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湖南長(zhǎng)沙市四中2019-2020學(xué)年九年級(jí)(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一.選擇題(每題3分,滿分36分)1.下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.2.下列事件為必然事件的是()A.袋中有4個(gè)藍(lán)球,2個(gè)綠球,共6個(gè)球,隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球 B.三角形的內(nèi)角和為180° C.打開電視機(jī),任選一個(gè)頻道,屏幕上正在播放廣告 D.拋擲一枚硬幣兩次,第一次正面向上,第二次反面向上3.已知點(diǎn)M是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),設(shè)∠MAD=θ1,∠MBA=θ2,∠MCB=θ3,∠MDC=θ4.若∠AMB=110°,∠CMD=90°,∠BCD=60°.則()A.θ1+θ4﹣θ2﹣θ3=10° B.θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=30° C.θ1+θ4﹣θ2﹣θ3=30° D.θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=40°4.圓內(nèi)接四邊形ABCD,∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比為3:4:6,則∠D的度數(shù)為()A.60 B.80 C.100 D.1205.若式子有意義,則一次函數(shù)y=(3﹣k)x+k﹣3的圖象可能是()A. B. C. D.6.已知點(diǎn)A(﹣1,2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是()A.(2,1) B.(1,2) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,﹣2)7.在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加跳遠(yuǎn)的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭境煽?jī)(米)4.504.604.654.704.754.80人數(shù)232341則這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是()A.4.65、4.70 B.4.65、4.75 C.4.70、4.75 D.4.70、4.708.如圖,A、B、C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn),將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△ADE,則tanD的值為()A. B. C. D.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣2,3),以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為()A. B.2﹣ C.﹣ D.﹣210.共享單車為市民出行帶來了方便,某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車,計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛,設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,那么y與x的函數(shù)關(guān)系是()A.y=a(1+x)2 B.y=a(1﹣x)2 C.y=(1﹣x)2+a D.y=x2+a11.已知a,b,c為常數(shù),且點(diǎn)Q(b,a)在第三象限,則關(guān)于x的方程bx2﹣cx﹣a=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法確定12.如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),ME⊥BC于E,MF⊥CD于F,則EF的最小值為()A. B. C.2 D.1二.填空題(滿分18分,每小題3分)13.拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P在拋物線上,若△PAB的面積為27,則滿足條件的點(diǎn)P有個(gè).14.甲、乙兩名男同學(xué)練習(xí)投擲實(shí)心球,每人投了10次,平均成績(jī)均為7.5米,方差分別為s甲2=0.2,S乙2=0.08,成績(jī)比較穩(wěn)定的是(填“甲”或“乙”)15.如果順次聯(lián)結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形,那么對(duì)角線AC與BD需滿足的條件是.16.一元二次方程x2+5x+a=0的兩根為m,n,若mn=2,則m2+6m+n=.17.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點(diǎn),那么CH的長(zhǎng)是.18.已知二次函數(shù)y=4x2﹣mx+5,當(dāng)x≤﹣2時(shí),y隨x的增大而減??;當(dāng)x≥﹣2時(shí),y隨x的增大而增大,則當(dāng)x=1時(shí),y的值為.三.解答題19.(6分)計(jì)算+|﹣2|+(﹣1)2019.20.(6分)化簡(jiǎn)求值[(x﹣2y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣7y2]÷2y,其中x=4,y=﹣321.(8分)為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)舉行“漢字聽寫”比賽,賽后整理參賽學(xué)生的成績(jī),將學(xué)生的成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),并將結(jié)果繪制成圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖和圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖,但均不完整.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:(1)求參加比賽的學(xué)生共有多少名?并補(bǔ)全圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖.(2)在圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值為,表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為度;(3)組委會(huì)決定從本次比賽獲得A等級(jí)的學(xué)生中,選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽寫”大賽.已知A等級(jí)學(xué)生中男生有1名,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.22.(8分)如圖,利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不超過45米),用80米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地.①怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750平方米?②能否圍成面積為810平方米的矩形場(chǎng)地,為什么?23.(9分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,將該矩形沿AE折疊,使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處,過點(diǎn)F作分、FG∥CD,交AE于點(diǎn)G連接DG.(1)求證:四邊形DEFG為菱形;(2)若CD=8,CF=4,求的值.24.(9分)為了迎接“十?一”小長(zhǎng)假的購物高峰.某運(yùn)動(dòng)品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋.其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)(元/雙)mm﹣20售價(jià)(元/雙)240160已知:用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同.(1)求m的值;(2)要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤(rùn)(利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))不少于21700元,且不超過22300元,問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案?(3)在(2)的條件下,專賣店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng),決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a(50<a<70)元出售,乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤(rùn)應(yīng)如何進(jìn)貨?25.(10分)如圖,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)F為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線,交直線BC于點(diǎn)D,求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).26.(10分)如圖1,在矩形ABCD中,AB=18cm,BC=24cm.在Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF=12cm,GF=16cm.E,F(xiàn)兩點(diǎn)在BC邊上,GE,GF兩邊分別與矩形ABCD對(duì)角線BD交于M,N兩點(diǎn).現(xiàn)矩形ABCD固定不動(dòng),△GEF從點(diǎn)F與點(diǎn)B重合的位置出發(fā),沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā),在折線FG﹣GE上以4cm/s的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng).⊙G是以G為圓心.GP的長(zhǎng)為半徑的圓.△GEF與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí),△GEF和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(單位:s).(1)當(dāng)t=2s時(shí),PN=cm,GM=cm;(2)當(dāng)△PGE為等腰三角形時(shí),求t的值;(3)當(dāng)⊙G與BD相切時(shí),求t的值.
參考答案一.選擇題1.解:A、是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形;B、不是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形;C、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形;D、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形.故選:A.2.解:A.袋中有4個(gè)藍(lán)球,2個(gè)綠球,共6個(gè)球,隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球是不可能事件;B.三角形的內(nèi)角和為180°是必然事件;C.打開電視機(jī),任選一個(gè)頻道,屏幕上正在播放廣告是隨機(jī)事件;D.拋擲一枚硬幣兩次,第一次正面向上,第二次反面向上是隨機(jī)事件;故選:B.3.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BAD=∠BCD=60°,∴∠BAP=60°﹣θ1,∠DCP=60°﹣θ3,∴△ABP中,60°﹣θ1+θ2+110°=180°,即θ2﹣θ1=10°①,△DCP中,60°﹣θ3+θ4+90°=180°,即θ4﹣θ3=30°②,由②+①,可得(θ4﹣θ3)+(θ2﹣θ1)=40°,即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=40°,故選:D.4.解:∵內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),∴∠A:∠B:∠C:∠D=3:4:6:5設(shè)∠A的度數(shù)為3x,則∠B,∠C,∠D的度數(shù)分別為4x,6x,5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故選:C.5.解:∵式子有意義,∴k﹣3>0,解得k>3,∴3﹣k<0,k﹣3>0,∴一次函數(shù)y=(3﹣k)x+k﹣3的圖象過一、二、四象限.故選:D.6.解:如圖,作AF⊥x軸于F,A1E⊥x軸于E.∵A(﹣1,2),∴AF=2,OF=1,∵∠AFO=∠OEA1=∠AOA1=90°,∴∠AOF+∠EOA1=90°,∠A+∠AOF=90°,∴∠A=∠EOA1,∵OA=OA1,∴△AOF≌△OA1E(AAS),∴OE=AF=2,A1E=OF=1,∴A1(﹣2,﹣1),故選:C.7.解:這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是4.70,4.75.故選:C.8.解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠D=∠B,∵tanB==,∴tanD=.故選:D.9.解:由勾股定理得,OP==,由題意得,OA=OP=,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣,故選:C.10.解:設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,依題意得第三個(gè)月第三個(gè)月投放單車a(1+x)2輛,則y=a(1+x)2.故選:A.11.解:∵點(diǎn)Q(b,a)在第三象限,∴a<0,b<0,∴ab>0.∵△=(﹣c)2﹣4b(﹣a)=c2+4ab>0,∴關(guān)于x的方程bx2﹣cx﹣a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選:A.12.解:連接MC,如圖所示:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠C=90°,∠DBC=45°,∵M(jìn)E⊥BC于E,MF⊥CD于F∴四邊形MECF為矩形,∴EF=MC,當(dāng)MC⊥BD時(shí),MC取得最小值,此時(shí)△BCM是等腰直角三角形,∴MC=BC=2,∴EF的最小值為2;故選:B.二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)13.解:當(dāng)y=0時(shí),x2﹣4x﹣5=0,解得x1=﹣1,x2=5,∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,0),(5,0),設(shè)P(t,t2﹣4t﹣5),∵△PAB的面積為27,∴×(5+1)×|t2﹣4t﹣5|=27,即t2﹣4t﹣5=9或t2﹣4t﹣5=﹣9,解t2﹣4t﹣5=9得t1=2+3,t2=2﹣3,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣3,9),(2+3,9);解t2﹣4t﹣5=﹣9得t1=t2=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣9),∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè).故答案為3.14.解:∵S甲2=0.2,S乙2=0.08,∴S甲2>S乙2,∴成績(jī)比較穩(wěn)定的是乙;故答案為:乙.15.證明:∵四邊形EFGH是矩形,∴∠FEH=90°,又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn),∴EF是三角形ABD的中位線,∴EF∥BD,∴∠FEH=∠OMH=90°,又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn),∴EH是三角形ACD的中位線,∴EH∥AC,∴∠OMH=∠COB=90°,即AC⊥BD.故答案為:AC⊥BD.16.解:由題意可知:m+n=﹣5,mn=2,∴a=2,∴m2+5m+2=0,∴原式=m2+5m+m+n,=﹣2+(﹣5)=﹣7,故答案為:﹣717.解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=1,CE=3,∴AB=BC=1,CE=EF=3,∠E=90°,延長(zhǎng)AD交EF于M,連接AC、CF,則AM=BC+CE=1+3=4,F(xiàn)M=EF﹣AB=3﹣1=2,∠AMF=90°,∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H為AF的中點(diǎn),∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF===2,∴CH=,故答案為:.18.解:∵當(dāng)x≤﹣2時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥﹣2時(shí),y隨x的增大而增大,∴對(duì)稱軸x=﹣=﹣=﹣2,解得m=﹣16,∴y=4x2+16x+5,那么當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y的值為25.故答案為25.三.解答題(共8小題,滿分66分)19.解:原式=3+2﹣1,=4.20.解:[(x﹣2y)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣7y2]÷2y=[x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣7y2]÷2y=[﹣4xy﹣2y2]÷2y=﹣2x﹣y,當(dāng)x=4,y=﹣3時(shí),原式=﹣8+3=﹣5.21.解:(1)根據(jù)題意得:3÷15%=20(人),∴參賽學(xué)生共20人,則B等級(jí)人數(shù)20﹣(3+8+4)=5人.補(bǔ)全條形圖如下:(2)C等級(jí)的百分比為×100%=40%,即m=40,表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為360°×=72°,故答案為:40,72.(3)列表如下:男女女男(男,女)(男,女)女(女,男)(女,女)女(女,男)(女,女)所有等可能的結(jié)果有6種,其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種,則P(恰好是一名男生和一名女生)==.22.解:①設(shè)AB=CD=x米,則BC=(80﹣2x)米,依題意,得:x(80﹣2x)=750,整理,得:x2﹣40x+375=0,解得:x1=15,x2=25,∴80﹣2x=50或30.∵80﹣2x≤45,∴x=25.答:矩形的長(zhǎng)為30米,寬為25米.②不能,理由如下:設(shè)AB=CD=y(tǒng)米,則BC=(80﹣2y)米,由題意,得:y(80﹣2y)=810,整理,得:x2﹣40x+405=0,∵△=(﹣40)2﹣4×1×405=﹣20<0,∴不能圍成面積為810平方米的矩形場(chǎng)地.23.(1)證明:由折疊的性質(zhì)可知:DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,∵FG∥CD,∴∠2=∠3,∴FG=FE,∴DG=GF=EF=DE,∴四邊形DEFG為菱形;(2)解:設(shè)DE=x,根據(jù)折疊的性質(zhì),EF=DE=x,EC=8﹣x,在Rt△EFC中,F(xiàn)C2+EC2=EF2,即42+(8﹣x)2=x2,解得:x=5,CE=8﹣x=3,∴=.24.解:(1)依題意得,=,整理得,3000(m﹣20)=2400m,解得m=100,經(jīng)檢驗(yàn),m=100是原分式方程的解,所以,m=100;(2)設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙,則乙種運(yùn)動(dòng)鞋(200﹣x)雙,根據(jù)題意得,,解不等式①得,x≥95,解不等式②得,x≤105,所以,不等式組的解集是95≤x≤105,∵x是正整數(shù),105﹣95+1=11,∴共有11種方案;(3)設(shè)總利潤(rùn)為W,則W=(240﹣100﹣a)x+80(200﹣x)=(60﹣a)x+16000(95≤x≤105),①當(dāng)50<a<60時(shí),60﹣a>0,W隨x的增大而增大,所以,當(dāng)x=105時(shí),W有最大值,即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋105雙,購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋95雙;②當(dāng)a=60時(shí),60﹣a=0,W=16000,(2)中所有方案獲利都一樣;③當(dāng)60<a<70時(shí),60﹣a<0,W隨x的增大而減小,所以,當(dāng)x=95時(shí),W有最大值,即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋95雙,購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙.25.解:(1)用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;故二次函數(shù)表達(dá)式為:y=x2﹣4x+3;(2)①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時(shí),如圖1,則AB=PF=2,則點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,3),當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),即點(diǎn)C的位置,點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,故:點(diǎn)P(4,3)或(0,3);②當(dāng)AB是四邊形的對(duì)角線時(shí),如圖2,AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2,其中點(diǎn)坐標(biāo)為:,即:=2,解得:m=2,故點(diǎn)P(2,﹣1);故:點(diǎn)P(4,3)或(0,3)或(2,﹣1);(3)直線BC的表達(dá)式為:y=﹣x+3,設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,x2﹣4x+3),則點(diǎn)D(x,﹣x+3),S四邊形AEBD=AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x,∵﹣1<0,故四邊形AEBD面積有最大值,當(dāng)x=,其最大值為,此時(shí)點(diǎn)E(,﹣).26.解:(1)當(dāng)t=2時(shí),BF=2×2=4(cm),F(xiàn)P=2×4=8(cm),∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD=18cm,tan∠DBC===,∵∠GFE=90°,∴∠BFN=90°=∠C,∴GF∥CD,∴△BFN∽△BCD,∴=,即=,解得:FN=3cm,∴PN=FP﹣FN=5cm;GN=GF﹣FN=16﹣3=13(cm),∵Rt△GEF中,∠GFE=90°.EF=12cm,GF=16cm,∴GE==20cm,tan∠G===,∴∠DBC=∠G,∵∠BFN=180°﹣90°=90°,∴∠DBC+∠BNF=90°,∵∠GNM=∠BNF,∴∠G+∠GNM=90°,∴∠GMN=90°,∴△GNM∽△GEF,∴=,即=,∴GM=cm,故答案為:5,;(2)由題意得:當(dāng)△PGE為等腰三角形時(shí),PG=PE,如圖2所示:設(shè)PF=x,則PE=PG=(16﹣x)cm,在Rt△PEF中,由勾股定理得:122+x2=(16﹣x)2,解得:x=,∴PF=,∴t=÷4=(s);(3)由勾股定理得:BD==30cm,由(1)得:∠GMN=90°,∴GM⊥BD,∵GP是⊙G的半徑,∴當(dāng)⊙G與BD相切時(shí),GM=GP,∵∠BME=∠C=90°,∠DBC=∠EBM,∴△BME∽△BCD,∴=,即=,解得:ME=(2t+12),∴GM=GE﹣ME=20﹣(2t+12)=,分兩種情況:①當(dāng)0<t≤4時(shí),∵GP=16﹣4t,∴=16﹣4t,解得:t=;②當(dāng)4<t≤6時(shí),P與M重合,GP=4t﹣16,∴=4t﹣16,解得:t=;綜上所述,當(dāng)⊙G與BD相切時(shí),t的值為s或s.
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