專題16 平面向量（選填壓軸題）試題含解析

專題16平面向量（選填壓軸題）①向量模問題（定值，最值，范圍） 1②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍） 3③向量夾角（定值，最值，范圍） 5④向量的其它問題 6①向量模問題（定值，最值，范圍）12023春·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學?？茧A段練習）若平面向量兩兩的夾角相等， π,322023春·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）如圖，在ΔABC中，BAC= π,3滿足A=mA+A，若|A|=2,|A|=5，則A的值為()AD=3AB,P為CD上一點，且 4232023春·江西九江·高一德安縣第一中學校考期末）已知非零向量O,O,O，滿足OA=4，OB=2OC，且3+O.O+O.O=O2+O.O，則A的最小值為()42023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知O為坐標原點，A(2,0)，設動點C滿足OC<2，動點P滿足.=0，則OP的最大值為()52023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）已知向量,均為單位向量，且.=．向量與向量的夾角為，則的最大值為() 2的最大值為()72023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B為平面上兩點，且.=0，M為線段AB中點，其坐標為(a,b)，若OM=2a+b一4，則OM的最小值為()3482023·全國·高一專題練習）已知34圍是()92023春·四川成都·高一樹德中學校考階段練習）已知非零向量滿足=4，.=2，2=.5，則對任意實數(shù)t，t的最小值為.則的最小值是則的取值范圍是.②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）12023春·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊ΔABC中，點E為中線BD的三等分點（接近點B），點F為BC的中點，則F.E=() 22023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知向量e1與e2是兩個單位向量，且e1與e2的夾角為60o，若 232023春·廣東河源·高一?？茧A段練習）設ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且b2+c2+bc=a2，若角A的內角平分線AD=2，則B.A的最小值為()42023春·北京石景山·高一北京市第九中學?？计谀┤鐖D，A，B是半徑為1的圓O上的若C是圓O上的任意一點，則O·B的最大值為()當點M在對角線AC上運動時，M.M的最小值為()2262023春·山東棗莊·高一?？茧A段練習）已知點O為△ABC內一點，∠AOB＝120°,OA＝1，OB＝2，過O作OD垂直AB于點D，點E為線段OD的中點，則.的值為()72023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有八條邊、八個角．八邊形可分為正八邊形和非正八邊形．如圖所示，在邊長為2正八邊形ABCDEFGH中，點O為正八邊形的中心，點P是其內部任意一點，則.+.的取值范圍是()C．(2,4)D．(4,4)------------------------------設AE=λEC，CF=λFB(λ>0），則.的最大值------------92023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）在直角ΔABC中，AB」AC,AC=,AB=1，平面ABC內動點P滿足CP=1，則.的最小值為.則.的最大值為.122023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，點E,F分別是AB,CD的中點，AB=2，CD=2，EF=1，點P滿足P.P=0，則P.P的最大值為.132023春·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）已知平面向量對任意實數(shù)x，y都有的最大值是.142023春·河北石家莊·高一石家莊二中?？计谀│BC中，AB=1，AC=4，經(jīng)A=60。，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC上的動點，EF交AD于點G.若ΔAEF面積為ΔABC面積的一半，則A.E的最小值為③向量夾角（定值，最值，范圍）12023春·福建福州·高一?？计谀┤魘|=，||=2且(一)」，則與的夾角是()πππ522023·全國·高一專題練習）已知O為ΔABC的外心，且A=λA+(1一λ)A．若向量B在向量B上的投影向量為μBC，則μ.cos經(jīng)AOC的最小值為()32023春·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）若1,2是夾角為90。的單位向量，則=21+2與=31一2的夾角為()。。42023春·江西宜春·高一灰埠中學?？计谥校┮阎獑挝幌蛄縠1，e2的夾角為60°,向量=xe1+ye2，且1<x<3，1<y<2，設向量與e1的夾角為c，則cosc的最大值為. 2<4，設向量與e1的夾角為c，則cosc的最大值為() 4362023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量=，=，=，滿足2，則向量4與2所成夾角的最大值是()ππ2π5π72023春·江西九江·高一?？计谥校┰O,為平面內兩個不共線的非零向量，且||=||，若對于任意實82023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知,均是單位向量，若不等式+”2+t對任意實數(shù)t都成立，則與的夾角的最小值是.92023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知{,}是平面內一組基底，2+=1，ab=，則+與2+所成角的最大值為.102023·北京海淀·高三專題練習）已知平面向量,滿足=,=1，則向量+與一夾角的最大值是.④向量的其它問題12023·北京西城·統(tǒng)考二模）在坐標平面內，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點．點P從原點出發(fā)，在坐標平面內跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處．則點P到達點Q(33,33)所跳躍次數(shù)的最小值是22023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）在ΔABC中，AB=1，AC=2，經(jīng)BAC=60O，P是ΔABC的外接圓上的一點，若=m+n，則m+n的最小值是()32023·河南安陽·安陽一中校考模擬預測）在ΔABC中，設2一2=2.，那么動點M的軌跡必通過ΔABC的()42023·河南·河南省內鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預測）已知=,=1，與的夾角為45°,求使向量2+與λ+3的夾角是銳角，則λ的取值范圍.存在點P滿足.=3，則實數(shù)a的取值的范圍是.62023·湖南長沙·周南中學校考三模）如圖，在ΔABC中，點D是邊AB上一點且BD=2AD，E是邊BCBCBA .的中點，直線AE和直線CD交于點F，若BF是經(jīng)ABCBCBA .2足AP=足AP=mAC+AB，若|AC|=2,|AB|=5，則AP的值為(專題16平面向量（選填壓軸題）①向量模問題（定值，最值，范圍） 1②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍） 12③向量夾角（定值，最值，范圍） 21④向量的其它問題 27①向量模問題（定值，最值，范圍）12023春·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）若平面向量兩兩的夾角相等，【答案】D【詳解】因為平面向量兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況，2故選：D.22023春·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）如圖，在ΔABC中，)【答案】Cπ------π------------1---------3---則||222則的值為.故選：C.------------------2+.，則的最小值為()3【答案】A------【詳解】設OC=r，則OB=2r，取AB的中點M，------2即即)------1-------21---2即CM4AB----21---2-------所以要使AB最小，CM也最小，------------------顯然CMmin=OMOC，此時O、C、M三點共線，---------------------------------------------即r22tr+112t2=0，242所以的最小值為.故選：A.42023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知O為坐標原點，A(2,0)，設動點C滿足OC<2，動點P滿足.=0，則OP的最大值為()【答案】D【詳解】因為OC<2，所以點C在圓O:x2+y2=4的內部或圓周上，又動點P滿足.=0，所以當A,C,P三點不重合時，點P的軌跡是以AC為直徑的圓，如圖：當點C在圓O內時，延長AC交圓O于點D，設AC的中點為M，AD的中點為N，則MA=MP,ON」AD,AM<AN，當點C在圓O上時，M,N兩點重合，C,D兩點重合，所以AM<AN，當且僅當點C在圓O上時取等號，則OP<OM+MP=OM+AM，當且僅當O,M,P三點共線時取等號，因為OM+AM<ON+MN+AM=ON+AN，當且僅當M,N重合時取等號，因為ON」AD，所以|ON|22所以ON+AN<=2，當且僅當ON=AN=時取等所以OP<2，當且僅當O,M,P三點共線且點C在圓x2+y2=4與y軸的交點處時取等號，所以OP的最大值為2，故選：D.52023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）已知向量,均為單位向量_與向量_的夾角為，則_的最大值為()23.【答案】D【詳解】：向量.=,向量,均為單位向量，yy：向量滿足與的夾角為,∴經(jīng)ACB因為點C在AB外且經(jīng)ACB為定值,所以C的軌跡是兩段圓弧,經(jīng)ACB是弦AB所對的圓周角.因此：當AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時,|一|取得最大值|AC|,。故選：D的最大值為()【答案】D23y22所以=(x,y)的終點在以,為圓心,1為半徑的圓上，]]||1-2+2所以|-2|=2-，幾何意義為(x,y)到(1,0)距離的2倍，由兒何意義可知a-2c由兒何意義可知max故選：D.72023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B為平面上兩點，且.=0，M為線段AB中點，其坐標為(a,b)，若OM=2a+b-4，則OM的最小值為()【答案】B------------【詳解】因為OA.OB=0，所以OA」OB------------因為M為線段AB中點，坐標為(a,b)，OM=2a+b-4，幾何意義為圓M的半徑與點M到直線2x+y-4=0的距離相等，即圓M與直線2x+y-4=0相切，則圓M的半徑最小值為點O到直線2x+y-4=0的距離的一半，故選：B圍是()【答案】B22bb所以C點在以AB為直徑的圓上運動，22則以AB為直徑的圓的方程為(x-)2+(y-)2=，即的取值范圍是,，故選：B22則對任意實數(shù)t，-t的最小值為.【答案】-2bb 1,222bab32bab3因此的終點C在以點D為圓心，2為半徑的圓上，顯然對vteR，t的終點的軌跡是線段OB確定的直線l，于是t是圓D上的點與直線l上的點的距離，過D作線段DE」l于E，交圓D于F，所以t的最小值為2.【答案】222222，由基本不等式可得：2+222222242所以2222所以所以故答案為：【答案】如圖，以點O為原點，為x的正方向建立平面直角坐標系，2π作=，設點B的坐標為(x,y)，所以點B在以(3,0)為圓心，以1為半徑的圓上，所以t22作=，設點C的坐標為(x,,y,)，所以點B到點C的最小距離為點A到點C的距離減去圓的半徑1，------即BC之AC1，當且僅當點B為線段AC與圓的交點時等號成立，------7---77---7所以---BC---AC5,2當且僅當AC垂直于直線x,一y,+4=0且點B為線段AC與圓的交點時等號成立，所以所以的最小值為則的最小值是【答案】【詳解】取BD的中點O，則有OC=BD=-，同理-=5-4cosθ,則22rr故答案為：.BCBDBCBD【答案】【詳解】解：建立如圖所示坐標系，------------------記C(4,0)，D(5,0)，則,π6由定弦所對的角為頂角可知點B的軌跡是兩個關于x軸對稱的圓弧，------因為cosBC,BD------------BC.BD=, (4xy).(5xy)即2=(4x)2y2 (4xy).(5xy)22由對稱性不妨只考慮第一象限的情況，因為的幾何意義為：圓弧(x)2+(y)2=1(y>0)的點到直線y=x(x>0)上的點的距離， 3②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）12023春·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊ΔABC中，點E為中線BD的三等分點（接------近點B），點F為BC的中點，則FE.EC=------ A．-B．-C．-D．-【答案】B------------由已知D是AC的中點，所以=+)，---1---3---1---所以，22故選：B.--22023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知向量與e2是兩個單位向量，且與e2的夾角為60。，若 A．B．-C．D．-2222【答案】C【答案】C2221,2112，1212121.221.2+22222.e2+2e2故選：C.若角A的內角平分線AD=2，則B.A的最小值為()【答案】A所以B.A=BA.cos=bc之8，則B.A的最小值為8.故選：A.42023春·北京石景山·高一北京市第九中學?？计谀┤鐖D，A，B是半徑為1的圓O上的兩點，且經(jīng)AOB=.若C是圓O上的任意一點，則O·B的最大值為()A. 4121即當cos經(jīng)AOC取最大值時，O·B取得最大值.當O與O同向時，cos經(jīng)AOC取得最大值此時，O·B取得最大值.故選：C.52023·全國·高一專題練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，經(jīng)A=90。,AB=AD=2,ΔBCD為等邊三角形，當點M在對角線AC上運動時，M.M的最小值為()【答案】B。由M=M+C可得M.M=M.(M+C)=M2+M.C22()2322()233所以當MC=2時，MC.MD有最小值為一23故選：B62023春·山東棗莊·高一?？茧A段練習）已知點O為△ABC內一點，∠AOB＝120°,OA＝1，OB＝2，過O作OD垂直AB于點D，點E為線段OD的中點，則O.E的值為()【答案】C22故選：C72023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有八條邊、八個角．八邊形可分為正八邊形和非正八邊形．如圖所示，在邊長為2正八邊形ABCDEFGH中，點O為正八邊形的中心，點P是其內部任意一點，則.+.的取值范圍是()【答案】A連接AF，過點O作OQ」AF，交GH、CD于點M、N，交AF于點Q，)，2222224)-12當P與M重合時，在上的投影向量為，此時.+.取得最小值為當P與N重合時，在上的投影向量為，此時.+.取得最大值為因為點P是其內部任意一點，所以.+.的取值范圍是(一2,4+2).故選：A.------------------------------------設AE=λEC，CF=λFB(------------------2244【答案】C 222AB+ACBC 222AB+ACBCAB+22BC12AB.AC2ABx22BABACBA---BABACBA------------------2BA2+BC AC2即BA.BC2.2BA2+BC AC2即BA.BC2.BABCBA于是有2于是有 2 2AB將=1AB將ACBC所以ACBC所以.λ+12λ+122 2 λλ2+2λ+1λACλ+λλ+λ+2λ+λ+2,22λ+12AC22λ+1所以所以λ=λ=即λ=1時，等號成立，所以所以故當λ=14故選：C.AB」AC,AC=,AB=1，AB」AC,AC=,AB=1，平..【答案】【答案】【詳解】平面ABC內動點P滿足CP=1，所以點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，AB」AC,AC=,AB=1，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2=4，2AC.BC2x2x2AC.BCAC.BC：AP=AC+CP,BP=BC+CP，2，又向量+是長度為的一個向量，由此可得，點P在圓C上運動，當與+共線反向時，.(+)取最小值，且這個最小值為一，則.的最大值為.【詳解】延長AG交BC于點D，因為G是ΔABC的重心，則D為BC的中點，5.2222)66112023春·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）圓O：x2+y2=4上有兩定點A(,)，B(-,)及兩動點由點C,D的對稱性，不妨令射線OD與x軸正方向所成的角為θ+，由三角函數(shù)定義知C(2cosθ,2sinθ),D(2cos(θ+),2sin(θ+))，則=(-2cosθ,-2sinθ),=(--2cosθ,-2sinθ)，于是.=(-2cosθ)(--2cosθ)+(-2sinθ)(-2sinθ)=4-4sinθ,122023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，點E,F分別是AB,CD的中點，AB=2，CD=2，【答案】2------------------【詳解】因為PC=PF+FC，PD=PF+---------------------------------所以FD=-FC，所以PD---------------2-2=2-CD2=2-2，又.=0，所以PA」PB，又點E分別是AB的中點，所以PE=AB=1，22，22=2x1xxxcosθ,所以x=2cosθ,所以.=x22=4cos2θ2=2cos2θ,所以當2θ=0即θ=0時，cos2θ有最大值1，即.有最大值為2.故答案為：2132023春·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）已知平面向量對任意實數(shù)x，y都有的最大值是.【詳解】如圖，則B，C在以MA為直徑的圓上，過O作OD//AC，交MC于E，交圓于D，=在OD上的射影最長為|ED|，DE=1OE=1sinθ,：.()=2sinθ(1sinθ)=2sin2θ+2sinθ,故答案為：.上的中線，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC上的動點，EF交AD于點G.若ΔAEF面積為ΔABC面積的一半，則.的最小值為則則即【答案】2 +又ΔAEF面積為ΔABC面積的一半可得又ΔAEF面積為ΔABC面積的一半可得.AB.AC22所以+mλ=1牽λ=.nm故答案為：2③向量夾角（定值，最值，范圍）12023春·福建福州·高一校考期末）若||=，||=2且(一)」，則與的夾角是()πππ5(()」2.【詳解】： ，：故選：B.222023·全國·高一專題練習）已知O為ΔABC的外心，且A=λA+(1一λ)A．若向量B在向量B上2的投影向量為μB，則μ.cos經(jīng)AOC的最小值為()【答案】B所以A一A=λC，即C=λC，所以O,B,C三點共線，過A作BC的垂線AQ，垂足為Q，如圖：則向量B在向量B上的投影向量為BQ=μBC，且0<μ<1，OCOA 142BCOCOA 142BC 4因為0<μ<1，所以當μ 4故選：B32023春·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）若1,2是夾角為90。的單位向量，則=21+2與=31一2的夾角為()?！敬鸢浮緾ab 2222所以cosC所以cosC=Ccos所以所以所以.所以故選：C42023春·江西宜春·高一灰埠中學?？计谥校┮阎獑挝幌蛄縠1，e的夾角為60°,向量=xe+ye，的夾角為C，則cosC的最大值為.【答案】D【詳解】因為單位向量e1，e的夾角為60。，.22a.eaa1+xy+2,當cosC取最大值時，必有x+y>0，1+xy+則2則222((1)22222x2xy242yyy2231-.4x211x)2xy)y4.(1-|(3 yx yxcosC=所以21-E|,|故cosC的最大值為.故選：D.2xeye2aex+y當cosC2xeye2aex+y當cosC取最大值時，必有cosC=223y24x221-.22y242y21-2<4，設向量與e的夾角為C，則cosC的最大值為() 6 6343272777【答案】C11e.e=ee.122【詳解】因為單位向量e、e2的夾角為60，由平面向量數(shù)量積的定義可得ee.122212222e21a.exa.e121cosC=a.cosC=a.1 ((1)22211x)2xy)y4.(1-|(3 2y 2y2y24yy2 2ycosC=當當(當22此時2此時 .綜上所述，cosC的最大值為.故選：C.42423 42423 2.42462023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量=，=，=，滿足2，則向量4與2所成夾角的最大值是()【答案】A24.2，22OBOC2,，：2設向量4與2所成夾角為θ,：cosθ=422 2.22422242 2 242()（當且僅當 ()（當且僅當2又θe[0,π]θmax故選：A.π.672023春·江西九江·高一?？计谥校┰O,為平面內兩個不共線的非零向量，且||=||，若對于任意實2222，即2xcos,+x2144所以x2+2cos,.xcos,433故答案為：82023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知,均是單位向量，若不等式+”2+t對任意實數(shù)t都成立，則與的夾角的最小值是.【答案】【詳解】不等式+<2+t對任意實數(shù)t都成立，+t)2對任意實數(shù)t都成立，即2222t2+8.t對任意實數(shù)t都成立，故答案為：. π .392023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知{,}是平面內一組基底，2+=1，ab=，則+與2+所成角的最大值為.【答案】/60o【詳解】因為{,}是平面內一組基底，即,不共線，設m=2a+b,n=a+b，顯然、不共線，且均不為零向量，設,的夾角為θE(0,π)，則-