遼寧省朝陽市2023-2024學(xué)年高三年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023?2024學(xué)年上學(xué)期高三年級9月聯(lián)考卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案

標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫

的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.集合A={Rx(x-l)(x-2)=0},若BgA,則滿足條件的集合3的個數(shù)為()

A.4B.5C.7D.8

3

2.復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)是()

(2-i)i

63.63.「36.36.

A.-+—iB.---------1C.—iD.---------1

55555555

N1卜是“cosa>0”的(

3.“a||)

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)/(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/(x)=3x-l,則/(0)+/(4)=()

A.12B.-12C.13D.-13

5.(1-T)(x—y)6的展開式中公>2的系數(shù)為()

A.55B.60C.65D.70

6.為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的目

標，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x(單

-09+fcr

位：萬元)的Logistic模型：P(x)=」.已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為50%,

1+e

2

若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為(參考數(shù)據(jù)：e^4?-)()

3

A.30%B.40%C.60%D.70%

若函數(shù)/（幻=%-（5抽21+。豆11X在（-8,+8）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是（）

7.

一《1丄1

A.[-1,1]B.C.

393

8.已知拋物線G：y2=8x,圓G：（x—2）2+y2=],若點p,。分別在G、G上運動，且設(shè)點例（4,0）,

\PM\

則力的最小值為（)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（JTJT|

9.函數(shù)/（x）=2sin（Gx+?！皢?,一萬的部分圖象如圖所示，則（）

B./(x)=2sin[s+g

D./(x)=2cos[s+7丿

10.已知實數(shù)。，b,c,其中q>人>1,c>0,則下列關(guān)系中一定成立的是)

A.a1-hob1-acB.a3>h2

171

C.|6r-c|>|/?-c|D.ClH—>bT—

ab

11.已知函數(shù)/（x）=d-2x—2,則（）

A.八為有三個零點B.7（x）有兩個極值點

C.點（0,-2）是曲線）=/（外的對稱中心D.曲線）=/伏）有兩條過點（一1,0）的切線

—1,x<0,

12.設(shè)符號函數(shù)sgn(x)=?0,x=0,已知函數(shù)/(x)=［sgn(x+7)］sinx+cos(x+7r),則()

l,x>0,

A.兀0的最小正周期為2乃

B.危)在-2植上的值域為［一0,、歷］

71

c.yw在一肛-丁上單調(diào)遞減

D.函數(shù)g(x)=2〃x)—1在［-3肛2對上有5個零點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量”，〃的夾角為不，1。1=2，b丄(b-2a),則|〃|=

一a2-cosa

14.已知tan—=2,則------=.

2sine

八24

15.已知x>y>0,則廠+7----；的最小值為.

r2V21

16.如圖，已知橢圓。：F+會=l(a>Z?>0)的離心率為5,左頂點是A,左、右焦點分別是耳，F(xiàn)2,M

是。在第一象限內(nèi)的一點，直線加耳與C的另一個交點為N.若〃K〃4V,且鳥的周長為一。，則

6

直線MN的斜率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,/—3q=18,S4=S5.

(1)求｛可｝的通項公式;

(2)求使丄<1成立的〃的取值集合.

18.（本小題滿分12分）

某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：分鐘）.現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧

客的100輛車進行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組:（0,100],（100,200],（200,300],（300,400],（400,500],（500,

600],并整理得到如下頻率分布直方圖（顧客的停車時長均不超過600分鐘）；

（1）求a；

（2）若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為500,根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間（300,500]內(nèi)的

車輛數(shù)；

（3）為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標準，請你

根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.

19.（本小題滿分12分）

在△48C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a（sinA-J^sin8）=csinC-8sin3.

（1）求C的大?。?/p>

（2）若D為AB邊上一點,且AO=CD=2BD,求tanB的值.

20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面ABCO為正方形，側(cè)面以。是正三角形，側(cè)面

Q4D丄底面ABC。，M是PZ）的中點.

（2）求平面BPD與平面PCD夾角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（幻=嗎』，其中meR.

x+1

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若存在xe（l,+a））,使得不等式/（x）>lnx成立，求〃?的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）

22

設(shè)雙曲線C:5—與=1（4>0,。>0）的右焦點為凡a2+3*b2=1.。為坐標原點，過戶的直線/與。的右支

ab

相交于A,B兩點.

（1）若b〈2,求C的離心率e的取值范圍；

2

（2）若NA03恒為銳角，求。的實軸長的取值范圍.

2023?2024學(xué)年上學(xué)期高三年級9月聯(lián)考卷-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

1.DA={x\x（x-l）（x-2）=0}={0,1,2},因為5=4,所以滿足條件的集合3的個數(shù)為2?=8.故選

D.

2C因為亠=丄=3（?2i）=酒=3上其共匏復(fù)數(shù)是1+4i.故選C.

囚力（2—i）il+2i（l+2i）（l-2i）555

3.A若a則cosa>0成立，故充分性成立；若cose>0,則2攵乃一］<2v2匕T+cZ）,

（n7117T乃、

不一定為ae-萬,萬，故必要性不成立.所以“aw"是“cosa〉0”的充分不必要條件?故

乙乙,

選A.

4.C因為“X）為R上的奇函數(shù)，所以/（0）=0,”4）=—/（y）=13,所以/（0）+/（4）=13.故選C.

5.A因為（X—y）6的展開式的通項為乙|=C"6-r（一y）r=C［（—所以

（2x\厶2x

1——（x-y）6=（x-y）6一一（x-y）6,展開式中尤4y2的系數(shù)為c：（一庁一2C：（-廳=55.故選A.

Iy）y

-0.9+9&

6.B由題意得當(dāng)x=9時，P=50%,則5=50%,得e?9+“=i，所以9攵-0.9=0,得攵=0.1,

1+"9+1”1tH

2

-0.9+0.lx-0.9+0.1x5-0.4-

所以P（x）\+e即「當(dāng)、=5時，P（x）=i+e《=m=7^。方=40%.故選B，

14—

3

17

7.C函數(shù)/（九）=彳一§5m2工+411￥的導(dǎo)數(shù)為/'（司=1一個0$21+衣05］，由題意可得恒成立,

設(shè)7=8漢一1金41）,即有5-4/+3320,所以5-4+3。20,且5-4—3?！?,解得。的取值范圍是

一,故選C?

8.B如圖，設(shè)圓心為尸，則尸為拋物線丁=8x的焦點，該拋物線的準線方程為％=—2,設(shè)P（x,y）,由拋

??1尸加1,,

物線的定義得|PE|=x+2,要使曾最小，貝需最大，如圖,|PQ|最大時，經(jīng)過圓心尸，且圓口的

I

半徑為1,|PQl1ax=|PF|+l=x+3,且=J(X-4)2+/=J(x-43+8x=&+16,所以

\PM\ylx2+l6

.令x+3=(r23),則x=，-3,所以

國—x+3

1325\PM\

際〒=戸當(dāng)7=不’即時冒取得最小值

T1\TT57rTC57r57rTT

9.AC由圖象可知，一=-----r=7T,所以。=2,當(dāng)x=L時，一+e=—+2%不，keZ,

2121221262

S(p<g解得9=_(，所以/(x)=2sin12x_0J,又

K一2x)=2cos12x-5萬

/(x)=2sin2^--yj=2cos2cos.故選AC.

23~6

10.ABD對于A,(?2-bc^-ib1一公)=(/-b2^+(ac-bc)={a-b)(a+b+c)>0,故A正確；對于B,

因為標>巒，”2>/，所以/>〃，故B正確；對于c,當(dāng)a=3,h=2,c=5時，|a-d<M-c|,故

C錯誤；對于D,因為a+丄一仿+，］=（a-力）?色二>0,故D正確.故選ABD.

a\b）ab

11.BCD對于B"'(x)=3x2—2,令f'(x)>0,得x>乎或x<-乎；令y'(x)<0,得一手<x<手,

在(一￡，￥]上單調(diào)遞減，所以土逅是極值點，故B

所以/(X)在上單調(diào)遞增,

I33丿3

正確；對于A,由/(x)的單調(diào)性，知極大值/-2<0,又/(2)=2>0,所以函數(shù)/(“在

定義域上有且僅有一個零點，故A錯誤；對于C,令〃(x)=/-2x,該函數(shù)的定義域為R,

/z(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-h(x),則/z(x)是奇函數(shù)，(0,0)是/z(x)的對稱中心，將〃(x)的圖

象向下平移2個單位得到/(x)的圖象，所以點(0,—2)是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確；對于D,設(shè)

切點為(毛,%),尸(6=3/-2,則切線的斜率為3君-2,切線的方程為

y—x；+2/+2=(3片—2)(x—X。)，代入(―1,0),可得—xj+2xo+2=(3x：—2)(—1—/)，整理并解得

3

%=0或%=-5,則過點(一1,0)的切線有兩條，故D正確.故選BCD.

12.CD當(dāng)x<一7時，x+萬<0,sgn(x+萬)=-1,/(x)=-sinx-cosx=-V2sinx+—,當(dāng)x=一萬

時，尤+萬=0,sgn(x+〃)=0,/(x)=cos0=l,當(dāng)x>一萬時，x+〃>0,sgn(x+%)=l,

—V2sin(x+1),x<~K,

1,X=一心作出/(x)的部分圖象，如圖所

V2sin(%-—

由圖可知，/(x)不是周期函數(shù)，故A錯誤；由圖可知，〃x)在-2肛:上的值域為卜也,1],故B錯誤;

jr1

由圖可知，“X)在一肛一^上單調(diào)遞減，故C正確；令g(x)=2/(x)-l=o,得〃x)=2,由圖可知,

在［—3萬,2可上，/(x)的圖象與直線尸;只有5個交點，所以g(x)=2/(x)—1在［―3肛2句上有5個零

點，故D正確.故選CD.

13.2因為。丄僅—2a),所以〃.R—2a)"—2a/=(),a-b=^=^b^=2,所以

a-b2小

----------=-r=2

|,|71八1?

/?cos—2x

II32

2sin2+2cos2--Icos2--sin2a

13

14.因為tan4=2,貝IJCOSQHO,則生竺4=-------Z-----------------------Z---------1

T22sinaaa

2sin—cos—

22

22a與7a.

3sina+cos2^3tan2+1_3X22+1

213

.aaraT

2sin—cos—2tan2x2

222

X-*7-------72X+---------------ZT=廠+~5■

is.8y(x-y)y+(x-y)廠當(dāng)且僅當(dāng)丁二%一丁，即x=2y時，等號成立，又

x2+4^2j7x4=8,當(dāng)且僅當(dāng)》2=華，即x=2時，等號成立.綜上所述，當(dāng)x=2y=2時,

94

X+一7------；取得最小值8.

y[x-y）

16.叵因為橢圓C:[+[=1（〃＞萬＞0）的離心率為e=￡=丄，則。=丄。，又因為AN//MF,,即

7ab~a22

_1

,則=|N用==如一。="一］"=1,可得|AN|=丄|加用，加用=丄財用，

-22

\MF2\~\MFt\~\F,F2\~2ca~2

所以|AN|+|NK|=g(財用+財司)=&①,又因為|AN|+|N周+a+c=￡a,可得|4V|+|N6|=ga②,

又因為|M；|+|NE|=2a③，由①②③知|47|=三，|N￡|=等.在△A[N中，由余弦定理可得

124212

—QHQ”CL7r-T

COSNA耳N=4------_U_=>0,可得乙4耳N為銳角，則sinZAF,N=Ql-cos?NAFN=^―

2x—ax—a8

23

所以tan厶F、N=厶耳小=叵,即直線MN的斜率為巫.

1cosZA［N77

17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.

因為$4=55，所以為=0，則q=-4d.①

又因為%-3a3=18,所以4+74—3(4+24)=18,得一2弓+4=18,②

聯(lián)立①②，解得q=-8,d=2,

即數(shù)列｛4｝的通項公式為4=—8+(〃—l)x2=2"—10.

(2)由(1)知s“=—8〃+&』x2="2—9〃，所以之<1,即為￡一名<1,

"242n-10

當(dāng)〃<5時，—9〃>2〃-10，解得〃>10(舍)或"<1(舍)；

當(dāng)〃>5時，〃2一9〃〈2〃一10,解得所以5<〃vl0,

所以滿足條件的〃的取值集合為｛6,7,8,9｝.

18.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1,

可列等式為(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034+a)xl00=l,所以a=0.0003.

(2)樣本中停車時長在區(qū)間(300,500］內(nèi)的頻率為(0.0016+0.0003)x100=0.19,

所以估計該天停車時長在區(qū)間(300,500］內(nèi)的車輛數(shù)是500x0.19=95.

(3)設(shè)免費停車時間長不超過y分鐘，又因為(0,100］的頻率為0.13<30%,并且(0,200］的頻率為

0.45>30%,所以y位于(100,200］之間,

則0.13+(^—100)x0.0032=0.3,所以y153,

所以確定免費停車時長為153分鐘.

19.解：(1)因為夜sinB)=csinC-OsinB,

所以由正弦定理得/一cP+b2=y/2ab，

所以由余弦定理得cosC==1的=也，

2ab2ab2

又因為Ce(O,?),所以C=￡.

jr37r

(2)因為AD=C￡>,所以NAC0=A，NBCD=一一A,B=——A.

2BD

BDCD

在△38中，由正弦定理得

sin/BCDsinB

化簡得cosA=丄2sinA，即tanA=2.

223

/\tan_tanA_1—

所以tanfi=tan—-4]=-------------------=-----=-2.

14丿，3萬“，1

、J1+tan——tanA1——

43

20.(1)證明：在正方形ABCD中，CD1AD,

又側(cè)面PAD丄底面ABCD,側(cè)面PAD1底面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

所以8丄平面B4O，

又AMu平面PA￡＞，所以CD丄AM,

因為△%￡＞是正三角形，M是PO的中點，所以A"丄/Y),

又CD。PD=DCD,PDu平面PCD，所以A"丄平面PCD.

(2)解：取AO中點為O,8C中點為N,連接OP,QN,建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)AJD=2,

則A((),—1,0),0(0,1,0),產(chǎn)倒,0,⑹，5(2,-1,0),專

【22

所以PO=(0,1,-6),30=(—2,2,0).

設(shè)平面的法向量為加=(x,y,z),則

PDm=y->/3z=0,[y=Gz,

由<得<

BD-m=-2x+2y=0,[y=x,

取z=l，則/"=,

由(1)知平面PCO的一個法向量為AM=fo,±與

I22

設(shè)平面BPD與平面PCO的夾角為e,

?(AA/3,1)

則/,AM-m吟貝2月277.

cosg=COS(

Gxg73x77~^T

所以平面BPD與平面PC。夾角的余弦值為厶夕.

7

21.解：(1)/(x)的定義域為(―8,—1)(―1,+8),=?

(X'1丿

當(dāng)加=0時，/(x)=o無單調(diào)性；

當(dāng)機>0時，/'(》)>0對任意無?(—0,—1)(-1,+00)恒成立，

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1),(―1,+8)，無單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)機<0時，/'(x)<()對任意X€(F,-1)[(—1,+00)恒成立，

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,—1),(一1,+8)無單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)不等式/(x)>lnx,即〉山,則lnx/(\l)<0.

設(shè)/i(x)=Inx--------”,xe(l,+oo)依題意，存在/z(x)<0

2mx2+2(l-m)x+l

而〃(x)=丄一,/z⑴=0

(川)2X(X4-1)2

當(dāng)初40時，/2(x)>0在(1,+8)上恒成立，不滿足題意;

當(dāng)0<加42時，方程/+2(1-〃?)x+l=0的判別式A=4(l-團)2-4=4m(加一2)40,

即用'(力>0在(l,+oo)上恒成立，則/z(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增,

A(x)>A(l)=0,〃(x)>0在(l,+oo)上恒成立，不滿足題意;

*2

當(dāng)/〃>2時，令/z'（x）=O，得%]=m-1一，x2=m-\+