1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定-2022-2023學年高一數(shù)學上學期知識梳理考點精講精練(人教B版2019必修第一冊)(解析版)

第一章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定知識梳理1.命題的否定（1）命題的否定：一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作?p，讀作非p或p的否定.（2）如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定就應該是假命題.（3）如果一個命題是假命題，那么這個命題的否定就應該是真命題.2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定（1）一般地，存在量詞命題“?x∈M，p(x）"的否定是﹁p：?x∈M，?q(x).（2）一般地，全稱量詞命題"x∈M，q（x）”的否定是﹁p：?x∈M，?p(x).（3）結(jié)論：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。常見考點考點一全稱量詞命題的否定典例1．全稱量詞命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．以上都不正確【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即可得出結(jié)論.【詳解】全稱量詞命題“，”的否定為“，”.故選：C.變式1-1．命題“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將全稱命題否定為特稱命題即可【詳解】命題“”的否定是，故選：C變式1-2．設(shè)命題：，，則為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題：，，的否定為：，．故選：A．變式1-3．命題：“”的否定是（）A．不存在 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全程量詞命題的否定是存在量詞命題可得答案.【詳解】由題意命題“”是全稱命題，故它的否定是：．故選：C考點二特稱量詞命題的否定典例2．已知命題，，則是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定可知：，.故選：D.變式2-1．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題：“，”的否定為：“，”.故選：D.變式2-2．命題“x＞0，x2＞2x的否定是（）A．x0，x2＞2x B．?x0，x22xC．?x＞0，x22x D．x＞0，x2＜2x【答案】C【分析】根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，由此求解出結(jié)果.【詳解】變?yōu)椋姆穸?，所以原命題的否定為“，”，故選：C.變式2-3．設(shè)命題，則為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定是變量詞否結(jié)論即可求解.【詳解】命題，則為：，故選：C.考點三全稱命題與特稱命題的否定的寫法或真假判斷典例3．寫出下列命題的否定，并判斷真假．（1）正方形都是菱形；（2）x∈R，使4x-3>x；（3）?x∈R，有x+1=2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析（4）答案見解析【分析】根據(jù)命題的否定的概念，逐一寫出，并判斷真假即可.（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．（2）命題的否定：?x∈R，有4x-3≤x．因為當x=2時，4×2-3=5>2，所以“?x∈R，有4x-3≤x”是假命題．（3）命題的否定：x∈R，使x+1≠2x．因為當x=2時，x+1=2+1=3≠2×2，所以“x∈R，使x+1≠2x”是真命題．（4）命題的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命題．變式3-1．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．（1）?x∈R，x2>0；（2）x∈R，x2＝1；（3）x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；（4）等腰梯形的對角線垂直．【答案】答案見解析【分析】(1)根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得出其命題的否定，并取值可判斷命題的真假；(2)根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得出命題的否定，取值判斷命題的真假；(3)根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得出其命題的否定，并取值可判斷命題的真假；(4)根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得出其命題的否定，并由梯形的性質(zhì)可判斷命題的真假．【詳解】解：(1)命題的否定：x∈R，使x2≤0，因為x＝0時，02＝0，所以命題的否定為真．(2)命題的否定：?x∈R，使x2≠1，因為x＝1時，x2＝1，所以命題的否定為假．(3)命題的否定：?x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因為x＝1時，12－3×1＋2＝0，即x＝1為方程的根，所以命題的否定為假．(4)命題的否定：存在一個等腰梯形的對角線不垂直，命題的否定是真命題．變式3-2．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．（1）p：對于任意的x∈R，x2﹣x+1≥0；（2）q：至少有一個實數(shù)x，使x2﹣4＝0．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定結(jié)論即可得到結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知命題的否定：存在x0∈R，x2﹣x+1＜0，因為，所以x2﹣x+1＞0恒成立，故為假命題．（2）根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到命題的否定：，可知x＝±2時，命題不成立，該命題為假命題．變式3-3．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．（1）有些素數(shù)是奇數(shù)；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）不論m取何實數(shù)，方程都有實數(shù)根；（4），．【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的否定依次書寫每個命題的否定并判斷真假即可.【詳解】解：（1）所有素數(shù)都不是奇數(shù)，假命題；（2）有些矩形不是平行四邊形，假命題；（3）存在實數(shù)m，使得方程沒有實數(shù)根，真命題；（4）?，，假命題．【點睛】本題考查特稱命題與全稱命題的否定及真假判斷，是基礎(chǔ)題.鞏固練習練習一全稱量詞命題的否定1．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，改量詞，否結(jié)論即得【詳解】命題“，”的否定是“，”故選：B.2．已知命題：“，都有”，則命題的否定是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確選項.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論，所以C選項符合.故選：C3．命題“，都有”的否定是（）A．，使得 B．，都有C．，使得 D．，使得【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為命題“”是全稱命題，所以其否定為特稱命題“”.故選：D4．已知命題：，，那么命題為（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用全稱命題的否定解答即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題為：，.故選：C練習二特稱量詞命題的否定5．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可的解.【詳解】解：因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是，.故選：B.6．命題“，使得”的否定是（）A．，總有 B．，總有C．，使得 D．，使得【答案】A【分析】特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】因為命題“，使得”，所以其否定為“，總有”故選：．7．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題和全稱命題是互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.8．已知命題，，則是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可得.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可得是.故選：A.練習三全稱命題與特稱命題的否定的寫法或真假判斷9．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：（1）大于3的自然數(shù)是不等式的解；（2）存在有序整數(shù)組滿足；（3）任何一個四邊形的四個頂點都共圓（4）有的反比例函數(shù)的圖象與x軸有公共點.【答案】答案見詳解【分析】（1）由全稱命題的否定形式可得，，解不等式或，即可判斷真假；（2）由特稱命題的否定形式可得，由于有序整數(shù)組滿足，可判斷真假；（3）由全稱命題的否定形式可得，由于對角互補的四邊形才有外接圓，可判斷真假；（4）由特稱命題的否定形式可得，由于所有反比例函數(shù)都以x軸為漸近線，可判斷真假【詳解】（1）命題：大于3的自然數(shù)是不等式的解：存在大于3的自然數(shù)不是不等式的解由于或，故所有大于3的自然數(shù)都是不等式的解，故為假命題（2）命題：存在有序整數(shù)組滿足；：任意有序整數(shù)組都不滿足由于有序整數(shù)組滿足，故為假命題（3）命題：任何一個四邊形的四個頂點都共圓：存在四邊形的四個頂點不共圓由于對角互補的四邊形才有外接圓，故存在四邊形的四個頂點不共圓，故為真命題（4）命題：有的反比例函數(shù)的圖象與x軸有公共點：任意反比例函數(shù)的圖像與x軸都沒有公共點由于所有反比例函數(shù)都以x軸為漸近線，故任意反比例函數(shù)的圖像與x軸都沒有公共點，故為真命題10．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出它們的否定，并判斷它們的真假：（1）有的無限小數(shù)是有理數(shù)；（2）對任意的實數(shù)x，.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)存在量詞的命題判斷，并否定即可；（2）根據(jù)全稱命題的定義判斷，并否定即可.【詳解】解：（1）存在量詞命題,命題的否定是：所有的無限小數(shù)不是有理數(shù)，原命題為真命題，其否定為假命題；（2）全稱量詞命題，命題的否定為：存在實數(shù),,原命題為真命題，其否定為假命題；11．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．（1）?x∈R，x2>0；（2）?x∈R，x2＝1；（3）?x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；【答案】（1），，真命題；（2），，假命題；（3），不是方程的根，假命題.【分析】（1）根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得出答案，判斷真假即可；（2）根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得出答案，判斷真假即可；（3）根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得出答案，判斷真假即可；【詳解】解：（1），，因為當時，，所以命題的否定為真；（2），，因為當時，，所以命題的否定為假；（3），不是方程的根，因為當時，成立，所以命題的否定為假．12．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定，并判斷真假．（1）有一個奇數(shù)不能被3整除；（2），與3的和不等于0；（3