2023-2024學年山東省濟南市歷下區(qū)燕山中學九年級（上）10月月考數學試卷(含解析)

2023-2024學年山東省濟南市歷下區(qū)燕山中學九年級第一學期月

考數學試卷（10月份）

一、選擇題

i.下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.lc/n,2cm,3cmf4cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.2cm,3cm,4cm,6cmD.3cm,4cmf6cm,9cm

2.己知；■=?（40,后0），下列變形錯誤的是（）

23

A.—B.2a=3bC.—D.3a=2b

b3a2

3.如圖，/i〃/2〃/3,直線a、b與li、b、/3分別相交于點A、B、C和點。、E、F,若期■上,

BC3

32

4.如圖，夏季的一天，身高為16〃的小玲想測量一下屋前大樹的高度，她沿著樹影54由

B到A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得8c=32",

CA=Q.Sm,于是得出樹的高度為（）

A.8機B.6.4mC.4.8mD.10機

5.如圖，在。A3CD中，E為CD上一點,連接4人BD,且AE、BD交于點F,SgEF：S

6.現將正面分別寫有“道路自信”“理論自信”“制度自信”和“文化自信”的四張卡片

（除卡片正面的內容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均勻后從中隨

機一次抽取兩張卡片，則恰好抽到寫有“文化自信”和''理論自信”的卡片的概率是（）

7.關于x的一元二次方程/+?7田+，“=0有兩個相等的實數根，則，〃的值是（）

A.不存在B.4C.0D.0或4

8.如圖，在正方形網格中：△4BC、△■￡￡＞廠的頂點都在正方形網格的格點上，XABCsX

D.75°

9.晚上，小亮走在大街上時發(fā)現：當他站在大街兩邊的兩盞路燈之間，并且自己被兩邊路

燈照在地上的兩個影子成一直線時，自己右邊的影子長為3,小左邊的影子長為1.5〃?，又

知自己身高1.80〃?,兩盞路燈的高相同，兩盞路燈之間的距離為12〃?,則路燈的高為（）

6.7mC.6.8/nD.6.9m

10.如圖，ABCsADE,NBAC=NDAE=90°,AB與。E交于點O,AB=4,4c=3,

F是。E的中點，連接BD,BF,若點E是射線CB上的動點，下列結論：①△AOQsa

FOB,②③NFDB+NFBE=90°,@BF^—AE,其中正確的是（

6

BEC

A.①②B.③④C.②③D.②③④

二、填空

11.若旦=￡=旦=2,ILb+d+f=4,則a+c+e=______.

bdf

12.在一個不透明的布袋中裝有40個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通

過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，則布袋中黃球可能有

個.

13.如圖，校園里一片小小的樹葉，P為AB的黃金分割點(AP>PB),如果AB的長度為

10cm,那么AP的長度為cm.

14.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,CC_LAB于點￡>,CD=3,BD=1,則AC的長

是____________________.

15.如圖，在△ABC中，AB=Scm,BC=l6cm,動點P從點A開始沿4B邊運動，速度為

2cm/s,動點。從點B開始沿8c邊運動，速度為4aMs.如果P、。兩動點同時運動，

那么經過秒時△Q8P與AABC相似.

16.如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其

中兩頂點E,尸分別在邊BC,AO上，則放入的四個小正方形的面積之和為

三、解答

17.解方程：

(1)x2+2x-8=0；

(2)x(x-2)—x-2.

18.如圖，oABCD中，E是C8延長線上一點，OE交AB于尸.求證：AD-AB=AF'CE.

19.“雙減”意見下，我區(qū)教體局對課后作業(yè)作了更明確的要求，為了解某學校七年級學生

課后作業(yè)時長情況，某部門針對某校七年級學生進行了問卷調查，調查結果分四類顯示:

A表示“40分鐘以內完成”，8表示“40-70分鐘以內完成”，C表示“70-90分鐘以

內完成”，。表示“90分鐘以上完成”.根據調查結果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計圖.請

結合統(tǒng)計圖，回答下列問題.

(1)這次調查的總人數是人；扇形統(tǒng)計圖中，B類扇形的圓心角

是°;C類扇形所占的百分比是.

(2)在。類學生中，有2名男生和2名女生，再需從這4名學生中抽取2名學生作進一

步訪談調查，請用樹狀圖或列表的方法，求所抽2名學生恰好是1名男生和1名女生的

概率.

20.如圖，綜合實踐活動課中小明同學用自制的直角三角形模具OEF測量樹的高度AB,他

調整自己的位置，讓斜邊。F保持水平，并且邊。E與點B在同一直線上，DE=0.4m,

EF=0.3m,測得邊OF離地面高度AC=1.7〃?，CD=Sm,求樹高AB.

,以點A為直角頂點作等腰RtZiAOE.點。在BC

上，點E在AC上，點F在BC上，且NEF￡)=45°,

(1)求證△ABOS/XDFE；

(2)若CE=代，求8的長.

22.材料：對于一個關于x的二次三項式辦2+反+c(”r0),除了可以利用配方法求該多項

式的取值范圍外，愛思考的小寧同學還想到了利用根的判別式的方法，例：求X2+2A-+5

的最小值;

解：令x2+2x+5=y,.,.x2+2x+(5-y)=0,

△=4-4X(5-y)20,；.y24,.\^+2r+5的最小值為4.

請利用上述方法解決下列問題：如圖，在△A8C中，BC=10,高A￡>=8,矩形EFPQ的

一邊。P在邊上，E、尸兩點分別在AB、AC上，40交E尸于點”.

(1)若EF=2EQ,求矩形EFP。的面積;

(2)設EQ=x求矩形EFPQ的面積最大值.

23.如圖1,已知AABC和△相>6均為等腰直角三角形，點。、E分別在線段A&AC上,

ZC=ZAED=90°.

(1)觀察猜想：如圖2,將繞點A逆時針旋轉，連接B。、CE,80的延長線交

CE于點、F.當8。的延長線恰好經過點E時，點E與點尸重合，此時，

①空的值為；

②NBFC的度數為度；

(2)類比探究：如圖3,繼續(xù)旋轉△△￡>/,點尸與點E不重合時，上述結論是否仍然成

立，請說明理由.

(3)拓展延伸：若AE=DE=AC=BC=C3，當CE所在的直線垂直于A。時，

請你直接寫出線段8。的長.

D

圖1

參考答案

一、選擇題

1.下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.2cm,3cm,4cmf6cmD.3ctn,4cmf6cm,9cm

【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是

否相等即可得出答案.

解：A、：1*4/2*3,...四條線段不成比例，不符合題意；

B、???2X5W3X4,.?.四條線段不成比例，不符合題意；

C、：2X6=3X4,.?.四條線段成比例，符合題意；

。、???3X9W4X6,.?.四條線段成比例，不符合題意；

故選：C.

【點評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，

要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷.

2.已知（aWO,bWO）,下列變形錯誤的是（）

23

A.—=--B.2a=3bC.--=—D.3a=2b

b3a2

【分析】根據兩內項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解.

解：由■^■=2■得，3a=26,

A、由等式性質可得：3〃=26,正確；

B、由等式性質可得2〃=3/>,錯誤；

C、由等式性質可得：3a=2b,正確；

D、由等式性質可得：3a=26,正確；

故選：B.

【點評】本題考查了比例的性質，主要利用了兩內項之積等于兩外項之積.

3.如圖，l\//h//h,直線a、b與h、/2、/3分別相交于點月、B、C和點。、E、F,若祟莖,

BC3

QE=4,則EF的長是（)

32

【分析】根據平行線分線段成比例解答即可.

解：'：l\//h//h,

,AB=DE=J.

??而一而—§，

'：DE=4,

.J=2

,*EF3，

；.EF=6,

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是

解題的關鍵.

4.如圖，夏季的一天，身高為1.6〃?的小玲想測量一下屋前大樹的高度，她沿著樹影由

B到A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2/n,

CA=0.8〃?，于是得出樹的高度為（）

A.8，*B.6.4mC.4.8mD.10w

【分析】求出AB的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可.

解：如圖，:BC=3.2m,CA=O.8m,

.?.AB=AC+BC=0.8+3.2=4。"，

小玲與大樹都與地面垂直，

/XACE^/XABD,

?CEAC

"BD-AB,

1.6_0.8

uBnJ—————

BD4

解得80=8.

故選：A.

D

【點評】本題考查了相似三角形的應用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對應邊成

比例列出比例式是解題的關鍵.

5.如圖，在。ABCC中，E為CD上一點，連接4E、BD,且AE、BD交于點F,S^DEF：S

【分析】先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△QEFs/xAAR再根

據品。4：SMBF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質即可求出DE：45的

值，由AB=C￡＞即可得出結論.

解：：四邊形ABCO是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZEAB=NDEF,NAFB=ZDFE,

.?.△DEFsABAF,

■:SADEF：S^ABF—4：25,

：.DE：AB=2：5,

'：AB=CD,

：.DE:EC=2：3.

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟知相似三角形

對應的邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.

6.現將正面分別寫有“道路自信”“理論自信”“制度自信”和“文化自信”的四張卡片

（除卡片正面的內容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均勻后從中隨

機一次抽取兩張卡片?，則恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片的概率是（）

A.—B.-C.-D.—

6543

【分析】根據題意，畫出相應的樹狀圖，然后即可求得相應的概率.

解：設“道路自信”為A,“理論自信”為8,“制度自信”為C,“文化自信”為Q,

樹狀圖如圖所示，

一共有12種等可能性，其中恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片有2種可

能性，

恰好抽到寫有“文化自信”和''理論自信”的卡片概率為三=《，

126

故選：A.

開始

ABCD

小小/N

BCDACDABDABC

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖,

求出相應的概率.

7.關于x的一元二次方程好+3+,”=0有兩個相等的實數根，則根的值是（）

A.不存在B.4C.0D.0或4

【分析】根據方程有兩個相等的實數根即可得出關于〃，的一元二次方程，解方程即可得

出m的值.

解：..?方程/+如什"=0有兩個相等的實數根，

△—m2-4/n=0,

解得：，*=0或膽=4.

故選：D.

【點評】本題考查了根的判別式，由方程有兩個相等的實數根找出關于，〃的一元二次方

程是解題的關鍵.

8.如圖，在正方形網格中：△ABC、尸的頂點都在正方形網格的格點上，XABCs匕

ED凡貝IJ/A8C+NAC8的度數為（）

C.60°D.75°

【分析】利用相似三角形的性質，證明/BAC=135。，可得結論.

解：；△ABCs△EOF,

：.ZBAC=ZDEF=135°，

.?.NABC+N4cB=180°-135°=45°,

故選：B.

【點評】本題考查相似三角形的性質，三角形內角和定理等知識，解題關鍵是證明NBAC

=135°.

9.晚上，小亮走在大街上時發(fā)現：當他站在大街兩邊的兩盞路燈之間，并且自己被兩邊路

燈照在地上的兩個影子成一直線時，自己右邊的影子長為3成，左邊的影子長為1.5〃?，又

知自己身高1.80,”,兩盞路燈的高相同，兩盞路燈之間的距離為12〃?,則路燈的高為（）

【分析】首先根據已知條件求證出△H/Gs/XFCE,然后根據相似三角形的性質求得兩

個相似三角形的相似比，進而求出路燈CE的高度.

解：設小亮離右邊的路燈為初?，則離左邊的路燈為（12-x）m,

再設路燈的高為hm,

'：AB±BC,GHA.BC,ECVBC,

：.△F”GskCE,叢KHGsAKBA,

.GH=FHGH=KH

"EC-FC，市一市’

.FH=KH

??而一而‘

.1.5—3

*1.5+x15-x

解得x=4米，/z=6.6米，即路燈高6.6米.

【點評】本題考查相似三角形的應用，解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建

立數學模型，把實際問題轉化為數學問題求解.

10.如圖，△ABCS^AOE,ZBAC=ZDAE=90°,AB與DE交于點O,AB=4,AC=3,

產是OE的中點，連接BO,BF,若點E是射線CB上的動點，下列結論：①△AOOs4

FOB,@ABOD^/\EOA,③NFDB+NFBE=90°,?BF=—AE,其中正確的是（）

6

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【分析】首先證明△AOOS/XEOB,推出△BOOSAEOA,再證明/￡(BE=90°,可得

②③正確，利用直角三角形斜邊中線的性質即可判斷④正確.

解：,:XABCsXADE,

：.NADO=NOBE,

ZAOD=ZBOE,

：./\AOD^/\EOB,

.OD=OA

??麗一'5r

;.典=嗎?/ZBOD^ZAOE,

0A0E

:.△BODsXEOA,故②正確，

■:△AODsgOB,△80"口04,

\ZADO=ZEBO,ZAEO=ZDBO,

VZADO+ZAEO=90°,

??.ZDBE=ZDBO+ZEBO=90°,

,:DF=EF,

:.FD=FB=FE,

:?/FDB=/FBD,

NFDB+NFBE=NFBD+NFBE=9U°,故③正確,

在RtZXABC中，???A8=4,AC=3,

BC—yj34**=5，

???AABC^AADE,

.DE=BC=_5

??瓦AC-T

?：BF=-DE

29

?2BF5

AE3

J.BF^AE,故④正確，

0

ZADO=ZOBE,

...NADOWNOBF,

...無法判斷△AOOs△尸OB,故①錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理等

知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

二、填空

11.若且=工=g=2,且b+出戶=4,則a+c+e=8.

bdf

【分析】根據等比性質，可得答案.

由等比性質，得空”

=2,

b+d+f

故答案為：8.

【點評】本題考查了比例等性質，利用了等比性質.

12.在一個不透明的布袋中裝有40個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通

過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，則布袋中黃球可能有_12

個.

【分析】利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為0.3,然后根據概率公式計算即可.

解：設布袋中黃球有x個，

根據題意，得：會=0.30,

40

解得：x=12,

即布袋中黃球可能有12個，

故答案為：12.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定

位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

13.如圖，校園里一片小小的樹葉，P為48的黃金分割點,如果AB的長度為

10cm,那么AP的長度為-5)cm.

【分析】直接利用黃金分割的定義計算出AP的長即可.

解：：尸為的黃金分割點(AP>PB),AB^lOcm,

：.AP=~1AB=5-1X10=(5J5-5)cm,

22N

故答案為：(575-5).

【點評】此題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使

AC是AB和BC的比例中項(即AB：AC=4C：BC),叫做把線段AB黃金分割，點C

叫做線段A8的黃金分割點.

14.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDJ_A8于點￡>,CD=3,BD=1,則AC的長

【分析】直接利用射影定理進行計算即可.

解：在RtZSABC中，ZACB=90°,CC_LAB于點

VZB^ZACD,NBDC=NCDA=90°,

:.t\BCDs/\CAD,

.CDAD

??—一，

BDCD

：.CD2=BD'AD,

"：NB=NB,ZBCD=ZA,

.ACAD

??—?

ABAC

"：AC1=AB'AD^(BD+AD)(1+9)X9=90,

?'?AC—3yJ|Q.

故答案為：3/io.

【點評】本題考查了射影定理，熟練掌握射影定理是解答本題的關鍵.

15.如圖，在aABC中，AB^cm,BC=16cm,動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為

2cmis,動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s.如果P、Q兩動點同時運動,

那么經過2或0.8秒時△OBP與△ABC相似.

B.

AC

【分析】設經過/秒時，△Q2P與△ABC相似，則AP=2fcm,BP=(8-2r)cm,BQ=

4tcm,利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論，由相

似三角形的性質列出方程可求解.

解：設經過，秒時，AQS尸與AABC相似，則AP=2fc〃?，BP=(8-2/)cm,BQ^4tcm,

；NPBQ=NABC,

,當黑淺時，MBPQSXBAC,即無棄-W，解得f=2；

BABC816

當黑平時，XBPQsXBCk,即塔匚岑，解得r=0.8；

BCBA168

即經過2秒或0.8秒時，△QBP與△ABC相似.

故答案為：2或0.8.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三

角形相似.利用時間表示相應線段長和利用相似比列方程是解決此題的關鍵.

16.如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其

中兩頂點E,尸分別在邊BC,4力上，則放入的四個小正方形的面積之和為22.

【分析】作GHLBC,證明根據相似三角形的性質得到GH=2EM,

HE=2MN,根據正方形的性質列方程求出MN,根據勾股定理、正方形的面積公式計算,

得到答案.

解：如圖，過G作GaJ_BC于，，

則/HGE+NHEG=NHEG+NMEN=90°,

：.NHGE=AMEN,

VZGHE=ZEMN=90°,

:.叢GHEs/\EMN,

.膽耳型_」

??而后而T

:?GH=2EM,HE=2MN,

設MN=x,則〃E=2x,

：.EM=1-4x,

：.GH=2EM=2(7-4x),

：.2(7-4x)+x=7,

解得：x=l,

??.EM=7-4x=3,

?,?￡^VEM2+MN2=VIO>

:.GE=2EN=2V!o>

...四個小正方形的面積之和=2X12+百2m=22,

故答案為：22.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、中心對稱圖形的概念，掌握相似三角

形的判定定理和性質定理、正方形的性質是解題的關鍵.

三、解答

17.解方程：

(1)x2+2x-8=0；

(2)x(x-2)=x-2.

【分析】(1)先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解

即可；

(2)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可.

解：(1)x2+2x-8=0,

(x+4)(x-2)=0,

x+4=0或x-2=0,

解得：x\--4,X2=2；

(2)x(x-2)—x-2,

x(x-2)-(x-2)=0.

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0或x-1=0,

解得：X|=2,X2=l.

【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解方程是解此題的關鍵，解一

元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

18.如圖，必88中，E是CB延長線上一點，OE交AB于尸.求證：AD-AB^AF-CE.

【分析】根據已知條件很容易就可推出求出對應邊的比例式，根據CQ

=AB,進行相關線段的等量代換即可.

【解答】證明：

在。ABC。中，因為AB〃OC,所以NCDE=NBFE=NAFD,

又因為/A=/C,所以△ECDSADAF,所以型=%,

AFAD

又CD=AB,所以旭=風故ADA8=A尸

AFAD

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，本題的關鍵是證

明△ECD和△D4F相似，根據平行四邊形的性質找到相等關系，進行等量代換.

19.“雙減”意見下，我區(qū)教體局對課后作業(yè)作了更明確的要求，為了解某學校七年級學生

課后作業(yè)時長情況，某部門針對某校七年級學生進行了問卷調查，調查結果分四類顯示：

A表示“40分鐘以內完成”，B表示“40-70分鐘以內完成”，C表示“70-90分鐘以

內完成”，。表示“90分鐘以上完成”.根據調查結果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計圖.請

結合統(tǒng)計圖，回答下列問題.

C類扇形所占的百分比是45%.

（2）在。類學生中，有2名男生和2名女生，再需從這4名學生中抽取2名學生作進一

步訪談調查，請用樹狀圖或列表的方法，求所抽2名學生恰好是1名男生和1名女生的

概率.

【分析】（1）用A類學生人數除以所占百分比可得這次調查的總人數；用B類學生人數

除以總人數再乘以360。，即可得8類扇形的圓心角；先求出C類學生人數，進而可得

C類扇形所占的百分比.

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和所抽取的2名學生恰好是1名男生和1名女生

的結果數，再利用概率公式可得出答案.

解：（1）這次調查的總人數為6?15%=40（人），

扇形統(tǒng)計圖中，8類扇形的圓心角為圣X360°=108°,

40

。類的學生人數為40-6-12-4=18（人），

??.C類扇形所占的百分比為罷X100%=45%.

40

故答案為：40；108；45%.

（2）畫樹狀圖如下：

開始

/N不/1\小

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結果，其中所抽取的2名學生恰好是1名男生和1名女生的結果有8

種，

.?.所抽取的2名學生恰好是1名男生和1名女生的概率為

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計圖

和扇形統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵.

20.如圖，綜合實踐活動課中小明同學用自制的直角三角形模具。EF測量樹的高度48,他

調整自己的位置，讓斜邊。尸保持水平，并且邊DE與點8在同一直線上，DE=0.4m,

EF=0.3m,測得邊OF離地面高度AC=1.7m,CQ=8〃z,求樹高AB.

【分析】利用對△/)￡/和RtABCD相似求得BC的長，加上小明同學的身高即可求得樹

I^JAB.

解：?：NDEF=NDCB=90°,ZEDF=ZCDB,

:.叢DEFSXDCB,

.EF_DE

??前一記’

VEF=0.3,DE=0A,DC=8,

?.?0._3-0.4f

BC8

/.BC=6m,

：.AB=AC+BC=1.7+6=7.7Cm),

答：樹rWjA8為7.7/zz.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是證得△QEFs/xoa.

21.在aABC中，卷=2&，ZB=45°,以點A為直角頂點作等腰RtZxAOE.點。在BC

上，點E在AC上，點尸在BC上，且NEU>=45°,

(1)求證

(2)若CE=代，求C。的長.

【分析】(1)利用兩角分別相等的兩個三角形相似可證明出結論；

(2)利用求出。F=4,再證△EFCS^QEC,可求FC=1,進而解答

即可.

【解答】(1)證明：?；NEFD=45°,ZB=45°,

:./B=NEFD,

???△AOE是等腰直角三角形，

AZADE=45°,

,/NADF=ZADE+ZEDF^ZB+ZBAD,

：.NBAD=/EDF,

：.AABDsADFE；

(2)解：由(1)知△ABOSAQFE,

?.?_AB—AD,

DFDE

???△ADE是等腰直角三角形，

.AD1

??而能，

.AB.1

,,~DF=7T,

；AB=2亞，

：.DF=49

???AADE是等腰直角三角形，

AZAED=45°,

■:/EFD=45°,

；?NDEC=NEFC=180°-45°=135°,

又,.?NC=NC,

:.XDECSXEFC,

：.DC：EC=EC：CF,B|JE^FC*(4+FC),

VEC=V5，

：.5=FC(4+FC),

...FC=1(負的己舍)，

CD=FC+FD=1+4=5.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，掌握相似三角形

的判斷方法是解題的關鍵.

22.材料：對于一個關于x的二次三項式"2+6X+C(“WO),除了可以利用配方法求該多項

式的取值范圍外，愛思考的小寧同學還想到了利用根的判別式的方法，例：求H+2X+5

的最小值；

解：令x2+2x+5=y,.'.x2+2x+(5-y)=0,

AA=4-4X(5-y)20,...x2+2x+5的最小值為4.

請利用上述方法解決下列問題：如圖，在AABC中，8C=10,高49=8,矩形EFPQ的

一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AZ)交EF于點

(1)若EF=2EQ,求矩形EFPQ的面積；

(2)設EQ=x求矩形EFPQ的面積最大值.

【分析】(1)可證△AEFsAABC.從而得出與理，同時EF=2EQ,從而可求出EQ,

BCAD

進而求出矩形EFP。的面積；

(2)易得四邊形E。。，為矩形，貝IJ”O(jiān)=EQ=x,所以A”=AO-HO=8-x,由(1)

/XAEF^^ABC,利用相似比得到EF=-2x+10,設矩形EFPQ的面積為5,根據矩形

的面積公式得到S=x?(-鼻+10),把它整理為關于x的方程得到5X2-40X+4S=0,然

后利用判別式得到S的范圍，從而得到矩形EFPQ的面積最大值.

解：(1)..工。為高，

：.AD±BC,

:四邊形EFPQ為矩形，

：.EF//PQ,NFEQ=NEQP=96°,

??四邊形EQDH為矩形,

\HD=EQ,

；BC=10,A￡>=8,

\AH^AD-HD=S-EQ,

JEF//BC,

\△AEFS/XABC,

.EF_AH

?而而

.EF_8-EQ

"Io=8'

:EF=2EQ,

.2EQ=8-EQ

'~W~=8

40

,?EQ=

13

2-3200

?.矩形EFPQ的面積=E^E2=2EQ2=2X

嚙一_169,

(2)由題意和(1)知：BC=10,AQ=8,EQ=x,AH=8-x,KAAEF^AABC,

.里=旭即EF_8-x

"BC-AD