2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）7

試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）7姓名：___________班級：___________一．單選題1．【2023-新課標(biāo)全國Ⅰ卷真題】已知，則（）A. B. C.0 D.12．【2021-全國新高II卷】設(shè)集合，則（）A. B. C. D.3．【2021-新高考Ⅰ卷】已知，則（）A. B. C. D.4．【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】的展開式中的系數(shù)為（）．A. B. C.40 D.806．【2021-全國甲卷（理）】2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A.346 B.373 C.446 D.4737．【2021-新高考Ⅰ卷】若，則（）A. B. C. D.8．【2022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二．多選題9．【2021-全國新高II卷】下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)10．【2021-全國新高II卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.11．【2021-全國新高II卷】設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.三．填空題12．【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．13．【2023-全國數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】若為偶函數(shù)，則________．14．【2021-全國新高II卷】已知向量，，，_______．四．解答題15．【2021-天津卷】在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17．【2021-全國甲卷（理）】拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．18．【2022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．19．【2021-浙江卷】設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))答案第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）7【參考答案】1．答案:A解析：因為，所以，即．故選：A．2．答案:B解析：由題設(shè)可得，故，故選：B.3．答案:C解析：因為，故，故故選：C.4．答案:C解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.5．答案:D解析：的展開式的通項為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是二項式展開式通項的運(yùn)用，較簡單.6．答案:B解析：詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．7．答案:C解析：將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．8．答案:C解析：解：依題意可得，因，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．9．答案:AC解析：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.10．答案:BC解析：設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因為，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11．答案:ACD解析：對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.12．答案:解析：解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：

13．答案:2解析：，且函數(shù)為偶函數(shù)，，解得，故答案為：214．答案:解析：由已知可得，因此，.故答案為：.15．答案:（I）；（II）（III）解析：（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.16．答案:（1）見解析（2）見解析解析：（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，小問2詳解】因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因為，故平面，因為平面，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.17．答案:（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析解析：（2）先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；（2）要充分利用的對稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示.18．答案:（1）；（2）.解析：（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進(jìn)行化簡，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.19．答案:(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.解析：(2)將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點(diǎn)有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)有2個不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證