2021-2022學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，

選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上.]

1.4和9的比例中項(xiàng)是（）

,1681

A.6B.+6C.—D.—

94

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義：如果存在a、b、c三個(gè)數(shù)，滿(mǎn)足a:b=O:c,那么b就交租ac的比例中項(xiàng),

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)4和9的比例中項(xiàng)為x,

4:x=x:9,

x=±6,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求比例中項(xiàng)，熟知比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1:4,那么它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為（）

A.1:4B.1:2C.1:16D.1:72

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可得到答案.

【詳解】解：：兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4,

兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4,

.??它們的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解.（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.（2）相似三角形面

積的比等于相似比的平方.（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3.已知是非零向量，下列條件中不能判定a〃〃的是（）

A.a=-bB.a=3bC

2同=同

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)a〃b的條件是a與6的方向相同或相反進(jìn)行求解即可.

r1「

【詳解】解：A、?.?a=]b,...a與/，的方向相同，...a〃b，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、?；a=36，a與人的方向相同，...a〃b，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由卜|=歸|,只能說(shuō)明a與匕的長(zhǎng)度相同，并不能得到a與。的方向相同或相反，...不能得到a〃/,,故

此選項(xiàng)符合題意；

D、?..a=gc,b=-2c，?,工=-4：，與。的方向相反，〃匕，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的條件，熟知兩個(gè)向量平行的條件是方向相同或相反是解題的關(guān)鍵.

4.Rt.ABC中，NC=90，若BC=2,AC=3,下列各式中正確的是（）

2222

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=—

3333

【答案】C

【解析】

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理分別求解，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：/C=90，BC=2,AC=3,

AB=V13.

B.cosA=A&=之竺，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AB13

C.tanA=---=—,故此選項(xiàng)正確；

AC3

AC3

D.cotA=—故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

BC2

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

5.如圖，點(diǎn)。、￡分別在AA8C的邊A3、AC上，下列各比例式不一定能推得QE〃8c的是（）

ADAEADDEcABACADAE

L.-------------=--------------c.---=---

BDCEBDCE~AB~~AC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，可得答案.

AnAP

【詳解】解：A、???——=——，，DE〃BC,不符合題意;

BDCE

DE

B、由——=——，不一定能推出DE〃BC,符合題意；

ABBC

c、???2—=A0C，，DE〃BC,不符合題意；

BDCE

ADAE

D、---=----，；.DE〃BC,不符合題懸.

ABAC

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，理解對(duì)應(yīng)線段是解答此題的關(guān)鍵.

6.二次函數(shù)y=or2+/JX+C的圖像如圖所示，那么點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置、開(kāi)口方向、與y軸的交點(diǎn)的位置即可判斷出a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而求出P\b-

的符號(hào).

【詳解】由函數(shù)圖像可得：

?..拋物線開(kāi)口向上，

.*.a>0,

又?.,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，

/.--—>0,

2a

.\b<0,

又?..圖象與y軸交于負(fù)半軸，

.\c<0,

<0

c

尸（。，一）在第三象限

故選：c

【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)y=ax?+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定.根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置、開(kāi)口方向、與y軸的交點(diǎn)的位置

判斷出a、b、c的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）

x2x-y

7.計(jì)算：如果一=彳，那么一=_________

y3y

【答案】—

3

【解析】

工22

【分析】根據(jù)一=彳，可得x=—y，再代入即可求解.

y33

x2

【詳解】解：???一=：7,

y3

2

x=—y，

3

2

x-y_V.,__2.

〒—y-3

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

An2

8.如圖，已知〃石戶(hù)它們分別交直線4,2于點(diǎn)尸和點(diǎn)民C,E,如果南=§,BE=20,

那么線段BC的長(zhǎng)是

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得.

【詳解】解：ABCD\EF,

.BCA。2

"~CE~~DF~3'

3

:.CE=-BC,

2

QBC+CE=BE=2U,

:.-BC+BC^20,

2

解得3c=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.

9.如圖，D,E分別是_ABC的邊BAC4延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DE//BC,E4:AC=1:2,如果

那么向量8C=（用向量d表示）.

【答案】2G

【解析】

【分析】由O￡〃8C,54:4。=1:2可得丫兩：V8C4且相似比為1：2,故DE：BC=1：2,又因?yàn)锽C

和ED方向相同，故8C=2Er>=2a.

【詳解】VDE//BC

：.ADEA^ZBCA,/EDA=4CBA

7DEA:7BCA

又：EA:AC=l:2

故Zkg和VBC4相似比為1：2

則DE：BC=1：2

故BC=2ED=2a

故答案為：2d.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和向量.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.數(shù)乘向量：實(shí)數(shù)2

和向量d的乘積是一個(gè)向量，記作4”，且2a的長(zhǎng)"aR/U|a|.

10.在Rt.ABC中，ZC=90，如果任=走，那么N3=

AB2

【答案】60°##60度

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值，即可求解.

Ar

【詳解】解：在RQABC中，ZC=90，sinB=——,

AB

..AC百

?-------，

AB2

..R

??sinB——,

2

；?ZB=60°.

故答案為：60°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

11.已知一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的部分是下降的，該拋物戰(zhàn)的表達(dá)式可以是—

(寫(xiě)出一個(gè)即可).

【答案】y=-x2+l

【解析】

【分析】首先根據(jù)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分是下降確定其開(kāi)口方向，然后根據(jù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)確定解析式即可.

【詳解】解：?.?在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分是下降，

設(shè)拋物線的解析式可以為y=-x2+b,

?.?經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,

解析式可以是y=-/+l,

故答案為：y-x2+l.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的增減性相反是解題的關(guān)鍵，即根據(jù)增

減性可以確定出開(kāi)口方向進(jìn)而確定出a的符號(hào).

12.如果拋物線y=+法-1的對(duì)稱(chēng)軸是>軸，那么頂點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】（0,-1）

【解析】

【分析】由題意知尤=--=0，即可解得拋物線為y=-爐一I,將X=0代入即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo).

2a

【詳解】y=--+以一1中a=T,b=b

bb

故龍=----=-----7--r=0

乂2a2x（-1）

解得b=0

故拋物線為y=—Y—l

將x=0代入丁=一/一1有

y=-O2—1=-1

故頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,-1）

故答案為：（0,-1）.

b

【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=-一，與y軸的

2a

交點(diǎn)為（0,c）.

13.已知某小山坡的坡長(zhǎng)為400米、山坡的高度為200米，那么該山坡的坡度，=

【答案】1：上

【解析】

【分析】根據(jù)坡度的定義，求出水平距離，求山坡的高度與水平距離的比即可.

【詳解】解：由勾股定理可知山坡的水平距離為：,4002-20()2=200K米,

200「

六坡度『麗萬(wàn)=1：日

故答案為：1：石.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，明確坡度是山坡的高度

與水平距離的比.

14.如圖，qABC是邊長(zhǎng)為3等邊三角形，2E分別是邊5cAe上的點(diǎn)，ZADE=60，如果80=1，

那么C￡=

【答案】|2

【解析】

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出NB=NC=60°,證明△ABDS^DCE,由相似三角形的性質(zhì)得出

絲=些則可求出答案.

DCCE

【詳解】解：：.ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,

AZB=ZC=6Q°,AB=BC=AC=3,

ZBAD+Z5ZM=120°,

ZADE=60，

AZBZM+Z￡DC=120°,

AZBAD=ZEDC,

：.^ABDZDCE,

.ABBD

"~DC~'CE'

,/BD=1,

:.CD=BC—BD=2,

.31

??——=---,

2CE

2

CE=—，

3

故答案為：|2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在Rt_ABC中，NAC8=90,CO是A3邊上的中線，CO=5,BC=6,則cosNAC。的值是

4

【答案】1##0.8

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB=2CD=10,CD=AD,然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義

列式求出/A的余弦值，即為cosNACD的值.

【詳解】解：；CD是AB邊上的中線，ZACB=90°,

.".AB=2CD=10,CD=AD,

ZACD=ZA,AC=J102_62=8,

AC84

cosZACD=coaZA=-----~~?=一,

AB105

4

AcosZACD的值為

4

故答案為：—?

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，

等邊對(duì)等角的性質(zhì)，求出NA=/ACD是解本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在..ABC中，中線AZ),8E相交于點(diǎn)。，如果的面積是4,那么四邊形OECO的面積是

A

E

O

C

BD

【答案】8

【解

【分析】如圖所示，連接DE,先推出DE是△ABC的中位線，得到。后二』/18屈〃48,即可證明4八8064口￡0,

2

OEDE1

△CDE0°ACBA,得到六￡=————，從而推出S4A8O=8,即可得到S/UBC=2S25E=24,再由

OBAB2

2

S/^DEO_DE|=-,即可得至IJSAOEO=2,由^￡=DE|=~?得至U%CQE=6，則

~AB

S&ABOAB4%IBC

S四邊形OECO=^ADEO+S4CDE=8?

【詳解】解：如圖所示，連接DE,

VAD,BE分別是BC,AC邊上的中線,

...D、E分別是BC、AC的中點(diǎn),

ADE是AABC的中位線,

ADE=-AB9DE/7AB,

2

.".△ABO^ADEO,ACDE^ACBA,

OEDE_I

~OB~~AB~2

S&ABO_B°一2

S&AOEEO

,?=8,

S&ABE=S&ABO+=,

??S&ABC=2s&8E=24

2

DE

，

S^ABO~AB4

??2,

?！鰿DEDE

S^ABC~AB14

,,S4CDE~6>

S四邊形OECD=$叢DEO+*^ACD￡=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條

件是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在AABC中，AB=4,AC=5,將aABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在

點(diǎn)E處，如果點(diǎn)E恰好在線段BD的延長(zhǎng)線上，那么邊BC的長(zhǎng)等于

【答案】小

【解析】

【分析】如圖所示,連接CE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4,BC=DE,NBCD=NDEA,AE=AC=5,則CD=A5AD=1,

然后證明△BDCs^ADE,得到生=T,即變=」一,則5。2=5,由此即可得到答案.

AEDE5BC

詳解】解：如圖所示，連接CE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4,BODE,ZBCD=ZDEA,AE=AC=5,

.,.CD=AC-AD=1

XVZBDC=ZADE,

.".△BDC^AADE,

.BCDC叩8J1

AEDE5BC

???BC,=5,

:.BC=yB(負(fù)值已經(jīng)舍去),

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解

題的關(guān)鍵.

18.若拋物線必=以2+4》+6的頂點(diǎn)為A,拋物線上=-以2+優(yōu)》+。2的頂點(diǎn)為B,且滿(mǎn)足頂點(diǎn)A在拋

物線上，頂點(diǎn)B在拋物線,上，則稱(chēng)拋物線口與拋物線%互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，已知頂點(diǎn)為M的拋物

線y=(x-2)2+3與頂點(diǎn)為N的拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，直線MN與％軸正半軸交于點(diǎn)D,如果

3

tanZMDO=那么頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為

4

557

【答案】y=-U--)2+—

416

【解析】

yM3

【分析】設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)N為(a,b),由題意可知?；|二『即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,

\XM一4

0),則有直線MD解析式為y=-：(x-6),因?yàn)镹點(diǎn)過(guò)直線MD,N點(diǎn)也過(guò)拋物線y=(x—2)：+3,故有

5

CI——

b-——(?-6)4557

4,解得，二,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(一，—),可設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為

,57416

/?=(“-2-3b=—

16

y^a(x--5)2,+—57,又因?yàn)镸點(diǎn)過(guò)y=a(x-52),2+5—7,即可解得a=-l,故頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為

416416

【詳解】設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)N為(a,b)

已知拋物線y=(x-2p+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,3)

3

,/tanZMDO=-

3

4

33

即即產(chǎn)

解得巧,=2±4

直線MN與x軸正半軸交于點(diǎn)D

；.D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)

則直線MD解析式為y=-g(x-6)

N點(diǎn)在直線MDy=-1(x-6)上，N點(diǎn)也在拋物線y=(x-2)2+3

,3

b=——(a—6)

故有，4

〃=(a-2),3

h-a2-4a+l

3Q

聯(lián)立得_e。_==儲(chǔ)_4。+7

42

,135

化簡(jiǎn)得/一上a+2=0

42

解得a=1■或a=2(舍)

4

539

將a=巳代入匕=己。一‘有

442

5

解得《4

57

16

557

故N點(diǎn)坐標(biāo)為（一，—）

416

5o57

則頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為y=a（x一一）2+—

416

5、57

將（2,3）代入y=a（x-）-+—有

416

957

化簡(jiǎn)得3=口+二

1616

解得a=T

5,57

故頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為y=-（%--）2+—

416

5,57

故答案為：y=—（X—/H----.

416

【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用.理解題意所述“關(guān)聯(lián)拋物線”的特點(diǎn)，

即若拋物線必=依2+）/+。的頂點(diǎn)為A,拋物線內(nèi)=-?2+4%+。2的頂點(diǎn)為B,且滿(mǎn)足頂點(diǎn)A在拋物

線內(nèi)上，頂點(diǎn)B在拋物線弘上是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）

19.計(jì)算：-+cot245-sin245.

2cos30

【答案】-

6

【解析】

【分析】先將特殊角銳角三角函數(shù)值代入，再化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：tan3°+cot245-sin245

2cos30

5

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)

鍵.

20.已知二次函數(shù)y=x2+Ar+c的圖像經(jīng)過(guò)4(2,—3),3(5,0)兩點(diǎn)

(1)求二次函數(shù)的解析式：

(2)將該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+機(jī)『+后的形式，并寫(xiě)出該二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)

和對(duì)稱(chēng)軸

【答案】(1)y=x2-6x+5

(2)y=(x—3)2—4,二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,T),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3

【解析】

【分析】(1)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解得Ac的值，表達(dá)二次函數(shù)的解析式；

(2)將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方寫(xiě)成頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一加,攵)，對(duì)稱(chēng)軸為直線X=

【小問(wèn)1詳解】

解：將從(2,-3),8(5,0)代入y=+c

>'-3=2r+2b+c

有4

0=52+5。+。

b=-6

解得1「

c=5

二二次函數(shù)的解析式為y=/-6x+5.

【小問(wèn)2詳解】

解：y=x2-6x+5=(x-3)--4

y=(x-3)--4

.?.a=l>(),二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,T)；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的不同表達(dá)方式與函數(shù)圖像.解題的關(guān)鍵在于正確表示解析式的形式.

4/7AD

21.己知：如圖，在工ABC中，DE//BC,——=——

DFDB

A

EF4

（2）如果而=5,AO=15,求。尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3

【解析】

An4/74/7AFAFAF

【分析】（1）根據(jù)DE〃BC,可得=—,從而得到——=——，進(jìn)而得到——=——，可證得

DBECDFECADAC

△AEF^AACD,從而得到/AFE=NADC,即可求證；

4/7FF4

（2）根據(jù)△AEFsaACD,可得一=—=一，從而得到AF=12,即可求解.

ADCD5

【小問(wèn)1詳解】

證明：.；DE〃BC,

.ADAE

??___一__，

DBEC

_AFAD

,~DF~~DB'

.AF_AE

"~DF~~EC'

.AFAE

??___一___，

ADAC

；/A=NA,

.".△AEF^AACD,

ZAFE-ZADC,

，EF〃CD；

【小問(wèn)2詳解】

“EF4

VAAAEF^AACD,—=-,

CD5

.AF_EF4

??茄一而一二’

VAD=15，

.,.AF=12,

；.DF=AD-AF=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行分線段成比例，相

似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.已知：如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,過(guò)點(diǎn)。作。E〃BC,分別交AC、AB點(diǎn)、E、F，

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

ABDFAB

【分析】（1）根據(jù)DF〃BC,得——=——，由AB-AF=DF?BC,得——=——，NAFE=ZDFA,可證^AEFs△DAF,

EFBCAFBC

即可得答案；

2

（2）根據(jù)AB〃CD,得D匕E=￡F：F,由AF/=二DF-,得D生F=￡FF一，再證四邊形DFBC是平行四邊形，得

CDAFEFAFCD1DF

DE2EF

,最后根據(jù)DF〃BC,即可得答案.

CD7-DF

【小問(wèn)1詳解】

解:VDF//BC,

,AFFE

??----=-----，

ABBC

.AFAB

VABAF=DFBC,

.DFAB

??=，

AFBC

?AF_DF

??一,

EFAF

VZAFE=ZDFA,

.".△AEF^ADAF,

AZAEF=ZDAF；

【小問(wèn)2詳解】

VAB//CD,

.DECD

.DEEF

,,CD-AF)

,,AFDF

.EFAF

.DE2EFAFEF

??----------=--------X---------=---------，

CD2AFDFDF

VDF//BC,AB//CD,

四邊形DFBC是平行四邊形，

.\DF=BC,

.DE2EFEF

VDF//BC,

.AFEF

.AF__DE2

"~AB~CD2'

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，做題的

關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

23.如圖，在東西方向的海岸線1上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN,在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一

觀測(cè)站0,現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站。的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站。相距60千米的小島A處有艘輪船開(kāi)始航

行駛向港口MN.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站0的正北方向，且與觀測(cè)站0相距30千米的B處.

（1）求AB兩地的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：sin37°

=0.60,cos37°=0.80,tan37=0.75）

【答案】（1）186

（2）不能，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作ACLOB于點(diǎn)C.可知aABC為直角三角形.根據(jù)勾股定理解答.

（2）延長(zhǎng)AB交1于D,比較0D與OM、0N的大小即可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)點(diǎn)A作AC±OB于點(diǎn)C.

由題意，得MN=1,OM=58,ZAOB=37°,0A=60,0B=30

AC=sinZAOB3=sin37?6()=36,OC=cosZAOB3=cos37?60=48

/.BC=OC-OB=18

AB=\lAC2+BC2=V362+182=18石

【小問(wèn)2詳解】

如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸

延長(zhǎng)AB交1于D,

VAC/70D

.ABCDBO

.ACBC

"~OD~~OB

3618

——=--,解得OD=60

OD30

VMN=1,0M=58

???0N=59

/.OM<ON<OD

/.如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力.計(jì)

算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線卜=以2-3公-4<7("0)與工軸交于4(-1,()),3兩點(diǎn)與〉軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/與BC交于點(diǎn)D,與x軸交于點(diǎn)E.

(2)如果AlD=w，求拋物線y=以2-3ox-4“(a<0)的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，且在線段BC的下方，/CFB=/BCO,求

點(diǎn)F的坐標(biāo)

【答案】(1)對(duì)稱(chēng)軸是x=1.5,B(4,0)

1,3

(2)y=『H—x+2

22

(3)F(—,——)

22

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)拋物線的性質(zhì)，可求出對(duì)稱(chēng)軸，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)二次函數(shù)的軸平行于對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)平行線分線段成比例用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，=—,可表示的縱

坐標(biāo)，然后把的橫坐標(biāo)代入可得到關(guān)于的方程，求出的值，即可得答案；

(3)先證△BCFS/\BFD,得BF?=BD?BC,則BE'+EF'BD^BC,可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?二次函數(shù)

.“Sa=b-3a3

,?對(duì)稱(chēng)軸ZEX=------=-------=—=1.5，

2a2a2

：(-1,0),

/l+l.5=2.5,

1.5+2.5=4,

,?(4,0)；

【小問(wèn)2詳解】

.?二次函數(shù)在軸上，

??的橫坐標(biāo)是0,縱坐標(biāo)是Y,

??軸平行于對(duì)稱(chēng)軸，

.DEBE

'CO-BO'

,DE2.5

?-----=----，

-4a4

：DE=--a，

2

15

??一____，

8

■'的縱坐標(biāo)是—a+—

28

..的橫坐標(biāo)是對(duì)稱(chēng)軸，

.--a+—=(—)2<7-3x—,

2822

解這個(gè)方程組得：a=~-,

2

,1,,1、1、123c

..=-3-4=----3X(-----)-4X(----)=----xH—X+2；

22222

【小問(wèn)3詳解】

3

?.?點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)E(：,0)

2

；.0B=4,0C=2,BE=-,

2

BC=2區(qū)

VDE/70C,

需噌SCORDF,

VZBFC=ZBCO=ZBDF,ZCBF=ZCBF,

.".△BCF^ABFD,

BFBC

一而一而’

.*.BF2=BD?BC,

.\BE2+EF2=BD?BC,

—+EF2=--275,

44

LL5

/.EF=—,

2

35

...點(diǎn)F坐標(biāo)為(不一二)

22

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行線分線段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的

解法、相似三角形的判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

25.如圖，在RtZ\ABC與RtZ\ABD中，ZACB=ZDAB=90°,AB2=BC?BD,AB=3,過(guò)點(diǎn)A作AEJ_BD,垂

足為點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE、CB交于點(diǎn)F,連接DF

(1)求證：AE=AC；

AC

(2)設(shè)=——=y,求丁關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

EF

(3)當(dāng)AABC與aDEF相似時(shí)，求邊BC的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

9

(2)y=-T—1>0<x<3

2x2

3

(3)6或］

【解析】

【分析】⑴由題意可證得ABDEBA,ABDEBA,即/EAB=/CAB,則可得耳ACS,

故AE=AC.

FE?AC

(2)可證得以為BFC4,故有尸C=----------,在MVA尸。中由勾股定理有4/2="<2+4。2,聯(lián)

BE

9

立后化簡(jiǎn)可得出y=—r—l,BC的定義域?yàn)?<x<3.

2廠

(3)由(1)(2)問(wèn)可設(shè)5C=BK=x,。七=吃三，AE=也一X?，F(xiàn)E^2X-X'>若4ABC