第21章一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的十一種應(yīng)用課件人教版數(shù)學(xué)九年級上冊提分法

第6招根與系數(shù)的關(guān)系的十一種應(yīng)用九年級數(shù)學(xué)（上）極速提分法已知關(guān)于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0，(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使方程的兩根x1，x2滿足

x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

例解題方法：1.對于二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的方程，當(dāng)方程未指明是一元二次方程或有兩個根時，必須將方程按二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況進(jìn)行分類討論；2.解答與一元二次方程有關(guān)的存在性問題，一般先假設(shè)存在，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于字母系數(shù)的方程，求出字母系數(shù)的值，再看它是否滿足根的判別式大于或等于零，最后確定字母值的存在性．解：(1)當(dāng)a＝5時，方程為－4x－1＝0，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)a≠5時，方程為一元二次方程，Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.∴a的取值范圍為a≥1.應(yīng)用1已知方程一根，求另一根及待定系數(shù)1.已知關(guān)于x的方程x2＋kx－6＝0的一根為2，求方程的另一根及k的值．

【點(diǎn)撥】利用根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立方程組求解即可．2.【2023·武漢】已知a，b是方程x2－3x－5＝0的兩根，則代數(shù)式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(

)A．－25

B．－24C．35D．36D應(yīng)用2已知方程，求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值【點(diǎn)撥】∵a，b是方程x2－3x－5＝0的兩根，∴a2－3a－5＝0，b2－3b－5＝0，a＋b＝3，∴a2－3a＝5，b2＝3b＋5，∴2a3－6a2＋b2＋7b＋1＝2a(a2－3a)＋3b＋5＋7b＋1＝10a＋10b＋6＝10(a＋b)＋6＝10×3＋6＝36.3.應(yīng)用3已知兩方程，求含兩未知數(shù)的代數(shù)式的值【點(diǎn)撥】應(yīng)用4已知方程，求字母系數(shù)的取值范圍4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍．

【點(diǎn)方法】本題容易忽略Δ≥0這個條件，做題時要注意方程有根的條件．5.已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實(shí)數(shù)根，且兩個根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．應(yīng)用5已知方程，求字母系數(shù)的值解：∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[2(m－2)]2－4×1×(m2＋4)≥0.解這個不等式，得m≤0.設(shè)方程兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4.∵x12＋x22－x1x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝21.∴[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21.整理得m2－16m－17＝0.解得m1＝－1，m2＝17.又∵m≤0，∴m＝－1.【點(diǎn)撥】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與兩根的積，代入(x1＋x2)2－3x1x2＝21得到關(guān)于m的一元二次方程，再解方程即可．本題易忽略Δ≥0這一條件．6.不解方程，判斷方程2x2＋3x－7＝0兩個根的符號．應(yīng)用6已知方程，判斷根的符號【點(diǎn)撥】7.已知－1和3是某個關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，且方程中二次項(xiàng)系數(shù)為1，請寫出這個方程．解：設(shè)這個方程為x2＋ax＋b＝0.由已知得－1＋3＝－a，－1×3＝b，∴a＝－2，b＝－3.∴這個方程為x2－2x－3＝0.應(yīng)用7已知兩根，求一元二次方程8.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＝6－y，z2＝xy－9.求證：x＝y(tǒng).應(yīng)用8結(jié)合根的判別式證明等式證明：由題意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y是關(guān)于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0①的兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，于是z＝0，從而Δ＝0.故方程①有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴x＝y(tǒng).9.應(yīng)用9結(jié)合根的判別式證明不等式證明：由題知bc＝a2－a＋1，b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a.于是b，c是關(guān)于t的一元二次方程t2－2at＋a2－a＋1＝0的兩個實(shí)數(shù)根．∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1.【點(diǎn)方法】本題關(guān)鍵是構(gòu)造以b，c為兩個實(shí)數(shù)根的一元二次方程，利用判別式Δ≥0即可證得a≥1.10.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－(2k－1)x＋k2＋1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；應(yīng)用10結(jié)合拋物線求字母的值【點(diǎn)方法】本題利用數(shù)形結(jié)合思想將拋物線與一元二次方程結(jié)合，利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．11.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，解得m≤4.應(yīng)用11結(jié)合一元二次方程求拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足5x1＋2x2＝2，求二次函數(shù)y＝x2－4x＋m的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離．解：∵方程的兩實(shí)