的度數是（）A．128° B．138° C．142° D．152°答案:A【解答】解：∵∠1＝38°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣38°＝52°，∵直尺的兩邊互相平行，∴∠3＝∠4＝52°∴∠2＝180°﹣52°＝128°，故選：A．2．(2023秋?和平區(qū)校級期末）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1＝40°，則∠2度數是（）A．60° B．40° C．80° D．70°答案:C【解答】解：如圖，根據題意可知∠A為直角，直尺的兩條邊平行，∵a∥b，∴∠1＝∠CDA＝40°，∵∠B＝30°，∴∠CDA＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝10°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣10°＝80°，故選：C．3．(2023秋?通川區(qū)期末）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC，按如圖所示方式放置，其中A、B兩點分別落在直線m、n上，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）A．45° B．35° C．30° D．25°答案:D【解答】解：∵m∥n∴∠3＝∠1＝35°，∵∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣35°＝25°．故選：D．4．(2023秋?長清區(qū)期末）如圖，直角三角板的直角頂點放在直線b上，且a∥b，∠1＝55°，則∠2的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．25°答案:A【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故選：A．5．(2023秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE答案:B【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯誤．故選：B．6．(2023?定遠縣模擬）將一副三角板按如圖所示放置，則下列結論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有AC∥DE；③如果∠2＝30°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正確的有（）A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④答案:B【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，∴∠1＝∠3．∴①符合題意．∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE．∴②符合題意．∵∠2＝30°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，∵∠B＝45°，∴BC不平行于AD．∴③不符合題意．由②得AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④符合題意．故選：B．7．(2023春?秦淮區(qū)校級月考）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數是（）A．38° B．45° C．52° D．58°答案:C【解答】解：如圖：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故選：C．8．(2023春?龍崗區(qū)校級期中）一副直角三角板如圖放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果點C在FD的延長線上，點B在DE上，且AB∥CF，則∠DBC的度數為（）A．10° B．15° C．18° D．30°答案:B【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，故選：B．9．(2023春?寧陽縣期末）將含30°角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝50°，則∠2等于（）A．80° B．100° C．110° D．120°答案:C【解答】解：如圖所示，由題意得∠E＝90°﹣30°＝60°，∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，故選：C．10．(2023春?羅莊區(qū)期末）將直角三角板按照如圖方式擺放，直線a∥b，∠1＝136°，則∠2的度數為（）A．44° B．45° C．46° D．56°答案:C【解答】解：延長AB交直線b于點M，如圖，由題意得：∠CBM＝90°，∵a∥b，∠1＝136°，∴∠AMD＝∠1＝136°，∵∠AMD是△BCM的外角，∴∠AMD＝∠2+∠CBM，∴∠2＝∠AMD﹣∠CBM＝46°．故選：C．11．(2023春?鹽田區(qū)校級期中）如圖，m∥n∥l，一塊三角板按圖所示擺放，則下列結論正確的有（）①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6?∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④答案:D【解答】解：如圖，由題意可知：∠3＝30°，∠6＝60°，∠4+∠7＝90°，∵m∥n，∴∠1＝∠4，∵l∥n，∴∠2＝∠7，∵∠4+∠7＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故①正確；∵l∥n，∴∠5＝∠8，∵∠8＝∠3+∠4，∴∠5＝∠3+∠4，故②正確；∵∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6﹣∠1＝90°，故③正確；∵∠2＝∠7，∠4+∠7＝90°，∴∠2+∠4＝90°，∴2（∠2+∠4）＝180°，∵∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6＝2（∠2+∠4）﹣∠2，即∠5+∠6＝∠2+2∠4，故④正確．所以正確的結論有：①②③④．故選：D．12．(2023春?蜀山區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE，則∠BCE的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．80°答案:C【解答】解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D＝30°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°，即C選項正確，故選：C．13．(2023?深圳）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°答案:C【解答】解：如圖，∠ACB＝45°，∠F＝30°，∵BC∥EF，∴∠DCB＝∠F＝30°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故選：C．14．(2023春?玄武區(qū)期末）將兩個形狀相同，大小不同的三角板按如圖所示方式放置，C是公共頂點，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．對于下列三個結論，其中正確的結論有（）①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案:D【解答】解：如圖，延長AC到點F，根據鄰補角的定義得：∠FCB′+∠ACB'＝108°．根據同角的余角相等得：∠FCB＝∠1，所以有∠1+∠ACB'＝180°，故①正確．由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′＝∠A+∠A′CA，∴180°﹣∠B'DA+30°＝90°﹣∠1+30°，∴∠B'DA﹣∠1＝90°，故②正確．如果∠1＝30°，則∠BCB′＝60°＝∠B．∴AB∥CB'．故③正確．故選：D．15．(2023?南召縣模擬）將一塊含30°角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的方式擺放，若∠2＝40°，則∠1的度數為（）A．10° B．15° C．20° D．25°答案:A【解答】解：如圖，∵AC∥OB，∠2＝40°，∴∠AOB＝∠2＝40°，又∠AOC＝30°，∴∠1＝∠AOB﹣∠AOC＝40°﹣30°＝10°．故選：A．16．(2023秋?城關區(qū)校級期末）同學們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數學活動，提出了很多數學問題，請你解答：（1）如圖1，∠α和∠β具有怎樣的數量關系？請說明理由；（2）如圖2，∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q，求∠FQG的大?。窘獯稹拷猓海?）如圖1，延長AM交EG于M．∠β+∠α＝90°，理由如下：由題意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．∵∠EGB和∠CGM是對頂角，∴∠β＝∠CGM．∴∠β+∠α＝90°．（2）如圖2，延長AC交EG于N．由題意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．∴∠1+∠CGN＝90°．∵QF平分∠DFC，∴∠QFC＝∠DFC＝（180°﹣∠1）＝90°﹣∠1，∠GQC＝90°﹣∠CGN同理可得：∠GQC＝90°﹣∠CGN，∵四邊形QFCG的內角和等于360°．∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°﹣∠1）﹣（90°﹣∠CGN）﹣90°．∴∠FQG＝135°．17．(2023秋?渝中區(qū)校級期末）已知，AB∥CD，直線FE交AB于點E，交CD于點F，點M在線段EF上，過M作射線MR、MP分別交射線AB、CD于點N、Q．（1）如圖1，當MR⊥MP時，求∠MNB+∠MQD的度數；（2）如圖2，若∠DQP和∠MNB的角平分線交于點G，求∠NMQ和∠NGQ的數量關系；（3）如圖3，當MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°時，作∠MNB的角平分線NG．把一三角板OKI的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與MR和MP重合，將其繞點O點順時針旋轉，速度為5°每秒，當OI落在MF上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉．三角板開始運動的同時∠BNG繞點N以3°每秒的速度順時針旋轉，記旋轉中的∠BNG為∠B'NG'，當NG'和NA重合時，整個運動停止．設運動時間為t秒，當∠B'NG'的一邊和三角板的一直角邊互相平行時，請直接寫出t的值．【解答】解：（1）過點M作MH∥AB，如圖：∴∠BMN+∠NMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠HMQ+∠MQD＝180°，∴∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQD＝360°，∵MR⊥MP，∴∠NMQ＝90°，∴∠MNB+∠MQD＝270°；（2）過點M作MH∥AB，過點G作GL∥AB，如圖：設∠BNG＝x，則∠BNM＝2x，∵MH∥AB，∴∠NMH＝180°﹣2x，設∠DQG＝y(tǒng)，則∠DQP＝2y，∵AB∥CD，∴GL∥CD，∴∠QGL＝x，∴∠NGQ＝∠NGL﹣∠QGL＝x﹣y，∠HMQ＝∠DQP＝2y，∴∠NMQ＝∠NMH+∠HMQ＝180°﹣2x+2y＝180°﹣2（x﹣y），∴∠NMQ＝180°﹣2∠NGQ；（3）①若OI∥NG'，則∠ION+∠ONG'＝180°，OI到達MF前，如圖，∵∠ION＝5°t+90°，∠ONG'＝∠ONG﹣∠GNG'＝140°﹣70°﹣3°t，∴5°t+90°+（140°﹣70°﹣3°t）＝180°，解得t＝10；OI返回時，如圖：∵∠ION＝∠FON﹣∠FOI＝160°﹣5°（t﹣14），∠ONG'＝140°﹣70°﹣3°t，∴160°﹣5°（t﹣14）+（140°﹣70°﹣3°t）＝180°，解得t＝15；②當OI∥NB'時，如圖：∵∠ION+∠ONB'＝180°，∴160°﹣5°（t﹣14）+140°﹣3°t＝180°，解得t＝；③當OK∥NG'時，如圖：同理可得160°﹣90°﹣5°（t﹣14）＝3°t﹣70°，解得：；④當OK∥NB'時，如圖：∴140°﹣3°t＝90°﹣[160°﹣5°（t﹣14）]，解得t＝35，綜上所述，t的值為10或15或或或35．18．(2023秋?景德鎮(zhèn)期末）含30度角的直角三角板和直尺按如圖所示方式放置，直尺與三角板的外圍邊緣分別交于A，B，C，D四點．（1）若∠3＝95°，試求∠2的大?。?）∠1與∠2的和是否的定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．【解答】解：（1）根據三角板形狀可知，∠E＝30°，∠F＝60°，∵AD∥BC，∴∠4＝∠3＝95°，∴∠5＝∠4＝95°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝25°．（2）∠1與∠2的和是定值．∵∠3為△ADE的外角，∴∠3＝∠E+∠1，∴∠1＝∠3﹣∠E＝∠3﹣30°，∵∠5＝∠4＝∠3，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝180°﹣∠3﹣60°＝120°﹣∠3，∴∠1+∠2＝∠3﹣30°+120°﹣∠3＝90°．19．(2023春?順德區(qū)校級月考）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°（2）如圖2，現把三角板繞B點逆時針旋轉n°，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出∠1＝°，∠2＝°（結果用含n的代數式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如圖1三角板ABC的放置，現將射線BF繞點B以每秒2°的轉速逆時針旋轉得到射線BM，同時射線QA繞點Q以每秒3°的轉速順時針旋轉得到射線QN，當射線QN旋轉至與QB重合時，則射線BM、QN均停止轉動，設旋轉時間為t（s）．①在旋轉過程中，若射線BM與射線QN相交，設交點為P．當t＝20（s）時，則∠QPB＝°②在旋轉過程中，是否存在BM∥QN．若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵DG∥EF，∴∠DCB＝∠CBF＝n°，∴∠ACD＝90°﹣n°，∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°；故答案為：（120﹣n），（90+n）；②當∠2＝∠1時，90+n＝（120﹣n），解得n＝30，∴n的值是30；（3）①如圖：根據題意得：∠FBP＝20×2°＝40°，∠AQP＝20×3°＝60°，∴∠AQP＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠QPB＝∠FBP＝40°；故答案為：40；②存在BM∥QN，理由如下：如圖：∵QN∥BM，∴∠AQN＝∠ABM，∴3°t＝60°﹣2°t，解得t＝12，∴t的值為12．20．(2023?南譙區(qū)校級開學）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（3）將圖①中的三角尺COD繞點O按每秒15°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，在第幾秒時，MN恰好與CD平行；第幾秒時，MN恰好與直線CD垂直．【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO＝180°﹣45°﹣30°＝105°；（2）∵∠BON＝∠N＝30°，∴MN∥CB，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋轉角為75°，t＝75°÷15°＝5（秒）；CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋轉角為75°+180°＝255°，t＝255°÷15°＝17（秒）；綜上所述，第5或17秒時，邊CD恰好與邊MN平行；如圖2，CD在OM的右邊時，設CD與AB相交于G，∵CD⊥MN，∴∠NGC＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°，∴∠CON＝∠NGC﹣∠OCD＝60°﹣45°＝15°，∴旋轉角為180°﹣∠CON＝180°﹣15°＝165°，t＝165°÷15°＝11（秒），CD在OM的左邊時，設CD與AB相交于G，∵CD⊥MN，∴∠NGD＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝∠NGD﹣∠C＝60°﹣45°＝15°，∴旋轉角為360°﹣∠AOC＝360°﹣15°＝345°，t＝345°÷15°＝23（秒），綜上所述，第11或23秒時，直線CD恰好與直線MN垂直．21．(2023春?新羅區(qū)期中）如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點O按每秒20°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．（1）當直角三角板旋轉到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，此時，∠BOC與∠BOE之間有何數量關系？并說明理由；（2）在旋轉的過程中，若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①當邊AB與射線OE相交時（如圖3），則∠AOC﹣∠BOE的值為；②當邊AB所在的直線與OC平行時，求t的值．【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠BOC＝∠BOE；（2）①∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，∴∠AOC﹣∠BOE的值為50°．故答案為：50°；②∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，（I）如圖3﹣1，當AB在直線DE上方時，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠A＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，∵直角三角板繞點O按每秒20°的速度旋轉，∴t＝70°÷20°＝3.5；（Ⅱ）解法一：如圖3﹣2，當AB在直線DE下方時，∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，∠AOD＝90°+20°＝110°，∴直角三角板AOB繞點O旋轉的角度為360°﹣∠AOD＝250°，∵直角三角板AOB繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉，∴t＝（360°﹣110°）÷20°＝12.5，解法二：如圖3﹣3，在②（Ⅰ）的基礎上，繼續(xù)將直角三角板A1OB1繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉180°，得到直角三角板AOB，此時，AB∥OC，∴直角三角板AOB繞點O旋轉的角度為180°+70°＝250°，∵直角三角板AOB繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉，∴t＝250°÷20°＝12.5，綜合（Ⅰ）（Ⅱ）得：t＝3.5或t＝12.5．22．(2023春?岳陽期末）如圖，已知∠DCF和∠ECF互為鄰補角，∠DCF＝α（0＜α＜90°），將一個三角板的直角頂點放在點C處（注：∠ACB＝90°，∠ABC＝60°）．（1）如圖1，使三角板的短直角邊BC與射線CD重合，若α＝40°，則∠ACF＝．（2）如圖2，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉60°，試判斷此時AB與DE的位置關系，并說明理由．（3）如圖3，將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉β（0＜β＜90°），使得∠ACE＝∠BCF，此時α和β滿足什么關系？請說明理由．（4）將圖1中的三角板繞點C以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，AC恰好與直線CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）∵∠ACF+α＝90°，α＝40°，∴∠ACF＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50；（2）∵∠ABC＝∠DCB＝60°，∴AB∥DE；（3）∵∠DCB＝β，∴∠BCF＝β﹣α，∵∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE＝，∵∠ACE+∠DCB＝90°，∴+β＝90°，∴3β﹣α＝180°；（4）第t秒時，AC恰好與直線CF重合，則5°t＝270°+α，解得t＝54+．23．(2023春?平南縣期末）如圖已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），有一塊三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，現將該三角板如圖所示放置，使頂點B始終落在ON上，過點A作DA∥ON交OM于點E．（1）如圖1，若BC∥OM，∠CAD＝40°，請求出α的大小；（2）若∠BAE的平分線AP交ON于點P；①如圖2，當AP∥OM，且α＝60°時，請說明：BC∥OM；②如圖3，將三角板ABC沿直線ON從左往右平移，且在平移的過程中，始終保持BC∥OM不變，請?zhí)骄俊螼PA與α之間的數量關系，并直接寫出你的結論．【解答】解：（1）如圖1，∵∠CAD＝40°，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAD＝40°+30°＝70°，∠ABC＝60°，∵AD∥ON，∴∠ABN＝180°﹣70°＝110°，∵BC∥OM，∴∠MON＝∠CBN＝α＝110°﹣60°＝50°，即α＝50°；（2）①如圖2，∵AP∥OM，α＝60°＝∠MON，∴∠APB＝∠MON＝60°，又∵AD∥ON，∴∠PAE＝∠APB＝60°，∵AP是∠BAE的平分線，∴∠PAE＝∠BAB＝60°，∴∠ABN＝∠BAE＝2∠PAB＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴∠CBN＝120°﹣60°＝60°＝∠MON，∴BC∥OM；②如圖3，∠OPA＝150°﹣α，理由如下：∵BC∥OM，∴∠CBN＝∠MON＝α，∴∠ABN＝α+60°＝∠BAE，∵AP是∠BAE的平分線，∴∠PAE＝∠PAB＝∠BAE＝α+30°，∠ABP＝180°﹣∠ABN＝120°﹣α，∴∠OPA＝∠PAB+∠ABP＝α+30°+120°﹣α＝150°﹣α．24．(2023春?莆田期末）李想是一位善于思考的學生，在一次數學活動課上，他將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究．已知直線EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，點C為直線EF上一定點．將直角三角板ABC繞點C轉動，當點A在直線GH上時，點B也恰好在直線GH上．（1）如圖1，求∠ECB的度數；（2）如圖2，若點A在直線EF上方，點B在GH下方，BC與GH交于點Q，作∠ACE的角平分線并反向延長與∠CQH的角平分線交于點O．在直角三角板ABC繞點C轉動的過程中，∠O的度數是否保持不變？若不變，求出∠O的度數；否則，請說明理由；（3）如圖3，直角三角板ABC繞點C轉動，若點A在直線EF，GH之間（不含EF，GH上），點B在GH下方，AB，BC分別與GH交于點P，Q．設∠FCB＝n°，是否存在正整數m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵EF∥GH，∴∠ECA＝∠CAB＝60°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．（2）∠O的度數保持不變．理由如下：過點O作OP∥EF，∵EF∥GH，∴EF∥OP∥GH，∴∠COP＝∠FCO，∠POQ＝∠OQH，∠ECQ＝∠CQH，∵CD平分∠ACE，OQ平分∠CQH，∴∠DCE＝∠ACE，∠OQH＝∠CQH＝∠ECB，∴∠POQ＝∠ECB，∵∠DCE＝∠FCO，∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE，∴∠COQ＝∠COP+∠POQ＝∠ACE+∠ECB＝（∠ACE+∠ECB）＝∠ACB＝×90°＝45°．∴∠O的度數保持不變，始終是45°．（3）存在．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A＝360°﹣90°﹣60°＝210°，∵EF∥GH，∴∠FCB＝∠CQP＝n°，∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°，∵∠APH＝m∠FCB，∴∠APH＝mn°，∴mn°+n°＝210°，由此得出，n＝，∵點A在直線EF，GH之間（不含EF，GH上），點B在GH下方，∴30°＜n°＜90°，即mn°＜180°，m，n是正整數，∴當m＝1時，n＝＝105，不符合題意，舍去；當m＝2時，n＝＝70，符合題意；當m＝3時，n＝不是正整數，舍去；當m＝4時，n＝＝42，符合題意；當m＝5時，n＝35，符合題意；當m＝6時，n＝＝30，不符合題意，舍去．綜上所得，m＝2，n＝70，或m＝4，n＝42，或m＝5，n＝35．25．(2023春?岳池縣期中）已知在三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，在長方形DEFG中，DE‖GF．如圖①，若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，AB⊥DE于點N，BC與DE相交于點M，則∠EMC的度數是多少呢？若過點C作CH‖GF，則CH‖DE，這樣就將∠CAF轉化為∠HCA，∠EMC轉化為∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數．（1）請你直接寫出：∠CAF＝°，∠EMC＝°；（2）若將三角板ABC按圖②所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數量關系，并證明你的猜想；（3）請在圖②中探究∠BAG與∠BMD有何數量關系？并說明理由．【解答】解：（1）由題可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案為：30，60；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，證明：如圖②，過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，證明：如圖②，過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．26．(2023秋?南崗區(qū)校級期末）已知：直線AB∥CD，一塊三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如圖1，三角板EFH的頂點H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點G，若∠2＝2∠1，求∠1的度數；（2）如圖2，當三角板EFH的頂點F落在直線AB上，且頂點H仍在直線CD上時，EF與直線CD相交于點M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數量關系；（3）如圖3，當三角板EFH的頂點F落在直線AB上，頂點H在AB、CD之間，而頂點E恰好落在直線CD上時得△EFH，在線段EH上取點P，連接FP并延長交直線CD于點T，在線段EF上取點K，連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求證：PQ∥FH．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CHG．∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，∴3∠CHG+60°＝180°．∴∠CHG＝40°．∴∠1＝40°．（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的數量關系為：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CME．∵∠CME＝∠E+∠MHE，∴∠AFE＝∠E+∠MHE．（3）證明：設∠AFE＝x，則∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．∵AB∥CD，∴∠BFT＝∠ETF．∵∠EFT＝∠ETF，∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．∵∠Q﹣∠HFT＝15°，∴∠Q＝15°+x．∵AB∥CD，∴∠AFE+∠CEF＝180°．∴∠CEF＝180°﹣x．∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．∵EQ平分∠CEH，∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．∴∠QPE＝60°．∵∠H＝60°，∴∠QPE＝∠H．∴PQ∥FH．27．(2023秋?王益區(qū)期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M，且點M在點D的左側．（1）如圖，若CE∥OA，∠NDE＝45°，則α＝45°；（2）若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F，①如圖，當DF∥OA，且α＝60°時，試說明：CE∥OA；②如圖，當CE∥OA保持不變時，試求出∠OFD與α之間的數量關系．【解答】解：（1）如圖，過點E作EF∥MN，∴∠DEF＝∠NDE＝45°，∵∠CED＝90°，∴∠FEC＝45°，∵MN∥OB，∴EF∥OB，∴∠BCE＝∠FCE＝45°，∵AO∥CE，∴∠AOB＝∠ECB＝45°，則α＝45°，故答案為：45；（2）①∵DF∥OA，∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°，∵MN∥OB，∴∠MDF＝∠DFC，∵DF平分∠MDC，∴∠CDF＝∠MDF＝60°，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠CDF＝∠DCE，∴CE∥DF，∵DF∥OA，∴CE∥OA；②∵當CE∥OA保持不變時，總有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠DCB＝60°+α，∵MN∥OB，∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF，∵DF平分∠MDC，∴，∴．28．(2023春?睢陽區(qū)期末）問題情境：我們知道，“如果兩條平行被第三條直線