2020年高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)：等差數(shù)列與等比數(shù)列(解析版)

年高考數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)：等差數(shù)列與等比數(shù)列題型一等差、等比數(shù)列的基本運算【題型要點】方程思想在等差(比)數(shù)列的基本運算中的運用等差(比)數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個量，如果已知其中的三個，就可以求其余的兩個．其中a1和d(或q)是兩個基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量，然后根據(jù)通項公式，求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn)．【例1】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2a5＝2a3，且a4與2a7的等差中項為54，則S5等于()A．29 B．31C．33 D．36【例2】．a(chǎn)n是公差不為0的等差數(shù)列，滿足a24＋a25＝a26＋a27，則該數(shù)列的前10項和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【例3】．已知遞增數(shù)列{an}對任意n∈N*均滿足an∈N*，aan＝3n，記bn＝a2?3n－1(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前n項和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.3n＋1－3n2 D.3n＋1－32題組訓(xùn)練一等差、等比數(shù)列的基本運算1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60則a20等于()A．4B．6C．10D．122．在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則a6等于()A．8B．6C．4 D．33．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項和為()A．152 B．135C．80 D．16題型二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【題型要點】(1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解．(2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．【例4】已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，且a8?a2008＝14，則b1＋b2＋b3＋…＋b2015等于()A．log22015 B．2015C．－2015 D．10082．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝10，S12＝130，則S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－503．等比數(shù)列{an}的首項為32，公比為－12，前n項和為Sn，則當(dāng)n∈N*時，Sn－1Sn的最大值與最小值之和為()A．－23 B．－712C.14 D.56題組訓(xùn)練二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則a1a17a9的值為()A．23 B．4C．±22 D．±42．設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，－217<d<－19，則當(dāng)Sn取最大值時n的值為________．3．若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016?a2017＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．2016B．2017C．4032 D．4033題型三等差、等比數(shù)列的綜合問題【題型要點】關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題多屬于兩者運算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的基本量：首項和公差(或公比)，靈活運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，簡化運算，準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問題的關(guān)鍵．【例3】已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn；(2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn<Tm＋λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．題組訓(xùn)練三等差、等比數(shù)列的綜合問題已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an?an＋1＝，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；(2)求T2n.題型四數(shù)列與其他知識的交匯【題型要點】數(shù)列在中學(xué)教材中既有相對獨立性，又有較強的綜合性，很多數(shù)列問題一般轉(zhuǎn)化，特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基本運算與應(yīng)用．【例4】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若OB→＝a1OA→＋a2016OC→，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2016等于()A．1007B．1008C．2015D．2016題組訓(xùn)練四數(shù)列與其他知識的交匯1．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為()A.12 B.32C．1 D．－322．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項am，an使得am?an＝4a1，則1m＋4n的最小值為()A.32 B.53C.256 D.433．艾薩克?牛頓(1643年1月4日－1727年3月31日)英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點時給出一個數(shù)列xn滿足xn＋1＝xn－fxnf′xn，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有兩個零點1,2，數(shù)列xn為牛頓數(shù)列，設(shè)an＝lnxn－2xn－1，已知a1＝2，xn>2，則an的通項公式an＝________.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝5，則數(shù)列{lgan}的前10項和等于()A．2 B．lg50C．10 D．52．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a3a5＝64，則a1＋a7的最小值為()A．64 B．32C．16 D．83．一個等比數(shù)列的前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列的項數(shù)是()A．13 B．12C．11 D．104．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項和Sn等于()A．n(3n－1) B.nn＋32C．n(n＋1) D.n3n＋125．記Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，若S12－S6S6－7?S6－S3S3－8＝0，且正整數(shù)m，n滿足a1ama2n＝2a35，則1m＋8n的最小值是()A.157 B.95C.53 D.756．?dāng)?shù)列an是以a為首項，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，數(shù)列cn滿足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若cn為等比數(shù)列，則a＋b等于()A.2B．3C.5 D．6二、填空題7．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝n2?，其前n項和為Sn，則S30＝________.8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＝2nan－1an－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________.9．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？()A．8日B．9日C．12日 D．16日10．?dāng)?shù)列{logkan}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，其中k>0，且k≠1.設(shè)cn＝anlgan，若{cn}中的每一項恒小于它后面的項，則實數(shù)k的取值范圍為________．三、解答題11．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{an＋λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an；若不存在，請說明理由．12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an＋1＝an?bn，若bn≤t對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍．

2020年高考數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)：等差數(shù)列與等比數(shù)列題型一等差、等比數(shù)列的基本運算【題型要點】方程思想在等差(比)數(shù)列的基本運算中的運用等差(比)數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個量，如果已知其中的三個，就可以求其余的兩個．其中a1和d(或q)是兩個基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量，然后根據(jù)通項公式，求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn)．【例1】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2a5＝2a3，且a4與2a7的等差中項為eq\f(5,4)，則S5等于()A．29 B．31C．33 D．36【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1qa1q4＝2a1q2,a1q3＋2a1q6＝2×\f(5,4)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2),a1＝16))，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝31，故選B.法二：由a2a5＝2a3，得a4＝2.又a4＋2a7＝eq\f(5,2)，所以a7＝eq\f(1,4)，所以q＝eq\f(1,2)，所以a1＝16，所以S5＝eq\f(a21－q5,1－q)＝31，故選B.【答案】B【例2】．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是公差不為0的等差數(shù)列，滿足aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,6)＋aeq\o\al(2,7)，則該數(shù)列的前10項和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【解析】由題意，得aeq\o\al(2,4)－aeq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,6)－aeq\o\al(2,5)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4－a7))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a7))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a6－a5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a6＋a5))，即－3deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a7))＝deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a6＋a5))，又因為d≠0，所以a4＋a7＝a6＋a5＝0，則該數(shù)列的前10項和S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a6＋a5))＝0.故選C.【答案】C【例3】．已知遞增數(shù)列{an}對任意n∈N*均滿足an∈N*，aan＝3n，記bn＝a2·3n－1(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前n項和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.eq\f(3n＋1－3n,2) D.eq\f(3n＋1－3,2)【解析】因為aan＝3n，所以a1≤3，若a1＝1，那么a1＝aa1＝3×1＝3≠1矛盾，若a1＝2，那么a2＝aa1＝3×1＝3成立，若a1＝3，那么a3＝aa1＝3×1＝3＝a1矛盾，所以a2＝b1＝2，當(dāng)aaan＝3an＝a3n，所以bn＝a2·3n－1＝a3·2·3n－2＝3a2·3n－2＝3bn－1，即eq\f(bn,bn－1)＝3，數(shù)列{bn}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以前n項和為eq\f(b11－qn,1－q)＝eq\f(31－33,1－3)＝eq\f(3n＋1－3,2)，故選D.【答案】D題組訓(xùn)練一等差、等比數(shù)列的基本運算1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60則a20等于()A．4B．6C．10D．12【解析】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，∵a3＋a5＝4，S15＝60，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋4d＝4,15a1＋\f(15×14,2)d＝60))，解得a1＝eq\f(1,2)，d＝eq\f(1,2)，∴a20＝a1＋19d＝eq\f(1,2)＋19×eq\f(1,2)＝10.故選C.【答案】C2．在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則a6等于()A．8B．6C．4 D．3【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6(a3＋a9)＝6×2a6＝12a6＝36，∴a6＝3.故選D.【答案】D3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項和為()A．152 B．135C．80 D．16【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝3，首項a1＝eq\f(30,1＋q2)＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前15項的和為eq\f(15×2＋16,2)＝135，故選B.【答案】B題型二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【題型要點】(1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解．(2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．【例4】已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，且a8·a2008＝eq\f(1,4)，則b1＋b2＋b3＋…＋b2015等于()A．log22015 B．2015C．－2015 D．1008【解析】∵數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由a8·a2008＝eq\f(1,4)，可得aeq\o\al(2,1008)＝eq\f(1,4)，即a1008＝eq\f(1,2)，∴a1·a2015＝a2·a2014＝…＝a1007·a1009＝aeq\o\al(2,1008)＝eq\f(1,4)，∴b1＋b2＋b3＋…＋b2015＝log2(a1·a2·…·a2015)＝log2＝－2015.【答案】C2．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝10，S12＝130，則S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－50【解析】∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列且數(shù)列{an}的前n項和為Sn，∴S4，S8－S4，S12－S8也構(gòu)成等比數(shù)列．∴(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，∵S4＝10，S12＝130，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，∴(S8－10)2＝10·(130－S8)，∴S8＝40.故選B.【答案】B3．等比數(shù)列{an}的首項為eq\f(3,2)，公比為－eq\f(1,2)，前n項和為Sn，則當(dāng)n∈N*時，Sn－eq\f(1,Sn)的最大值與最小值之和為()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(7,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(5,6)【解析】依題意得，Sn＝＝1－.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝1＋eq\f(1,2n)隨著n的增大而減小，1＜Sn＝1＋eq\f(1,2n)≤S1＝eq\f(3,2)，Sn－eq\f(1,Sn)隨著Sn的增大而增大，0＜Sn－eq\f(1,Sn)≤eq\f(5,6)；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝1－eq\f(1,2n)隨著n的增大而增大，eq\f(3,4)＝S2≤Sn＝1－eq\f(1,2n)＜1，Sn－eq\f(1,Sn)隨著Sn的增大而增大，－eq\f(7,12)≤Sn－eq\f(1,Sn)＜0.因此Sn－eq\f(1,Sn)的最大值與最小值分別為eq\f(5,6)、－eq\f(7,12)，其最大值與最小值之和為eq\f(5,6)－eq\f(7,12)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，選C.【答案】C題組訓(xùn)練二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則eq\f(a1a17,a9)的值為()A．2eq\r(3) B．4C．±2eq\r(2) D．±4【解析】∵a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，∴a3a15＝12，a3＋a15＝7，∵{an}為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號，∴a9＞0，∴a9＝eq\r(a3a15)＝2eq\r(3)，∴eq\f(a1a17,a9)＝eq\f(a\o\al(2,9),a9)＝a9＝2eq\r(3).故選A.【答案】A2．設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，－eq\f(2,17)<d<－eq\f(1,9)，則當(dāng)Sn取最大值時n的值為________．【解析】因為等差數(shù)列{an}的公差d為負(fù)值，所以{an}是遞減數(shù)列．又a1＝1，所以由an＝a1＋(n－1)d>0得n<eq\f(d－a1,d)，即n<1－eq\f(1,d)，因為－eq\f(2,17)<d<－eq\f(1,9)，所以eq\f(19,2)<1－eq\f(1,d)<10，所以n≤9，即當(dāng)n≤9時，an>0，當(dāng)n≥10時，an<0.所以當(dāng)Sn取得最大值時n的值為9.【答案】93．若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．2016B．2017C．4032 D．4033【解析】因為a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，所以d＜0，a2016＞0，a2017＜0，所以S4032＝eq\f(4032a1＋a4032,2)＝eq\f(4032a2016＋a2017,2)＞0，S4033＝eq\f(4033a1＋a4033,2)＝4033a2017＜0，所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4032，故選C.【答案】C題型三等差、等比數(shù)列的綜合問題【題型要點】關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題多屬于兩者運算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的基本量：首項和公差(或公比)，靈活運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，簡化運算，準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問題的關(guān)鍵．【例3】已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn；(2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn<Tm＋λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【解析】(1)由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，從而Sn＝eq\f(n9－n,2).(2)由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(1,2)，∴Tm＝＝8，∵隨m增加而遞減，∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm<8.又Sn＝eq\f(n9－n,2)＝－eq\f(1,2)(n2－9n)＝－eq\f(1,2)，故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn<Tm＋λ，則10<8＋λ，得λ>2.即實數(shù)λ的取值范圍為(2，＋∞)．題組訓(xùn)練三等差、等比數(shù)列的綜合問題已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；(2)求T2n.【解析】(1)∵an·an＋1＝，∴an＋1·an＋2＝，∴eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)，即an＋2＝eq\f(1,2)an.∵bn＝a2n＋a2n－1，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(1,2)所以{bn}是公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．∵a1＝1，a1·a2＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,2)?b1＝a1＋a2＝eq\f(3,2).∴bn＝eq\f(3,2)×＝eq\f(3,2n).(2)由(1)可知an＋2＝eq\f(1,2)an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝eq\f(1,2)為首項，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＝3－eq\f(3,2n).題型四數(shù)列與其他知識的交匯【題型要點】數(shù)列在中學(xué)教材中既有相對獨立性，又有較強的綜合性，很多數(shù)列問題一般轉(zhuǎn)化，特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基本運算與應(yīng)用．【例4】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a2016eq\o(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2016等于()A．1007B．1008C．2015D．2016【解析】∵A、B、C三點共線∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))∴eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))又∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1·eq\o(OA,\s\up6(→))＋a2016eq\o(OC,\s\up6(→))，∴a1＝1－λ，a2016＝λ∴a1＋a2016＝1∴S2016＝eq\f(2016a1＋a2016,2)＝1008，∴選B.【答案】B題組訓(xùn)練四數(shù)列與其他知識的交匯1．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D．－eq\f(\r(3),2)【解析】因為a3a4a5＝3π＝aeq\o\al(3,4)，所以a4＝3eq\f(π,3)，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq\o\al(7,4)＝7log33eq\f(π,3)＝eq\f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq\f(\r(3),2).【答案】B2．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項am，an使得eq\r(am·an)＝4a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(25,6) D.eq\f(4,3)【解析】由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(不合題意，舍去)，又由eq\r(am·an)＝4a1，得aman＝16aeq\o\al(2,1)，即aeq\o\al(2,1)2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)＝eq\f(1,6)＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4m,n)＝eq\f(n,m)，即n＝2m＝4時取得最小值eq\f(3,2).【答案】A3．艾薩克·牛頓(1643年1月4日－1727年3月31日)英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點時給出一個數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xn))滿足xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有兩個零點1,2，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xn))為牛頓數(shù)列，設(shè)an＝lneq\f(xn－2,xn－1)，已知a1＝2，xn>2，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式an＝________.【解析】∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有兩個零點1,2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2a，,b＝－3a.))∴f(x)＝ax2－3ax＋2a，則f′(x)＝2ax－3a.則xn＋1＝xn－eq\f(ax\o\al(2,n)－3axn＋2a,2axn－3a)＝xn－eq\f(x\o\al(2,n)－3xn＋2,2xn－3)＝eq\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)，∴eq\f(xn＋1－2,xn＋1－1)＝eq\f(\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)－2,\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)－1)＝eq\f(x\o\al(2,n)－2－22xn－3,x\o\al(2,n)－2－2xn－3)＝，則數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，又∵a1＝2，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝5，則數(shù)列{lgan}的前10項和等于()A．2 B．lg50C．10 D．5【解析】∵等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝5，∴a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∴數(shù)列{lgan}的前10項和S＝lga1＋lga2＋…＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5，故選D【答案】D2．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a3a5＝64，則a1＋a7的最小值為()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正項等比數(shù)列{an}中，∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，∴a1＋a7≥2eq\r(a1a7)＝2eq\r(64)＝2×8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a7＝8時取等號，∴a1＋a7的最小值為16，故選C.【答案】C3．一個等比數(shù)列的前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列的項數(shù)是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】設(shè)等比數(shù)列為{an}，其前n項積為Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，∵Tn＝a1a2…an，∴Teq\o\al(2,n)＝(a1a2…an)2＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，∴n＝12.【答案】B4．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項和Sn等于()A．n(3n－1) B.eq\f(nn＋3,2)C．n(n＋1) D.eq\f(n3n＋1,2)【解析】依題意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，選C.【答案】C5．記Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S12－S6,S6)－7·eq\f(S6－S3,S3)－8＝0，且正整數(shù)m，n滿足a1ama2n＝2aeq\o\al(3,5)，則eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值是()A.eq\f(15,7) B.eq\f(9,5)C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,5)【解析】∵{an}是等比數(shù)列，設(shè){an}的公比為q，∴eq\f(S12－S6,S6)＝q6，eq\f(S6－S3,S3)＝q3，∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)．又a1ama2n＝2aeq\o\al(3,5)，∴aeq\o\al(3,1)·2m＋2n－2＝2(a124)3＝aeq\o\al(3,1)213，∴m＋2n＝15，∴eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)＝eq\f(1,15)(m＋2n)＝eq\f(17＋\f(2n,m)＋\f(8m,n),15)≥eq\f(17＋2\r(\f(2n,m)×\f(8m,n)),15)＝eq\f(5,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2n,m)＝eq\f(8m,n)，即m＝3，n＝6時等號成立，∴eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值是eq\f(5,3)，故選C.【答案】C6．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是以a為首項，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))滿足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))為等比數(shù)列，則a＋b等于()A.eq\r(2)B．3C.eq\r(5) D．6【解析】由題意知，當(dāng)b＝1時，{cn}不是等比數(shù)列，所以b≠1.由an＝abn－1，則bn＝1＋eq\f(a1－bn,1－b)＝1＋eq\f(a,1－b)－eq\f(abn,1－b)，得cn＝2＋－eq\f(a,1－b)·eq\f(b1－bn,1－b)＝2－eq\f(ab,1－b2)＋eq\f(1－b＋a,1－b)n＋eq\f(abn＋1,1－b2)，要使eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))為等比數(shù)列，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\f(ab,1－b2)＝0，,\f(1－b＋a,1－b)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))a＋b＝3，故選B.【答案】B二、填空題7．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝n2·，其前n項和為Sn，則S30＝________.【解析】由題意可知，an＝n2·coseq\f(2nπ,3)，若n＝3k－2，則an＝(3k－2)2·＝eq\f(－9k2＋12k－4,2)(k∈N*)；若n＝3k－1，則an＝(3k－1)2·＝eq\f(－9k2＋6k－1,2)(k∈N*)；若n＝3k，則an＝(3k)2·1＝9k2(k∈N*)，∴a3k－2＋a3k－1＋a3k＝9k－eq\f(5,2)，k∈N*，∴S30＝eq\f(9－\f(5,2)＋90－\f(5,2),2)×10＝470.【答案】4708．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＝eq\f(2nan－1,an－1＋n－1)(n≥2，n∈N*)，則an＝________.【解析】由an＝eq\f(2nan－1,an－1＋n－1)，得eq\f(n,an)＝eq\f(n－1,2an－1)＋eq\f(1,2)，于是eq\f(n,an)－1＝eq\f(1,2)(n≥2，n∈N*)．又eq\f(1,a1)－1＝－eq\f(1,2)，∴數(shù)列是以－eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，故eq\f(n,an)－1＝－eq\f(1,2n)，∴an＝eq\f(n·2n,2n－1)(n∈N*)．【答案】eq\f(n·2n,2n－1)9．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？()A．8日B．9日C．12日 D．16日【解析】由題可知，良馬每日行程an構(gòu)成一個首項為103，公差13的等差數(shù)列，駑馬每日行程bn構(gòu)成一個首項為97，公差為－0.5的等差數(shù)列，則an＝103＋1