4.3 坐標平面內圖形的軸對稱和平移（解析版）

4.3坐標平面內圖形的軸對稱和平移1.會求與已知點關于坐標軸對稱的點的坐標；會求已知點平移后所得對應點的坐標.2.會利用關于坐標軸對稱的兩個對稱點的坐標關系，求作軸對稱圖形；會利用平移后對應點之間的坐標關系，分析已知圖形的平移變換.知識點一對稱點的坐標特征如圖所示，在直角坐標系中，點P(a,b)點P(a,b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b),即關于原點對稱的兩點橫、縱坐標分別互為相反數(shù).即學即練在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：點關于x軸對稱的點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．知識點二坐標平面內圖形的軸對稱圖形的軸對稱與在平面直角坐標系中點的軸對稱一致，它是借助平面直角坐標系進行的一種圖形的基本變換.圖形沿x軸翻折后得到的新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；圖形沿y軸翻折后得到的新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù).一是“方向”;二是“距離”.要特別注意中心位置的確定注意：（1）用方向和距離確定平面上點的位置時，要先選擇參照物，再根據(jù)物體相對于參照物的方向和距離來表示.（2）“方向和距離”定位法是生活中常用的方法，運用此法必須具備兩個數(shù)據(jù)：一是方向；二是距離.即學即練在平面直角坐標系xOy中，的位置如圖所示．（1）分別寫出各個頂點的坐標（2）分別寫出頂點A關于x軸對稱的點的坐標、頂點B關于y軸對稱的點的坐標及頂點C關于原點對稱的點的坐標；（3）求的面積．【答案】（1）A(-4，3)，B(3，0)，C(-2，5)；（2）(-4，-3)，(-3，0)，(2，-5)；（3）10．【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系中，點的位置，直接寫出坐標，即可；（2）根據(jù)點關于x軸，y軸，原點對稱，點的坐標特征，即可求解；（3）根據(jù)割補法，即可求出答案．【詳解】（1）由題意得：A(-4，3)，B(3，0)，C(-2，5)；（2）∵頂點A關于x軸對稱的點是∴(-4，-3)，∵頂點B關于y軸對稱的點是，∴(-3，0)，∵頂點C關于原點對稱的點是，∴(2，-5)；（3）的面積=5×7-×3×7-×2×2-×5×5=10．

【點睛】本題主要考查圖形與點的坐標，掌握關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標特征，是解題的關鍵．知識點三用坐標表示圖形的平移坐標平面內圖形平移的基本方法有兩種：①沿x軸左右平移；②沿y軸上下平移.左右平移：上下平移：規(guī)律總結：“上加下減，左減右加”；縱坐標變化，上下平移；橫坐標變化，左右平移.在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減)一個正數(shù)a,那么相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位后的圖形；如果把一個圖形各個點的縱坐標都加(或減)一個正數(shù)a,那么相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位后的圖形.平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小、形狀.即學即練把點先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得點的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)坐標的平移特點即可求解．【詳解】解：點先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得點的坐標為故答案為：【點睛】此題主要考查坐標的平移，解題的關鍵是熟知坐標的平移特點．題型1求點沿x軸、y軸平移后的坐標例1把點向左平移個單位，所得的點的坐標為()A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了坐標與圖形變化—平移；根據(jù)點的平移：左減右加，上加下減解答可得．【詳解】解：把點向左平移個單位，所得的點的坐標為．故選：C．舉一反三1點向右平移1個單位后所得點的坐標是．【答案】【分析】把所給點的橫坐標加1，縱坐標不變即可得到所求點的坐標．【詳解】解：由題意平移后，所求點的橫坐標為；縱坐標不變；∴將點向右平移1個單位后所得點的坐標是．故答案是：．【點睛】考查圖形的平移變換，關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變，平移變換是中考的?？键c，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．舉一反三2①若，則，；②一個角的補角大于這個角；③兩直線平行，同位角相等；④有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等；⑤點P坐標為，將其先向右平移6個單位，再向下平移8個單位，得到點，坐標為．其中是真命題的有．【答案】③⑤/【分析】利用實數(shù)的性質、補角的定義、平行線的性質、全等三角形的判定方法及點的坐標平移規(guī)律等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①若，則，或，，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；②一個角的補角不一定大于這個角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③兩直線平行，同位角相等，正確，是真命題，符合題意；④有兩邊及其夾對角對應相等的兩個三角形全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；⑤點P坐標為，將其先向右平移6個單位，再向下平移8個單位，得到點，坐標為，正確，是真命題，不符合題意；綜上分析可知，真命題有③⑤．故答案為：③⑤．【點睛】本題主要考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解有關的定義及性質，難度不大．題型2由平移方式確定點的坐標例2將點先向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得所得到的點的坐標為，再解即可．【詳解】解：將點向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度所得到的點坐標為，即，故選：D．【點睛】本題考查了點的平移規(guī)律，解題關鍵是掌握平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．舉一反三1如圖，已知點，若將線段平移至，其中點，則的值為（

）

A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)，兩點的坐標可得出平移的方向和距離進而解決問題．【詳解】解：線段由線段平移得到，且，，，，．故選：B．【點睛】本題考查坐標與圖象的變化，解題的關鍵是熟知平移過程中圖象上的每一個點的平移方向和距離均相同．舉一反三2如圖，正方形中，，相交于點M（M為、的中點），頂點A、B、C的坐標分別為、、，規(guī)定“把正方形先沿x軸翻折，再向右平移1個單位為一次變換”，則連續(xù)經過2023次變換后，點M的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查翻折變換，掌握對稱與平移的性質是解題的關鍵；由正方形，頂點，根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的對角線交點的對應點的坐標，可得規(guī)律：第次變換后的點的對應點的坐標為：當為奇數(shù)時為，當為偶數(shù)時為，求得把正方形連續(xù)經過2023次這樣的變換得到正方形的對角線交點的坐標．【詳解】解：∵正方形，頂點，∴對角線交點的坐標為，根據(jù)題意得：第1次變換后的點的對應點的坐標為，即，第2次變換后的點的對應點的坐標為：，即，第3次變換后的點的對應點的坐標為，即，第次變換后的點的對應點的坐標為：當為奇數(shù)時為，當為偶數(shù)時為，∴連續(xù)經過2023次變換后，正方形的對角線交點的坐標變?yōu)椋蔬x：D．題型3已知點平移前后的坐標，判斷平移方式例3如圖，把平移得到，若頂點的對應點的坐標為，則頂點的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)點A的對應點，得出平移方式，求出點的坐標即可．【詳解】解：∵頂點的對應點的坐標為，∴點A向右平移2個單位得到點，∴的對應點的坐標為，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了平移，解題的關鍵是根據(jù)對應點坐標確定平移方式．舉一反三1在平面直角坐標系中，點平移后與原來的位置關于軸對稱，則應把點（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向下平移個單位 D．向上平移個單位【答案】D【分析】關于軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，根據(jù)平移前后對應點的坐標進行計算即可.【詳解】∵點平移后能與原來的位置關于軸對稱，∴平移后的坐標為∵縱坐標增大∴點是向上平移得到，平移距離為故選：D.【點睛】此題主要考查坐標平移的性質，熟練掌握，即可解題.舉一反三2在平面直角坐標系中，的頂點A坐標是，經平移后，得到其對應點，若的內部任意一點D坐標是，則其對應點坐標一定是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由點A的平移得到平移方式，再根據(jù)平移方式得到答案即可【詳解】∵的頂點A坐標是，經平移后，得到其對應點，、∴平移方式為向左平移2個單位，向上平移5個單位，∴的內部任意一點D坐標是，則其對應點坐標一定是．故選：C【點睛】此題考查了坐標系中的平移，找到平移方式是解題的關鍵．舉一反三3如圖，已知A，B的坐標分別為，，將沿x軸正方向平移，使B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由B可得，進而得到，即將沿x軸正方向平移1個單位得到，然后將A向右平移1個單位得到C，最后根據(jù)平移法則即可解答．【詳解】解：∵B∴∵∴∴將沿x軸正方向平移1個單位得到∴點C是將A向右平移1個單位得到的∴點C是的坐標是，即．故選A．【點睛】本題主要考查了圖形的平移、根據(jù)平移方式確定坐標等知識點，根據(jù)題意得到將沿x軸正方向平移1個單位得到是解答本題的關鍵．舉一反三4在平面直角坐標系中，將三角形各點的縱坐標都減去3，橫坐標保持不變，所得圖形與原圖形相比（

）A．向右平移了3個單位 B．向左平移了3個單位C．向上平移了3個單位 D．向下平移了3個單位【答案】D【分析】根據(jù)向下平移，縱坐標相減，橫坐標不變解答．【詳解】∵將三角形各點的縱坐標都減去3，橫坐標保持不變，∴所得圖形與原圖形相比向下平移了3個單位．故選D.【點睛】本題考查了坐標與圖形的變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．題型4已知圖形的平移，求點的坐標例4如圖，在平面直角坐標系中第二象限內，頂點A的坐標是，先把向右平移4個單位得到，再作關于x軸對稱圖形，則頂點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平移性質得，再根據(jù)關于x軸對稱圖形性質得.【詳解】∵將向右平移4個單位得，∴的橫坐標為；縱坐標不變?yōu)?；∵關于x軸對稱圖形，∴的橫坐標為2，縱坐標為；∴點的坐標是，故選B.【點睛】本題考查平移和軸對稱,掌握平移和軸對稱的坐標變化規(guī)律解題即可.舉一反三1如圖，點，點，線段平移后得到線段，若點，點，則的值是（

）

A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】由，，，，可得，，計算求解，然后代入求值即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，解得，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標的平移，代數(shù)式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．舉一反三2如圖，將線段AB平移到線段CD的位置，則a+b的值為（

）A．4 B．0 C．3 D．﹣5【答案】A【分析】利用坐標平移的變化規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：由題意，線段AB向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到線段CD，∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，∴a+b＝4，故選：A．【點睛】本題考查平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握坐標平移的變化規(guī)律，屬于中考?？碱}型．舉一反三3如圖，點的坐標分別為，，將沿軸向右平移，得到，已知，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x軸向右平移了3個單位長度，再利用平移問題點的坐標變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵點B的坐標為（4，0），∴OB=4，∵DB=1，∴OD=3，∴△AOB沿x軸向右平移了3個單位長度，∴點C的坐標為：（1+3，2）即（4，2）．故答案為：D．【點睛】此題主要考查了坐標系中點、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．題型5已知平移后的坐標求原坐標例5平面直角坐標系中，點坐標是，則點關于軸對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了關于軸對稱的點的坐標特征，平面直角坐標系中，關于軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，由此即可得到答案，熟練掌握關于軸對稱點的坐標特點是解此題的關鍵．【詳解】解：點坐標是，則點關于軸對稱點的坐標是，故選：B．舉一反三1在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，若點的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了關于軸對稱的點的特征，理解平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系是解題關鍵．關于軸對稱的兩個點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，若點的坐標為，則點的坐標為．故選：B．舉一反三2已知點M的坐標是，則M關于y軸的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查關于y軸對稱點的坐標，根據(jù)“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”即可得解．【詳解】已知點M的坐標是，則M關于y軸的對稱點的坐標是．故選：B．舉一反三3已知點與關于x軸對稱，則a，b分別為（

）A．3， B．， C．3，4 D．3，4【答案】A【分析】本題考查平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系，解題的關鍵是根據(jù)平面直角坐標系中任意一點，分別關于軸的對稱點的坐標是，關于軸的對稱點的坐標是作答．【詳解】解：∵點與關于x軸對稱，∴，，故選A．一、單選題1．（2022上·浙江紹興·八年級校考階段練習）點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】直接利用第二象限內點的符號特點進而得出答案．【詳解】解：點（-3，2）所在的象限是第二象限．故選：B．【點睛】此題主要考查了點的坐標，正確記憶各象限內點的坐標符號是解題關鍵．2．（北京市海淀區(qū)西三旗2020-2021學年八年級上學期期中數(shù)學試題）點關于x軸對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點坐標關于x軸對稱的變換規(guī)律即可得．【詳解】點坐標關于x軸對稱的變換規(guī)律：橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，則點關于x軸對稱的點的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標關于x軸對稱的變換規(guī)律，熟練掌握點坐標關于x軸對稱的變換規(guī)律是解題關鍵．3．（2022上·浙江寧波·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點與點關于軸成軸對稱，則和的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即可得出答案．【詳解】解：∵點與點關于軸成軸對稱，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號關系是解題關鍵．4．（2022上·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，已知正方形的對角線，相交于點M，頂點A、B、C的坐標分別為、、，規(guī)定“把正方形先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經過2022次變換后，點M的坐標變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方形的性質可得點M坐標，由折疊性質和平移性質可得點M的變化規(guī)律，即可求解．【詳解】∵正方形的頂點A，B，C分別是，∴正方形的對角線的交點M的坐標為，∵把正方形先沿軸翻折，再向右平移個單位”為一次變換，∴第一次變換后M的坐標為，第二次變換后的坐標，第三次變換后的坐標，第四次變換后的坐標，可發(fā)現(xiàn)第n次后，當n為偶數(shù)，點M的坐標為，∴連續(xù)經過第2022次時，點M的坐標為，故坐標為．故選A．【點睛】本題主要考查了規(guī)律性點的坐標，準確分析是解題的關鍵．5．（2022上·浙江溫州·八年級樂清外國語學校?？茧A段練習）將點向下平移2個單位，再向右平移3個單位得到點，則的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點左右平移橫坐標相加減，上下平移縱坐標相加減的平移規(guī)律進行求解即可．【詳解】解：將點向下平移2個單位，再向右平移3個單位得到點，則的坐標是，即，故選B．【點睛】本題主要考查了點的坐標平移規(guī)律，熟知點坐標的平移規(guī)律是解題的關鍵．6．（2022上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點為M，那么點M關于y軸的對稱點N的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)關于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵點關于x軸對稱的點為M，∴點M的坐標為，∴點關于y軸的對稱點N的坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，熟練掌握關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．二、填空題7．（2022上·浙江紹興·八年級?？茧A段練習）已知點P到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為7，且點P在第三象限，則點P的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)點的坐標到坐標軸的距離及點的坐標在象限中的特征可進行求解．【詳解】解：由點P到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為7可知：點P的橫坐標可能為，點P的縱坐標可能為，∵點P在第三象限，∴點P的坐標為；故答案為．【點睛】本題主要考查點的坐標到坐標軸的距離及象限中點的坐標，熟練掌握點的坐標在象限中的符號特點是解題的關鍵．8．（2022上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考階段練習）如果點關于軸的對稱點為，則點的坐標為．【答案】【分析】關于x軸對稱的兩點的坐標關系：橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)．【詳解】解：由題意得：點P的坐標為故答案為：【點睛】本題考查關于x軸對稱的兩點的坐標關系．熟記相關結論即可．9．（2022上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，關于直線m對稱，直線m與x軸交點為，點C的坐標為，則點B的坐標為．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出關于直線m對稱，即關于直線對稱，進而求出答案．【詳解】關于直線m對稱，關于直線m對稱，即關于直線對稱，設，，，，則點B的坐標為，故答案為．【點睛】此題考查了坐標與圖形的變化，得出關于直線m對稱是解題的關鍵．10．（2022上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤魧⑾蛏掀揭?個單位得B，且A與B關于x軸對稱，則．【答案】【分析】根據(jù)平移得到點B的坐標，再根據(jù)A與B關于x軸對稱得到關于b的方程，求得b的值即可．【詳解】解：∵向上平移4個單位得B，∴B的坐標是，∵A與B關于x軸對稱，∴，解得，故答案為：【點睛】此題考查平移和關于坐標軸的軸對稱，熟練掌握點的坐標的變化規(guī)律是解題的關鍵．11．（2022下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）的三個頂點坐標分別是，，，將平移后得到，其中，，則點的坐標是．【答案】【分析】利用平移變換的性質求出平移得到的路徑，即可求出答案．【詳解】解：由題意向上平移3個單位，再向左平移一個單位得到，．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形的變化—平移，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握平移的性質．三、解答題12．（2022上·浙江紹興·八年級校考階段練習）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）直接寫出點A，B，C的坐標；（2）將△ABC沿一定方向平移后，點A的對應點A′的坐標為（2，0），請寫出點B，C的對應點B′，C′的坐標，并作出平移后的△A′B′C′；（3）求出△A′B′C′的面積．【答