稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目-(1)省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

怎樣解題清華中學(xué)康貴生第1頁學(xué)會學(xué)解題第2頁1．1數(shù)學(xué)解題

解題是找出數(shù)學(xué)問題答案活動．例題講解、習(xí)題求解、定理證實以及實際問題建模處理等都是解題．解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個關(guān)鍵內(nèi)容和一個最基本活動形式．?dāng)?shù)學(xué)解題又是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”基本路徑，概念掌握、技能熟練、定理了解、能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)態(tài)度養(yǎng)成等都離不開解題實踐(沒有勤奮而得法解題訓(xùn)練，談不上掌握數(shù)學(xué))；數(shù)學(xué)解題還是評價學(xué)習(xí)主要伎倆第3頁

2．3．1學(xué)解題三步驟程式及其反思三步驟程式

第1步：簡單模仿第2步：變式練習(xí)第3步：自發(fā)領(lǐng)悟第4步：自覺分析第4頁前3步表達(dá)了“接收記憶知識——練習(xí)鞏固知識——頓悟形成了解”這么一個逐步深化認(rèn)識過程，是傳統(tǒng)教學(xué)所熟悉．

解題思維需要有“第二過程”暴露第5頁數(shù)學(xué)解題思維過程暴露是一個不停分析解題過程、循環(huán)提升了解能力探究活動．在過程上，現(xiàn)有“第一過程”暴露又有“第二過程”暴露，是解題思維全過程暴露；在內(nèi)容上，既包含數(shù)學(xué)家思維、又包含教師思維、學(xué)生思維（教室里應(yīng)是這三種思維同時暴露）．第6頁（1）弗里德曼在《怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題》（文[5]）“致讀者”中，分析學(xué)生解了大量題但還“不開竅”時指出：“這些學(xué)生沒有在應(yīng)有程度上分析所解習(xí)題，不能從中分析出解題普通方式和方法，解題經(jīng)常只是為了得個答案．”第7頁波利亞《怎樣解題》一書正是經(jīng)過剖析經(jīng)典例題解題過程來展開“解題表”和“教會年輕人去思索”，而且在解題表中專設(shè)了一個步驟“回顧”，為每一道題自覺分析都留下了時間和空間．他在書中指出：“一個好教師應(yīng)該知道而且傳授給學(xué)生下述看法：沒有任何問題是能夠處理得十全十美，總剩下些工作要做．經(jīng)過充分探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個解答，而且在任何情況下，我們總能提升自己對這個解答了解水平．”這就又深入說明，分析解題過程不但能“改進(jìn)”解答，而且總能提升“了解”水平．波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)覺》序言中還詳細(xì)指出解題分析最正確時機(jī)：“可能是讀者解出一道題時候，或是閱讀它解法時候”．第8頁主要解題理論①波利亞《怎樣解題》②弗里德曼在《怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題》③元認(rèn)知理論認(rèn)④數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論⑤分析經(jīng)典例題或自己解題，也是一個“案例分析”，它是“案例數(shù)學(xué)”在解題教學(xué)中移植解題差異論認(rèn)為，解題過程就是消除已知（條件）與未知（結(jié)論）之間差異過程．第9頁什么是數(shù)學(xué)問題處理呢？

1．問題處理是心理活動．

2．問題處理是一個過程．

3．問題處理是一個目標(biāo)．

4．問題處理是一個能力．

第10頁數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育中主要性波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)覺》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力訓(xùn)練”（參見文[5]序言），解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有不容置疑主要性:1．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺關(guān)鍵內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題思維實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)．2．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替換實質(zhì)活動，解題活動關(guān)鍵價值是掌握數(shù)學(xué)．3．?dāng)?shù)學(xué)解題是評價數(shù)學(xué)能力時不可減弱主體組成，解題測試基本理念是展現(xiàn)數(shù)學(xué)．第11頁數(shù)學(xué)解題就是解題者在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本技能分析、處理問題過程．

第12頁波利亞怎樣解題表：搞清問題確定計劃實現(xiàn)計劃回顧第13頁第14頁第15頁第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁第26頁第27頁第28頁解題化歸論解題化歸論認(rèn)為，解數(shù)學(xué)題過程，就是將未知數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)處理問題過程．這是一個關(guān)于解題很流行觀點，笛卡兒（公元1596～1650）在《指導(dǎo)思維法則》一書提出“通用方法”有化歸思想明確表示：●將所論問題化歸為數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)化），●將數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題（代數(shù)化），●將代數(shù)問題化歸為方程求解（計算化）．即使這種方法不是萬能，但所表示化歸思想確實是非常有價值．第29頁1波利亞《怎樣解題表》喬治·波利亞（GeorgePolya1887～1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)覺和創(chuàng)造方法和規(guī)律，亦譯為探索法)當(dāng)代研究先軀．

第30頁波利亞（公元1889-1985）《怎樣解題》一書表達(dá)了解題化歸論，波利亞著作利用化歸思想十分熟練、實施化歸路徑非常豐富（當(dāng)然波利亞解題思想不但僅是化歸）．第31頁第32頁第33頁第34頁第35頁第36頁第37頁第38頁第39頁第40頁第41頁第42頁第43頁第44頁數(shù)學(xué)解題美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P·R·Halmos）認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)心臟．他說：“數(shù)學(xué)終究是由什么組成？定理嗎？證實嗎？概念？定義？理論？公式？誠然，沒有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不在,這些都是數(shù)學(xué)必要組成部分，不過，它們中任何一個都不是數(shù)學(xué)心臟,這個觀點是站得住腳，數(shù)學(xué)家存在主要理由就是解問題．所以，數(shù)學(xué)真正組成部分是問題和解．”第45頁引例——經(jīng)驗和知識積累．例2-1已知求證．經(jīng)測試，學(xué)生普遍都能找到各種解法，但對哪種解法更反應(yīng)問題本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu)，認(rèn)識是不一致．證實１（從結(jié)論出發(fā)，用配方法）證實２（從結(jié)論出發(fā)，用基本不等式）

第46頁證實３（用柯西不等式）

證實4（兩次用基本不等式）

相乘第47頁在同學(xué)們各抒己見基礎(chǔ)上，我們不表態(tài)，請大家繼續(xù)思索下題：例2-2已知求證．這時，不一樣解法難度、長度和技巧表現(xiàn)出差異．證實１（配方法）第48頁證實2（柯西不等式法）

第49頁證實3（三次用基本不等式法）

相乘

．同學(xué)們體會到，當(dāng)字母增加時，三次用基本不等式法更反應(yīng)題目標(biāo)結(jié)構(gòu)，并馬上推廣得例2-3已知是個正數(shù)，滿足求證

第50頁原題目：在橢圓上求一點，使它與倆焦點連線相互垂直。伴隨新課程改革深入，處理好教材上習(xí)題，挖掘它潛在教育價值功效。注意題目標(biāo)引伸、變式、推廣等，落實學(xué)生“三維”目標(biāo)和創(chuàng)新意識培養(yǎng)。比如高中《數(shù)學(xué)第二冊（上）》第132頁第6題來進(jìn)行剖析說明。原題目：在橢圓上求一點，使它與倆焦點連線相互垂直。第51頁（04湖南）已知是橢圓C：兩個焦點，在C上滿足點P個數(shù)為_________.（年天津、江西）、橢圓焦點為點P為其上動點，當(dāng)為鈍角時，點P橫坐標(biāo)取值范圍是____________.（年福州）已知P點是橢圓上一點，是兩個焦點，且=，則面積_______________.第52頁已知橢圓：兩個焦點分別為點P是橢圓上任意點，它橫坐標(biāo)為x，普通地有：

第53頁

雙關(guān)圖第54頁這種畫有不止一個效果，假如你按通常方式去看它，它是一個圖像，可是假如你轉(zhuǎn)到另一個位置再換一個特殊方式去看它，那么另一個圖像就會突然閃現(xiàn)在你面前，并對第一個圖像發(fā)表一些詼諧評論．

第55頁我們可能會一下子看出隱藏在塞滿了畫面里真正圖形，也可能是逐步地把它認(rèn)了出來．我們可能是在努力解題過程中，也可能是在一些次要、非實質(zhì)性機(jī)會中到達(dá)了它．

第56頁波利亞強(qiáng)調(diào)