5.3等比數(shù)列同步練習(xí)（含解析）人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁5.3等比數(shù)列同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．183．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭兒盞燈？”你的答案是（

）A．3盞 B．4盞 C．5盞 D．7盞4．等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（

）A．3 B． C．3或 D．25．中國古代著作《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里．”意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．6．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．7．已知等比數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的前5項和等于（

）A．10 B．15 C．20 D．58．有一個國王獎勵國際象棋發(fā)明者的故事，故事里象棋發(fā)明者要求這樣的獎勵；在棋盤上的64個方格中，第1個方格放1粒小麥，第2個方格放2粒小麥，…，第個方格放粒小麥，結(jié)果國王拿出全國的小麥也不夠．假設(shè)能有這么多的小麥，則這個故事繼續(xù)如下，將這些小麥用1，2，3，…，編號并按照一定規(guī)律逐個抽取幸運小麥，設(shè)第次被抽取的小麥編號為，若第一次隨機抽取的幸運小麥編號為，接下來的幸運小麥按照規(guī)律逐個抽取，則共能抽?。?/p>

）粒幸運小麥．A．4 B．5 C．15 D．63二、多選題9．關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（

）A．若數(shù)列的前項的和，則B．若為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列，，，則當(dāng)時，最大10．給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得11．對函數(shù)給出如下新定義：若在區(qū)間上為定值（其中表示不超過的最大整數(shù)，如），則稱為的一個“整元”，將區(qū)間上從左到右所有“整元”的和稱為在上的“整積分”，下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上的“整積分”為B．在區(qū)間上的“整積分”為4950C．在區(qū)間上的“整積分”為D．在區(qū)間上的“整積分”為12．滿足，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（

）A．存在非零實數(shù)t，使得為等差數(shù)列B．存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列C．D．三、填空題13．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列的公比．14．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則．15．若正項等比數(shù)列中的是方程的兩個根，則．四、解答題16．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為．求證：．17．已知數(shù)列滿足，且（，且）．(1)設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列．(2)記，求數(shù)列的前項和．18．已知數(shù)列滿足，其中．(1)李四同學(xué)欲求的通項公式，他想，如果能找到一個函數(shù)，其中是常數(shù)，把遞推關(guān)系變成后，就容易求出的通項了．請問：他設(shè)想的存在嗎？的通項公式是什么？(2)記，若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．19．已知實數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．20．已知數(shù)列中，，(1)求的通項公式；(2)若為的前n項和，是否存在，使得對于任意，都有?若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)題意得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式得到，利用是遞減數(shù)列列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】將整理得，又，易知當(dāng)時,，不滿足是遞減數(shù)列，故，因此數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，因此，由于是遞減數(shù)列，故恒成立，得，化簡得，故，因此，解得，故選：B．2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行計算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.3．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前和公式建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)各層塔的燈盞數(shù)為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由題意可得，解得，故選：A.4．C【分析】利用等差數(shù)列的通項公式，化簡求出，判斷，利用前項和公式表示，聯(lián)立方程即可解出.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，根據(jù)題意有，即①，所以，若，則有，與不符，所以，所以②，聯(lián)立①②兩式有：，即，整理得，解得或.故選：C5．C【分析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，分析可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以該馬七天所走的里程為，解得，故該馬第五天行走的里程數(shù)為．故選：C．6．B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算法則即可得解.【詳解】因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.7．A【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式，再求出即可計算得解.【詳解】等比數(shù)列的前n項和，則，而，因此公比，，，顯然是等差數(shù)列，所以數(shù)列的前5項和等于.故選：A8．B【分析】根據(jù)遞推公式可得，進(jìn)而取對數(shù)求解通項公式即可得，再列不等式求解即可.【詳解】配方得：．取對數(shù)：，設(shè)，則，又，所以，，．由放小麥的規(guī)則可得小麥總粒數(shù)為，.故選：B9．ACD【分析】選項A，利用等比數(shù)列前項和公式，即可求出，從而判斷出選項A的正誤；選項B，根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的性可求解；選項C，當(dāng)，為偶數(shù)時，，不合題意，從而判斷出選項C的正誤；選項D，根據(jù)條件得出，，即可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于選項A，因為，則數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前項和公式，知，所以選項A錯誤，對于選項B，由，得到，所以，故選項B正確，對于選項C，若，為偶數(shù)時，，顯然，，，…不成等比數(shù)列，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，即，又，所以公差，且或，最大，故選項D錯誤，故選：ACD.10．BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯誤；對于B，由選項A知，，則，顯然當(dāng)時，恒成立，B正確；對于C，由，得，當(dāng)時，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，從而對任意，總存在，使得，C正確；對于D，，由選項C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.11．BCD【分析】根據(jù)新定義對各選項逐項分析即可得解.【詳解】A選項，，所以區(qū)間上的“整積分”為，故選項錯誤；B選項，當(dāng)時，；當(dāng)時，，以此類推，當(dāng)時，，所以區(qū)間上的“整積分”為，故B選項正確；C選項，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，以此類推，當(dāng)時，，故區(qū)間上的“整積分”為，故C選項正確；選項，當(dāng)時，，“整元”為；當(dāng)時，，“整元”為；當(dāng)時，，“整元”為，以此類推，當(dāng)時，，“整元”為．設(shè)在區(qū)間上的“整積分”為，則①，所以②，②①得，故D選項正確，故選：BCD．12．BCD【分析】對A、B：借助等差數(shù)列與等比數(shù)列定義計算即可得；對C：借助代入即可得；對D：由，得到，從而將展開后借助該式裂項相消即可得.【詳解】對A：若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，無解，故不存在這樣的實數(shù)，故A錯誤；對B：若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此時，故存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列，故B正確；對C：由，則，即有，故C正確；對D：由，故，故，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項中關(guān)鍵點在于由，得到，從而將展開后可借助該式裂項相消.13．【分析】利用等比數(shù)列前n項和公式聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】由題意可知：，根據(jù)等比數(shù)列的前項公式可得：①，②,聯(lián)立①②可得，解得.故答案為：14．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知且，則，解得．則，，．故答案為：.15．【分析】根據(jù)等比中項結(jié)合對數(shù)運算分析求解.【詳解】因為正項等比數(shù)列中的是方程的兩個根，則，所以.故答案為：.16．(1)；(2)證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求出基本量，然后可得通項；（2）先根據(jù)等差數(shù)列求和公式求，然后利用裂項相消法求即可得證.【詳解】（1）記數(shù)列的公比為，則，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合已知遞推公式，求得為常數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得到，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）證明：因為，則，則，即；故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，即，解得；則，故即，，故，故.18．(1)存在，(2)【分析】（1）由題可得，結(jié)合可求得，然后由等比數(shù)列通項公式即可求解；（2）先利用分組求和法求得，然后分離參數(shù)，令，當(dāng)時，作差，利用二項式定理證明的單調(diào)性，然后驗證時即可得最小值，然后可解.【詳解】（1），所以只需，，則，，故李四設(shè)想的存在，，，是以3為公比，2為首項的等比數(shù)列，，.（2）由，得，設(shè)，則，當(dāng)時，.，當(dāng)時，，所以的取值范圍為19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）觀察題目條件等式中的系數(shù)可得答案；（2），分別計算和可證明結(jié)論；（3）先根據(jù)無上界說明存在正整數(shù)，使得，分是偶數(shù)和是奇數(shù)分別說明.【詳解】（1）因為，所以；因為，所以；（2）由數(shù)列定義得：；所