四川省綿陽市三臺中學校2023-2024學年高三下學期第三學月（4月）月考理科數(shù)學試題（含答案）

三臺中學2021級三診模擬考試理科數(shù)學本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內(nèi)．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結束后將答題卡收回．第Ⅰ卷共（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)的虛部是（）A． B． C．1 D．i2．集合，則（）A． B．1 C． D．或3．若實數(shù)滿足，則的最小值是（）A．0 B． C． D．4．為了豐富學生的假期生活，某學校為學生推薦了《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》和《三國演義》4部名著．甲同學準備從中任意選擇2部進行閱讀，那么《紅樓夢》被選中的概率為（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．為了積極推進國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該村兩年的經(jīng)濟收入構成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說法錯誤的是（）A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多B．2023年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多C．2023年“外出務工收入”是2022年“外出務工收入”的D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多7．是拋物線上一點，是的焦點，為的準線，于，若，則的周長為（）A． B． C．10 D．128．已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．9．數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，下列說法錯誤的是（）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．成等比數(shù)列10．如圖，已知圓的半徑為2，弦長為圓上一動點則的取值范圍為（）A． B．C． D．11．在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．12．若函數(shù)存在零點，則的最小值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在等差數(shù)列中，，則_______．14．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為_______．15．已知定義域為的奇函數(shù)，則的解集為_______．16．如圖，已知斜率為的直線與雙曲線的右支交于兩點，點關于坐標原點對稱的點為，且，則該雙曲線的離心率為_______．三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）乒乓球，被稱為中國的“國球”．某中學對學生參加乒乓球運動的情況進行調查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調查結果中隨機抽取100份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：乒乓球愛好者非乒乓球愛好者總計男4056女24總計100（1）補全列聯(lián)表，并判斷我們能否有99%的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關？（2）為了解學生的乒乓球運動水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結果相互獨立，記這3人獲勝的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828參考公式：．18．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別為．（1）求；（2）若點在上，且，求．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上．（1）證明：平面平面；（2）當時，求二面角的余弦值．20．（12分）平面內(nèi)動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是．（1）求點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點和，求四邊形面積的最小值．21．（12分）函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）記兩個極值點分別為，求證：．（二）選考題：共10分．請考生在題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的極坐標方程；（2）曲線與直線交于兩點，若，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實數(shù)滿足，求證：三臺中學2021級三診模擬考試理科數(shù)學參考答案一、選擇題：1-5CBDAC6-10CDBDC11-12AB12．由得，設，則在上單調遞增，，即．所以存在零點等價于方程有解，令，則，當時，；當時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以．二、填空題：13．614．15．16．16．如圖，設直線與軸交于點，取的中點，連接，由雙曲線的對稱性可知為線段的中點，則，所以．由直線的斜率，得，則直線的斜率．設，則兩式相減，得，化簡得，即，離心率．三、解答題：17．（1）依題意可得22列聯(lián)表如下：乒乓球愛好者非乒乓球愛好者總計男401656女202444總計6040100，我們有的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關．（2）由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生．則的可能取值為，所以，，所以的分布列為：0123所以．18．解：（1）因為，即，由正弦定理可得：，整理得，由余弦定理可得，且，所以．（2）因為，則，可得，則，即整理得，由余弦定理可得，則，即，所以．19．（1）因為底面平面，所以．四邊形是直角梯形，，因為，所以．所以，所以．又因為平面，所以平面．（2）以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設點的坐標為，因為，所以，即，所以．所以．設平面的一個法向量為，則，取，則，得．又因為平面，所以平面的一個法向量為．設平面與平面的夾角為，則．所以，二面角的余弦值為．20．（1）設，由題意有且，化簡得，即．（2）當其中一條直線的斜率不存在時，則一條為長軸長、另一條為過的通徑長，令，則，可得，故通徑長為3，而長軸長為，易得．當直線的斜率存在且不為0時，設直線的斜率為，則直線為，，化簡整理得，設，則，，，則直線的斜率為，同理，，令，則，當，即時等號成立，而，則四邊形面積的最小值為．21．（1）解：依題，函數(shù)的定義域為，所以在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須．令切點，所以，又，所以，解得，于是，所以．（2）解：由（1）可知分別是方程的兩個根，即．作差得，即．所以不等式，等價于，下面先證，即證，令，即證，令，則，在上單調遞增，，即得證，從而得證；再證，即證，即證，令，則，在上單調遞減，，即得證，從而得證，22．解：（1）因為曲線的參數(shù)