高等數(shù)學(xué)B-重修串講課件

16四月2024高等數(shù)學(xué)B重修串講一、映射與函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成,并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).不能表示為一個式子的分段函數(shù)不是初等函數(shù).見附錄附錄定義叫做冪函數(shù).函數(shù)由確定函數(shù)的定義域1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)定義叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)由確定函數(shù)的單調(diào)性3.對數(shù)函數(shù)定義叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),記作由確定函數(shù)的單調(diào)性常用三角函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)5.反三角函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)五種基本初等函數(shù)例1√P9例7P10例8例2解例3解相關(guān)練習(xí)題見P21T4及P22T15簡單函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過四則運算得到的函數(shù).例4解練習(xí)二、數(shù)列的極限直觀定義:若當(dāng)n無限增大時,xn無限接近于某一確定的數(shù)值a，就稱當(dāng)n

，{xn}的極限為a.(1).有界性【定理1】P28

收斂的數(shù)列必定有界.注意：有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.(2).唯一性【定理2】每個收斂的數(shù)列只有一個極限.(3).保號性(4).保序性2.收斂數(shù)列的性質(zhì)三、函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（二）自變量趨向有限值時函數(shù)的極限說明：左、右極限常用于考察分段函數(shù)在分段點處的極限.左極限:右極限:這是因為

例5

函數(shù)當(dāng)x

0時的極限不存在

一、選擇題練習(xí)（三）函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性：2.唯一性：若存在,則極限唯一。即若且則a=b【定理3】(局部保號性)3.局部保號推論1(保序性)（四）曲線的漸近線(1)鉛直漸近線例如有鉛直漸近線:再如有鉛直漸近線兩條:(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)小結(jié)過程時刻從此時刻以后

過程時刻從此時刻以后

四、無窮小與無窮大極限為零的函數(shù)稱為無窮小量；定理2在同一變化過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注:無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3無窮小與有界量的乘積是無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.定理5

在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.五、極限四則運算法則定理1三、求極限例題分析類型一滿足極限運算法則條件，可直接用法則；結(jié)論

當(dāng)0)(0=xQ且0)(01xP時,

￥=?)()(lim0xQxPxx.

當(dāng)Q(x0)

P(x0)

0時

約去分子分母的公因式(x

x0)

例6解解例7(消去零因子法)消去零因子法:

通過恒等變形消去不為0的無窮小因子在求極限類型二不能直接用法則，但經(jīng)適當(dāng)變形處理后能用法則；例8解(無窮小因子分出法)無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子分母,以分出無窮小,然后再求極限.解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例9類型三不能直接用法則，變形處理后也不能用法則；須利用無窮大無窮小的性質(zhì)求之。結(jié)論:注：結(jié)論中自變量的變化過程是趨向無窮大，而非趨于有限值x0.可當(dāng)公式使用！例10解左右極限存在且相等,類型四分段函數(shù)分段點的極限以下做法正確如否？為什么？

問答題

1.兩個準(zhǔn)則:2.兩個重要極限兩邊夾準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.六、極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限適用于由冪函數(shù)和三角函數(shù)構(gòu)成的分式函數(shù)或三角函數(shù)的分式函數(shù)，且在同一變化過程中，分子、分母的極限均為零的類型.無窮小的具體形式可以千變?nèi)f化！注：無窮小無窮小無窮小無窮小無窮大無窮大注：無窮小無窮小無窮大無窮大做題時必須通過恒等變換或變量代換化成此種類型，才能利用結(jié)論。例11解例12

解：例13解:例14解:例15解：原式＝一個很有用的結(jié)論定義形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)如何求冪指函數(shù)的極限呢？如果那么可以證明定義:七、無窮小的比較例16證常用等價無窮小:

等價無窮小代換定理意義

可以將式中復(fù)雜的無窮小因子代換成簡單的等價無窮小例17解：!!!不能濫用等價無窮小代換.!!!對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意：例18解：錯解：八、函數(shù)的連續(xù)性例19解:右連續(xù)但不左連續(xù),1.跳躍間斷點2.可去間斷點第一類間斷點

1.跳躍間斷點例20解:2.可去間斷點例21解:如例21中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點注意

可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷點處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.3.第二類間斷點例22解:例23解:重要題型！初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)做有限次的四則運算及復(fù)合運算依然連續(xù)，連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù).定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.定理5基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理1(最大值最小值定理)

在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界.根的存在性定理定理4

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例24證：由零點定理,例25證：由零點定理,建議同學(xué)們做一下下列課后練習(xí)題1.多項式與某些分式函數(shù)代入法求極限;2.消去零因子法求極限;3.無窮小因子分出法求極限（分子、分母同除以x的最高次冪）;4.無窮小運算性質(zhì)求極限;5.利用左右極限求分段函數(shù)