《第十七章 勾股定理》知識串講+熱考題型（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》本章知識綜合運用兩個概念兩個概念●●1、互逆命題：如果兩個命題題設(shè)、結(jié)論正好相反.那么這兩個命題叫做互逆命題.

如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.●●2、互逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.兩個定理兩個定理●●1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.應(yīng)用勾股定理可以解決下面的問題：（1）已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊長；（2）已知直角三角形的一邊，求兩邊的關(guān)系；（3）解決勾股定理構(gòu)造方程，解決實際問題.●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.我們把這個定理叫做勾股定理的逆定理.應(yīng)用勾股定理逆定理可以解決下面的問題：（1）判斷三角形的形狀；（2）證明線段的位置關(guān)系；（3）證明線段之間的數(shù)量關(guān)系.兩個應(yīng)用兩個應(yīng)用●●1、勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理可以解決和直角三角形有關(guān)的計算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題.常見的應(yīng)用類型為:（1）化非直角三角形為直角三角形；（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.●●2勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形．四種思想方法四種思想方法●●1、方程思想：在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.●●2、數(shù)學(xué)結(jié)合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），勾股定理的逆定理的是由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），得到這個三角形是直角三角形（形），二者相互結(jié)合，能使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，從而有效分析和解決問題.●●3、建模思想：運用勾股定理解決實際問題的實質(zhì)是將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后將已知和未知轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊，利用勾股定理求出直角三角形的邊，最后得出實際問題的解.●●4、分類討論思想：在研究三角形的高時，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長時也應(yīng)注意分類.題型一運用勾股定理求線段長題型一運用勾股定理求線段長【例題1】（2022秋?長春期末）已知三角形的兩邊分別為5和12，要使它是直角三角形，第三邊的長應(yīng)為．【分析】分兩種情況：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12時；當(dāng)直角三角形的斜邊長為12時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12時，∴第三邊的長=52當(dāng)直角三角形的斜邊長為12時，∴第三邊的長=1綜上所述：第三邊的長應(yīng)為13或119，故答案為：13或119．【點評】本題考查了勾股定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉勾股定理的作用是已知直角三角形的兩邊求第三邊，所以求直角三角形的邊長時應(yīng)該聯(lián)想到勾股定理.【變式1-1】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的長，再根據(jù)等面積法即可求出CD的長；（2）直接由勾股定理求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=AC∵CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC?BCAB（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=BCAD＝25﹣9＝16．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝6，求AB、BC的長．【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出CD、AB，計算即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AC＝6，∴AD=12AC＝根據(jù)勾股定理得DC＝33，在Rt△ADB中，∠B＝45°，∴AD＝BD＝3，根據(jù)勾股定理得AB＝32，∴BC＝BD+DC＝33+3∴AB＝32，BC＝33+3【點評】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線AD，把原三角形分成兩個直角三角形．【變式1-3】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．【分析】作輔助線BD，AD，根據(jù)直角△ABD和直角△ACD中關(guān)于AD的計算方程求AD，BD；AD即BC邊上的高．【解答】解：延長CB，作AD⊥BC，交CB的延長線于點D，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，即AD＝8，∵AD即BC邊上的高，∴BC邊上的高為8．答：BC邊上的高為8．【點評】本題考查了勾股定理的正確運用，設(shè)x、y兩個未知數(shù)，根據(jù)解直角△ADB和直角△ADC求得x、y的值是解題的關(guān)鍵．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】（2022秋?山亭區(qū)校級月考）如圖是用硬紙板做成的兩個直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗證（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根據(jù)圖形可知是梯形，再根據(jù)梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，列式整理即可證明．【解答】解：梯形的面積=12（a+b）（a+b）＝2×12×∴12（a2+2ab+b2）＝ab+12∴a2+b2＝c2；故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【變式2-1】（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A．B． C． D．【分析】用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【解答】解：A．根據(jù)圖形可知：S＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵S大正方形∴a2+b2＝c2；故A選項不符合題意；B．不能用于證明勾股定理，故B選項符合題意；C．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4×12×ab+c2＝2ab+S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C選項不符合題意；D．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝c2，S大正方形=12（b+b+a）×b+12（a+b+a）×a﹣2×12ab＝∴a2+b2＝c2，故D選項不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的證明及其應(yīng)用，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖所示是傳說中畢達哥拉斯證明勾股定理的一種方法，圖（1）中大正方形的面積為邊長分別為a，b的兩個小正方形面積和四個三角形面積的和，即大正方形的面積為：；圖（2）中大正方形的面積為邊長為c的正方形與四個直角三角形的面積的和，即大正方形的面積為：；因為圖（1）（2）中正方形的邊長為a+b，面積相等，所以＝，即．【分析】圖（1）中兩個正方形的面積分別為a2，b2，四個直角三角形的面積均為12ab．圖（2）中空白正方形的面積為c2，四個陰影直角三角形的面積都為12【解答】解：圖（1）中大正方形的面積為：a2+b2+4×12×a×b＝a2+b2+2ab＝（a+b圖（2）中大正方形的面積為：c2+4×12×a×b＝c2因為圖（1）（2）中正方形的邊長為a+b，面積相等，所以（a+b）2＝c2+2ab，所以a2+2ab+b2＝c2+2ab，即a2+b2＝c2．故答案為：（a+b）2，c2+2ab，（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法證明勾股定理．【變式2-3】（2021秋?朝陽區(qū)期末）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【嘗試探究】根據(jù)閱讀內(nèi)容，圖中梯形的面積分別可以表示為ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，即可證得a2+b2【定理應(yīng)用】分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=12（a+b）（b+a）＝ab+12（a2利用分割法，梯形的面積為S＝△ABC+S△ABE+SADE=12ab+12c2+12ab∴ab+12（a2+b2）＝ab+1∴a2+b2＝c2；【定理應(yīng)用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【點評】本題主要考查勾股定理的驗證，解題關(guān)鍵是利用面積相等建立等量關(guān)系，判定勾股定理成立．題型三趙爽弦圖的應(yīng)用題型三趙爽弦圖的應(yīng)用【例題3】（2022秋?萊陽市期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．64 C．49 D．25【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小正方形的邊長，即可得到小正方形的面積．【解答】解：由題意可得：小正方形的邊長=132-∴小正方形的面積為7×7＝49，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．常常利用勾股定理和完全平方公式來解決相關(guān)的求值問題.【變式3-1】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為20，則（a+b）2的值為．【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為（b﹣a），再根據(jù)四個直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解答】解：由圖可知，（b﹣a）2＝20，4×12ab＝60﹣20＝∴2ab＝40，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝20+2×40＝100．故答案為：100．【點評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，仔細觀察圖形利用小正方形的面積和直角三角形的面積得到兩個等式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2021秋?王益區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．若AB＝14cm，且AH：AE＝3：4，則AH＝cm．【分析】根據(jù)勾股定理得出AH與AE的值，進而解答即可．【解答】解：∵AB＝14，AH：AE＝3：4，設(shè)AH為3x，AE為4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝14，∴x=14∴AH=42故答案為：425【點評】此題考查勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?平度市校級月考）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中說法正確的結(jié)論有（填序號）．【分析】利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的邊長，利用勾股定理可判斷①，利用平方差公式可判斷②，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷③，利用①③可判斷④．【解答】解：∵大正方形面積為49，∴大正方形邊長為7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故說法①正確；∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長為2，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4，∴xy=45故說法②錯誤；∵大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和，∴4×12xy+4＝∴2xy+4＝49，故說法③正確；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94故說法④錯誤；故答案為：①③．【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長．【變式3-4】（2021秋?樂山期末）如圖，圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長是30，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．57 C．38 D．19【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：設(shè)AC＝AD＝x，則BD＝30﹣5﹣2x＝25﹣2x，∵BD2＝BC2+CD2，∴52+（2x）2＝（25﹣2x）2，∴x＝6，∴BD＝25﹣2x＝13，AD＝6，∴這個風(fēng)車的外圍周長是：（13+6）×4＝76．故選：A．【點評】此題考查了勾股定理的證明，本題是勾股定理在實際情況中的應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．題型四利用勾股定理求平面上兩點之間的距離題型四利用勾股定理求平面上兩點之間的距離【例題4】（2022春?天津期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，3）到原點的距離是（）A．4 B．10 C．22 D．無法確定【分析】利用勾股定理直接求解．【解答】解：由勾股定理得：PO=1故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的計算，屬于簡單題．解題技巧提煉(1)數(shù)軸上的兩點A，B，則AB=x2(2)兩點間的距離公式：設(shè)平面上任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），|P1P2|=(【變式4-1】（2022春?岳池縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，3）到原點的距離是．【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：∵點P的坐標(biāo)為（1，3），∴點P到原點的距離為：12故答案為：10．【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋?邢臺期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點距離為5，則m的值為．【分析】利用勾股定理列出方程，再解方程即可．【解答】解：點P（m﹣2，4）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是|m﹣2|、4，則由勾股定理，得（m﹣2）2+42＝52，解得：m＝5或﹣1．故答案為：5或﹣1．【點評】此題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．【變式4-3】已知點A（2，﹣1），點P在坐標(biāo)軸上，PA＝2，則P點坐標(biāo)為．【分析】當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P（x，0），根據(jù)兩點間的距離公式得到PA=(x-2)2+(0+1)2=2，求得P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2-3，0）；當(dāng)點P【解答】解：當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P（x，0），∵點A（2，﹣1），PA＝2，∴PA=(x-2)解得：x＝2±3，∴P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2-3，當(dāng)點P在y軸上時，P（0，﹣1），綜上所述，P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2-3，0）或（0，﹣故答案為：（2+3，0）或（2-3，0）或（0，﹣【點評】本題考查了勾股定理，兩點間的距離公式，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?古田縣期中）小亮在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在x軸上有兩個點它們的坐標(biāo)分別為（a，0）和（c，0）．則這兩個點所成的線段的長為|a﹣c|；同樣，若在y軸上的兩點坐標(biāo)分別為（0，b）和（0，d），則這兩個點所成的線段的長為|b﹣d|．如圖1，在直角坐標(biāo)系中的任意兩點P1，P2，其坐標(biāo)分別為（a，b）和（c，d），分別過這兩個點作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個直角三角形，其中直角邊P1Q＝|a﹣c|，P2Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：線段P1P2的長為(a-c)2根據(jù)上面材料，回答下面的問題：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（6，5），則線段AB的長為；（2）若點C在y軸上，點D的坐標(biāo)是（﹣3，0），且CD＝6，則點C的坐標(biāo)是；（3）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，3）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，求△ABC周長的最小值．【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式計算；（2）設(shè)C點坐標(biāo)為（0，b），根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出b，進而求出點C的坐標(biāo)；（3）作出點A關(guān)于y軸的對稱點A′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點A′的坐標(biāo)，連接A′B交y軸于點C，此時△ABC周長的最小，根據(jù)兩點間的距離公式求解．【解答】解：（1）∵A（2，2），B（6，5），∴AB=(6-2)故答案為：5；（2）設(shè)C點坐標(biāo)為（0，b），在Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，即（﹣3﹣0）2+（0﹣b）2＝62，解得：b＝±33，∴點C的坐標(biāo)為（0，33）或（0，﹣33），故答案為：（0，33）或（0，﹣33）；（3）如圖2，作A點關(guān)于y軸的對稱點為A′，則點A′的坐標(biāo)為（﹣1，4），連接A′B交y軸于點C，此時△ABC的周長最小，∵AC＝A′C，∴△ABC的周長＝AB+A'B，∵點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點A′的坐標(biāo)為（﹣1，4），∴AB=(1-3)2+(4-0)2=25，∴△ABC的周長的最小值為25+42【點評】本題為三角形綜合題，考查了勾股定理，兩點的距離公式，軸對稱的最短路徑問題，以閱讀理解的方式，逐次計算即可，此類題目難度適中．題型五利用勾股定理解決折疊問題題型五利用勾股定理解決折疊問題【例題5】（2021秋?南海區(qū)校級月考）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點F處，（1）求BD的長．（2）求AE的長．【分析】由折疊性質(zhì)得出DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，由勾股定理求出BD，求出BF，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x即可．【解答】解：（1）由折疊性質(zhì)可知：DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，AB＝12，由勾股定理得：BD=AD（2）∵BF＝BD﹣DF＝13﹣5＝8，設(shè)AE＝EF＝x，∴BE＝12﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2＝BE2，即x2+82＝（12﹣x）2，解得：x=10即AE=10【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)題意得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉關(guān)于折疊問題要緊扣折疊前后的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，其解題步驟為：（1）利用重合的圖形傳遞數(shù)據(jù).（2）選擇直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【變式5-1】（2022秋?丹東期末）如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，那么NB的長為（）A．3 B．83 C．4 D．【分析】由折疊知AN＝DN，BD＝2，設(shè)BN＝x，則AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，利用勾股定理列方程即可．【解答】解：∵使點A與BC的中點D重合，∴AN＝DN，BD＝2，設(shè)BN＝x，則AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，由勾股定理得，（6﹣x）2＝x2+22，解得x=8∴BN=8故選：B．【點評】本題主要考查了翻折變換，勾股定理等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，長方形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若AB＝6，BC=96，則DFA．2 B．4 C．6 D．12【分析】根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證得DF＝GF；設(shè)DF＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解答】解：∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，EF=EFED=EG∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF＝FG，設(shè)DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即(96解得：x＝4，即DF＝4；故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)；熟記矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春?任城區(qū)月考）如圖．在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點．將正方形紙片折疊．點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF．若AD＝4，求CF的長．【分析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25-4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用4﹣x【解答】解：設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝25根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，所以GE＝25-4在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25-4）2+x2在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（25-4）2+x2＝（4﹣x）2+22解得x＝25-2則FC＝4﹣x＝6﹣25．【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理．折疊問題主要是抓住折疊的不變量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．題型六利用勾股定理解決最短路徑問題題型六利用勾股定理解決最短路徑問題【例題6】（2021秋?中牟縣期末）如圖，一個無蓋的長方體盒子的長、寬、高分別為8cm、8cm、12cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞cB．螞蟻要爬行的最短路程是cm．【分析】將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案．【解答】解：如圖1所示：AB=122+1如圖2所示：AB=82+202故爬行的最短路程是20cm，故答案為：20．【點評】此題考查了兩點之間線段最短，解答時要進行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．2、幾何體表面上兩點間的最短路程的求法：將幾何體表面展開，將立體幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，然后利用“兩點之間，線段最短”確定路線，最后利用勾股定理計算.【變式6-1】（2022秋?龍口市期末）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）A．8km B．10km C．12km D．14km【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出P點位置，進而結(jié)合勾股定理得出即可．【解答】解：如圖所示：作A點關(guān)于直線MN的對稱點A'，再連接A'B，交直線MN于點P.則此時AP+PB最小，過點B作BE⊥CA延長線于點E，∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，∴AA'＝4km，則A′E＝6km，在Rt△A'EB中，A′B=62+8則AP+PB的最小值為：10km．故選：B．【點評】本題主要考查最短路徑、解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題．【變式6-2】（2022春?漢陰縣月考）如圖，若圓柱的底面周長是30cm，高是120cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞幾圈絲線到頂部B處做裝飾，則按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是cm．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，∵BE＝120cm，AC＝30×3＝90（cm），∴AB=1202+9答：按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是150cm．故答案為：150．【點評】本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式6-3】（2021秋?錦江區(qū)校級期末）在一個長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點A處到C處需要走的最短路程是米．【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答．【解答】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是AB+等腰直角三角形的兩腰，∴長為6+22+2+2﹣22=10（米）；寬為于是最短路徑為102+故答案為：229．【點評】本題主要考查平面展開﹣最短路徑問題，兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力．【變式6-4】（2022春?城廂區(qū)校級月考）如圖，圓柱形玻璃杯高為8cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底2cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）．【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，在直角△A′DB中，由勾股定理得，A′B=A'D2+D則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為15cm，故答案為：15．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．題型七用勾股定理探究規(guī)律題型七用勾股定理探究規(guī)律【例題7】（2021春?嵐山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長是2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為（）A．122018 B．122019 C．1【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分S1、S2、S3、S4的值，再由面積的變化即可找出變化規(guī)律“Sn＝4×（12）n﹣1”【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CE，∠CED＝90°，∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，∴DE=22即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的22∴S1＝22＝4＝4×（12）0S2＝（2×22）2＝2＝4×（12S3＝（2×22）2＝1＝4×（1S4＝（1×22）2=12=4×…，∴Sn＝4×（12）n﹣1∴S2021＝4×（12）2020＝（12）2018故選：A．【點評】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形面積的計算、規(guī)律型等知識，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“Sn＝4×（12）n﹣1”解題技巧提煉以某個基本圖形為背景的類推構(gòu)造直角三角形求值問題屢見不鮮.解答這類題目,有時需要我們根據(jù)勾股定理依次計算,然后探索其中隱含的規(guī)律并靈活利用這個規(guī)律.【變式7-1】（2022春?湖北期末）圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長度為整數(shù)的線段有（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】OA1＝1，根據(jù)勾股定理可得OA2=12+12=2，OA【解答】解：∵OA1＝1，∴由勾股定理可得OA2=1OA3=(…，∴OAn=n∴在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方數(shù)有1，4，9，16，∴在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長度為整數(shù)的線段有4條，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的靈活運用，本題中找到OAn=n【變式7-2】（2022秋?增城區(qū)期末）如圖，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB為直角邊，構(gòu)造Rt△OBC；再以CD＝1，OC為直角邊，構(gòu)造Rt△OCD；…，按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，點H到OI的距離是（）A．223 B．336 C．310【分析】根據(jù)勾股定理得OB=AO2+AB2=22+12=5，OC=O【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，根據(jù)勾股定理得OB=A在Rt△OBC，根據(jù)勾股定理得OC=O在Rt△OCD，根據(jù)勾股定理得OD=7按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，根據(jù)勾股定理得OI=12=2如圖，作HM⊥OI于點M，∴12OI?HM=12OH∴12×23×HM∴HM=33∴點H到OI的距離是336故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理和規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022春?通川區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1的坐標(biāo)為（﹣1，0），以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律進行下去，則點A2022的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019，再利用A1、A2、A3、…，每8個一循環(huán)，再回到x軸的負半軸的特點可得到點A2020在第一象限，即可確定點A2020【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在x軸的負半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二個等腰直角三角形OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019∵A1、A2、A3、…，每8個一循環(huán)，再回到x軸的負半軸，2022＝8×252+6，∴點A2022在第四象限，∵OA2022＝（2）2021，∴點A2022的橫坐標(biāo)為：22×（2）2021＝21010，縱坐標(biāo)為﹣2故答案為：（21010，﹣21010）．【點評】本題考查了規(guī)律型：點的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)：等腰直角三角形的兩底角都等于45°；斜邊等于直角邊的2倍．也考查了直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征．【變式7-4】細心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：12+1＝2，S1=12，(2)2+1＝3，S2=22，（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．（2）推算出OA10的長．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，（2）結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出，（3）將前10個三角形面積相加，利用數(shù)據(jù)的特殊性即可求出．【解答】解：（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：OAn2＝n；Sn=n（2）∵OAn2＝n，∴OA10=10（3）S12+S2=1=1+2+3+4+?+100=5050【點評】本題主要考查勾股定理以及作圖的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的知識，此題難度不大．題型八題型八勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例題8】（2021秋?蘭州期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=85cm，D是腰BA延長線上一點，連接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理求出AC，再求出△ABC的周長即可．【解答】解：（1）△BDC是直角三角形，理由是：∵BC＝85cm，BD＝16cm，CD＝8cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，即（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10，∴AB＝AC＝10（cm），∵BC＝85cm，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝10+10+85=（20+85）（cm故△ABC的周長是（20+85）cm．【點評】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形.【變式8-1】甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，兩人從同一地點同時出發(fā)，甲、乙兩位探險者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達A，B點，若A，B兩點的直線距離為10km，甲探險者沿著北偏東30°的方向行走，則乙探險者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏東60° D．南偏西60°【分析】根據(jù)題意得到OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵甲、乙兩位探險者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達A，B點，∴OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），∵AB＝10km，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵甲探險者沿著北偏東30°的方向行走，∴乙探險者的行走方向可能是南偏東60°，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角，正確地判斷出∠AOB＝90°是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022春?辛集市期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義以及直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵DE⊥AC于點E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中線，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵點F是邊AB的中點，∴DF=1【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)與判定，熟記勾股定理與逆定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-3】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，請你判定△BEF的形狀，并說明理由．【分析】根據(jù)勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【解答】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，∴BE2+EF2＝BF2，∴∠BEF＝90°，即△BEF是直角三角形．【點評】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出BE2+EF2＝BF2，注意：一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形，難度適中．【變式8-4】（2021秋?榆林期末）2021年12月12日是西安事變85周年紀(jì)念日，西安事變及其和平解決在中國社會發(fā)展中占有重要的歷史地位，為中國社會的發(fā)展起到了無可替代的作用．為此，某社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動，如圖，有一塊三角形空地ABC，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，△BCD區(qū)域擺放花草，陰影部分陳列有關(guān)西安事變的歷史圖片，現(xiàn)測得AB＝20米，AC＝105米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°．（1）求BC的長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD＝6米，CD＝8米，∠BDC＝90°，∴BC=BD2答：BC的長為10米；（2）∵AB＝20米，AC＝105米，BC＝10米，∴AB2+BC2＝202+102＝（105）2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90，∴S陰影＝S△ABC﹣S△BCD=12AB?BC-12BD?CD=12【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．題型九利用勾股定理的逆定理進行證明或計算題型九利用勾股定理的逆定理進行證明或計算【例題9】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6．求證：BA⊥AD．【分析】延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，根據(jù)SAS推出△ADC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝AC＝13，求出AB2+AE2＝BE2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出即可．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵BC邊上的中線AD＝6，∴AE＝12，BD＝DC，在△ADC和△EDB中，AD=DE∠∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝13，∵AB2+AE2＝52+122＝169，BE2＝132＝169，∴AB2+AE2＝BE2，∴∠BAE＝90°，∴BA⊥AD．解題技巧提煉當(dāng)所給的已知條件相對分散時，可以考慮添加輔助線將分散的條件集中在一起，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理的運用．【變式9-1】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，CD＝6，AD＝25，若AC⊥BC，求證：AD∥BC．【分析】在△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出AC⊥CD，再根據(jù)平行線的判定即可求解．【解答】證明：在△ABC中AC⊥BC，根據(jù)勾股定理：AC2＝AB2﹣BC2＝52﹣32＝16，∵在△ACD中，AC2+AD2＝16+20＝36，CD2＝36，∴AC2+AD2＝CD2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，△ACD為直角三角形，∴AC⊥CD，∴AD∥BC．【點評】本題考查平行線的判定、勾股定理與其逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【變式9-2】（2022秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則∠BAC+∠DAC＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′A′，B′D，則∠BAC＝∠B′AC．證明△AB′D是等腰直角三角形，得出∠B′AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．【解答】解：如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′A′，B′D，則∠BAC＝∠B′AC．∵AB′2＝12+32＝10，B′D2＝12+32＝10，AD2＝42+22＝20，∴AB′＝B′D，AB′2+B′D2＝AD2，∴△AB′D是等腰直角三角形，∴∠B′AD＝45°，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′AC+∠DAC＝∠B′AD＝45°．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線證明△AB′D是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，則∠BAD＝【分析】根據(jù)勾股定理可求AC，根據(jù)勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求∠DAC，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1∴AC=B∵AD＝CD＝1，12+12＝（2）2，AD2+CD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理等知識．【變式9-4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度數(shù)．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，則△CPD為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PD＝2PC＝22，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝22，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PBD為直角三角形，即可得到∠BPC的度數(shù)．【解答】解：如圖，把△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，連接DP，∵△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，∴△CPD為等腰直角三角形，∴PD＝2PC＝22，∠CPD＝45°，在△PDB中，PB＝1，PD＝22，DB＝3，而12+（22）2＝32，∴PB2+PD2＝BD2，∴△PBD為直角三角形，∴∠DPB＝90°，∴∠BPC＝45°+90°＝135°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理的運用．題型十方程思想在勾股定理中的應(yīng)用題型十方程思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題10】如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．（1）作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD，則CD＝；（2）分別在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的長，再計算△ABC的面積．【分析】作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理可得132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，計算出x的值，再由勾股定理求出AD的長即可得出三角形ABC的面積．【解答】解：（1）作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，故答案為：14﹣x；（2）在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9；（3）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=AC∴S△ABC=【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.【變式10-1】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點B為圓心，BD長為半徑畫弧，交線段BC于點E．若BD＝CE，則AC的長為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【分析】設(shè)AC＝AD＝xcm，根據(jù)BD=CE=BE=12BC=8cm，在Rt【解答】解：設(shè)AC＝AD＝xcm，∵BD＝CE，BD＝BE，∴BD=CE=BE=1在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ABC為直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2，解得：x＝12，即AC＝12cm，故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出BD＝8cm，進而表示出AB的長．【變式10-2】（2022秋?龍崗區(qū)期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）m．A．212 B．152 C．6 D【分析】設(shè)繩長為xm，再根據(jù)直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)繩長為x米，在Rt△ADC中，AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，DC＝6m，AC＝x米，∴AB2+DC2＝AC2，根據(jù)題意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，解得：x=15∴繩索AC的長是152故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握勾股定理，運用勾股定理解決問題．【變式10-3】（2022秋?萊西市期中）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，DE是BC的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E．（1）判定△ABC的形狀，并說明理由；（2）求AE的長．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可證明△ABC是直角三角形；（2）連接EC，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC＝EB，設(shè)AE＝x，則BE＝EC＝12﹣x，再在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+92＝（12﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，而92+122＝152，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）連接EC，如圖，∵DE是BC的垂直平分線，∴EC＝EB，設(shè)AE＝x，則BE＝EC＝12﹣x，在Rt△ACE中，x2+92＝（12﹣x）2，解得x=21即AE的長為218【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．題型十一分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用題型十一分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題11】（2022秋?南京期末）如圖，已知點P是射線OM上一動點（P不與B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝時，△OAP是等腰三角形．【分析】分三種情況，當(dāng)OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP時，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：當(dāng)△AOP為等腰三角形時，分三種情況：①如圖，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP=2②如圖，OA＝OP＝2；③如圖，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP=AO2綜上所述，OP的長為2或2或22．故答案為：2或2或22．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉在研究三角形的高時，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長時也應(yīng)注意分類.【變式11-1】（2022秋?和平區(qū)校級期中）已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（）A．12 B．7+7 C．12或7+7 【分析】先設(shè)Rt△ABC的第三邊長為x，由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論．【解答】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長為x，①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，由勾股定理得，x＝5，此時這個三角形的周長＝3+4+5＝12；②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，由勾股定理得，x=7，此時這個三角形的周長＝7+故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．【變式11-2】設(shè)計師要用四條線段CA，AB，BD，DC首尾相接組成如圖所示的兩個直角三角形圖案，∠C與∠D為直角，已知其中三條線段的長度分別為1cm，9cm，5cm，第四條長為xcm，試求出所有符合條件的x的值．【分析】顯然AB是四條線段中最長的線段，分AB＝x或AB＝9兩種情況來討論．【解答】解：顯然AB是四條線段中最長的線段，分AB＝x或AB＝9兩種情況來討論．把AB平移至ED（如圖所示）．①若AB＝x，當(dāng)CD＝9時，則x=9當(dāng)CD＝5時，則x=5當(dāng)CD＝1時，則x=1②若AB＝9，當(dāng)CD＝5時，由（x+1）2+52＝92，得x=214當(dāng)CD＝1時，由（x+5）2+12＝92，得x=45當(dāng)CD＝x時，由x2+（1+5）2＝92，得x=35【點評】本題考查勾股定理的知識，解題關(guān)鍵是分AB＝x或AB＝9兩種情況進行討論，注意不要漏解．【變式11-3】（2021秋?洪洞縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為ts．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值．【分析】（1）由勾股定理求解即可；（2）①由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)∠APB＝90°時，點P與點C重合，則BP＝BC＝4cm，得t＝4；②當(dāng)∠BAP＝90°時，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2-A（2）由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)∠APB＝90°時，如圖1所示：點P與點C重合，∴BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②當(dāng)∠BAP＝90°時，如圖2所示：則CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，解得：t=25綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時，t的值為4s或254s【點評】本題考查了勾股定理以及分類討論；熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式11-4】（2022秋?二道區(qū)校級期末）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割．（1）已知M、N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB＝30，AM＝5，求BN的長．【分析】（1）由AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，可得AM2+NB2＝MN2，根據(jù)勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，再根據(jù)線段勾股分割點的定義即可判斷；（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當(dāng)MN為最長線段時，依題意MN2＝AM2+NB2，②當(dāng)BN為最長線段時，依題意BN2＝AM2+MN2，分別列出方程即可解決問題．【解答】解：（1）點M、N是線段AB的勾股分割點．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，∴點M、N是線段AB的勾股分割點；（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30﹣AM﹣BN＝25﹣x，①當(dāng)MN為最長線段時，依題意MN2＝AM2+NB2，即（25﹣x）2＝x2+25，解得x＝12；②當(dāng)BN為最長線段時，依題意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（25﹣x）2，解得x＝13．綜上所述，BN＝12或13．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是理解新定義，學(xué)會分類討論，注意不能漏解，屬于中考常考題型．題型十二綜合壓軸探究題題型十二綜合壓軸探究題【例題12】（2022秋?萊西市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若點P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時t的值；（3）在運動過程中，當(dāng)t＝值時，△ACP為等腰三角形（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）利用勾股定理計算；（2）P點只能在AC邊上，設(shè)CP＝a，再做PD⊥AB與D，PD＝a，根據(jù)等面積，列方程，求出a，再計算t；（3）讀懂題意，可以發(fā)現(xiàn)，在整個運動過程中有兩個時間點使得△ACP為等腰三角形，分情況計算t的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC2＝AB2﹣BC2＝25﹣16＝9，∴AC＝3cm，故答案為：3；（2）根據(jù)題意可知，P點在AC邊上，再做PD⊥AB與D，設(shè)CP＝a，∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，由（1）得AC＝3cm，∴PD＝a，∴S△ABP+S△PBC＝S△ABC，∴12AB?DP+12BC?CP=1∴12×5×a+12×解得a=4∴t=AB+BC+CP∴此時t的值316（3）在整個運動過程中有兩個時間點使得△ACP為等腰三角形，點P在AB上時，此時AP＝AC＝3cm，t=AP點P在BC上時，此時PC＝AC＝3cm，t=AB+BP2綜上所述，當(dāng)t=32或3秒時，△故答案為：32或3【點評】本題考查了三角形中動點的問題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，等腰三角形的判斷，三角形的面積．解題技巧提煉勾股定理的綜合壓軸探究題主要是勾股定理在動點問題中的應(yīng)用，有時要對問題進行分情況討論探究，考查學(xué)生綜合運用知識的能力，有一定的難度.【變式12-1】（2022春?蜀山區(qū)校級期中）我們規(guī)定，三角形任意兩邊的“致真值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差．如圖1，在△ABC中，AO是BC邊上的中線，AB與AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可記為AB?AC＝OA2﹣BO2．（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB?AC＝81，求AC的值．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB?AC，BA?BC的值．（3）如圖3，在△ABC中，AO是BC邊上的中線，S△ABC＝24，AC＝8，AB?AC＝﹣64，求BC和AB的長．【分析】（1）根據(jù)勾股定理，利用新定義即可得出結(jié)論；（2）取BC的中點O，連接AO，求出OB＝63，則可求出AB?AC，取AC的中點D，連接BD，過點B作BE⊥AC交CA的延長線于點E，求出BE，BD，則可求出BA?BC的值；（3）作BD⊥CD，根據(jù)三角形ABC的面積求出BD＝6，求出OC，BC的長，再求出CD和AD的長，則可求出答案．【解答】解：（1）如圖1，AO是BC邊上的中線，∵∠ACB＝90°，∴AO2﹣OC2＝AC2，∵AB?AC＝81，∴AO2﹣OC2＝81，∴AC2＝81，∴AC＝9；（2）①如圖2，取BC的中點O，連接AO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，在Rt△AOB中，∴OB=AB2∴AB?AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72；②如圖3，取AC的中點D，連接BD，∴AD＝CD=12AC＝過點B作BE⊥AC交CA的延長線于點E，∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝12，∴AE＝6，∴BE=AB2∴DE＝AD+AE＝12，∴BD=BE2∴BA?BC＝BD2﹣CD2=(67)（3）作BD⊥CD，如圖4，∵S△ABC＝24，AC＝8，∴BD=2×248∵AB?AC＝﹣64，AO是BC邊上的中線，∴AO2﹣OC2＝﹣64，∴OC2﹣AO2＝64，又∵AC2＝82＝64，∴OC2﹣AO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴OA＝2×S△ABC∴OC=A∴BC＝2OC＝273，在Rt△BCD中，CD=BC∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8＝8，∴AB=AD【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的運用．【變式12-2】（2022秋?長春期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點．其中點P從點A出發(fā)，沿A→B方向運動，速度為每秒lcm；點Q從點B出發(fā)，沿B→C→A方向運動，速度為每秒2cm；兩點同時開始運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）①Rt△ABC斜邊AC上的高為；②當(dāng)t＝3時，PQ的長為