遼寧省大連市2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

年大連市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上作答，在試卷上作答無效．2．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）A．的標(biāo)準(zhǔn)差 B．的平均數(shù)C．的最大值 D．的中位數(shù)3．方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．且4．已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則5．將ABCDEF的六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中A，B分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）A．12種 B．18種 C．36種 D．54種6．若，且，則（）A． B． C． D．17．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓M的半徑為a（M為圓心），且，使得，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A．已知，若，則B．復(fù)數(shù)滿足，則C．復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線D．復(fù)數(shù)z滿足，則10．已知函數(shù)，若，且，都有，則（）A．在單調(diào)遞減B．的圖像關(guān)于對(duì)稱C．直線是一條切線D．的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)是偶函數(shù)11．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若，且，則（）A．是奇函數(shù) B．是減函數(shù)C． D．是的極小值點(diǎn)第Ⅱ卷三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）12．“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件是實(shí)數(shù)______．13．在邊長為4的正方形ABCD中，如圖1所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖2所示，則三棱錐外接球的表面積是_________；過點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是_________．14．已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖多面體ABCDEF中，面面，為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，，且，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；（Ⅲ）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若恒成立，求a的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．17．（本小題滿分15分）一個(gè)不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，停止取球．（Ⅰ）求停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球的概率；（Ⅱ）停止取球時(shí)，記總的抽取次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望：（Ⅲ）現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中，甲盒裝3個(gè)小球，其中2個(gè)白球，1個(gè)黑球：乙盒裝4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望，并從實(shí)際意義解釋X與Y的數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系．18．（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為G．（Ⅰ）求曲線G的方程：（Ⅱ）若P，C，D為曲線G上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)Q到直線PC的距離為1．（?。┤酎c(diǎn)Q為重心，用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ⅱ）若，求a的取值范圍．19．（本小題滿分17分）對(duì)于數(shù)列，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列，其中，且．這種“T變換”記作，繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．（Ⅰ）寫出數(shù)列A：3，6，5經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列：（Ⅱ）若不全相等，判斷數(shù)列不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說明理由；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列A：2020，2，2024經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．2024年大連市高三第一次模擬測試參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題1．C；2．A；3．D；4．D；5．B；6．A；7．C；8．A．8．【解析】設(shè)因?yàn)?，所以，所以，又，解得，所以．所以，解得，所以，代入雙曲線方程得：，解得，所以．故選：A二、多項(xiàng)選擇題9．BCD；10．BC；11．ACD．11．解：法一：令，得，令，得，所以是奇函數(shù)，A正確；，得，設(shè)，則，解得，所以，所以B錯(cuò)誤；C，D正確；故選ACD．法二：令，又，，，，或在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，是的極小值．第Ⅱ卷三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）12．0；13．；解：由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2，2，4長方體，如圖所示：三棱錐外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，所以外接球的直徑，所以三棱錐外接球的表面積為，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過球心的大圓，此時(shí)截面圓的面積為，最小截面為過點(diǎn)垂直于球心與連線的圓，此時(shí)截面圓半徑，截面圓的面積為，所以過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為．14．．解：，所以．四、解答題：（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．解：（Ⅰ）在正方形中，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面平面，又平面；（Ⅱ）面面為等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為，所以又因?yàn)槊婷婷?，則面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，則，則所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則取得，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為則取得，所以，所以，所以平面與與平面成角的余弦值為；（Ⅲ），如圖所示：（兩種作圖都給分）16．解：（Ⅰ）由已知得，在上恒成立，設(shè)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，即（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知時(shí)，恒成立，取，得成立．所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，時(shí)，在上為增函數(shù)，．所以時(shí)，，即．由此可證，當(dāng)時(shí)，成立．（Ⅱ）法二：當(dāng)時(shí)，若證成立．即證，設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)．，在上為增函數(shù)，由此可證，當(dāng)時(shí)，成立．17．解：（Ⅰ）設(shè)“停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球”為事件，則；（Ⅱ）的可能取值為3，4，5，6，，，，，所以的分布列為3456的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）的可能取值為3，4，5，6，設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為，因?yàn)橐液兄袃煞N小球個(gè)數(shù)相同，所以無論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即可，，，，，的數(shù)學(xué)期望，在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低．18．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，即，，，，化簡得曲線的方程：；（Ⅱ）（?。┙夥?：設(shè)，點(diǎn)到直線的距離相等，為的角平分線．又為重心為的中線，可得，為重心①設(shè)直線方程為：，直線方程為：，是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，，可得同理，即是方程的兩根，，聯(lián)立可得：，，同理，點(diǎn)為重心，，即，又，故點(diǎn)的坐標(biāo)為②聯(lián)立①②可得即注意：本題只需得出①或者②兩種表達(dá)式之一即可得滿分，多寫不加分（本問6分）（ⅱ）由（?。┲?，，，等價(jià)于時(shí)滿足題意．（?。┙夥?：是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，直線與圓相切，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)分別為，可得直線方程為：，同理直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在兩條直線上，所以可知直線的方程為，代入圓方程可得：即：設(shè)直線的斜率，直線的斜率為，即，聯(lián)立直線與拋物線方程，，可得：，，同理可得，點(diǎn)為重心，，即，又故點(diǎn)的坐標(biāo)為②其余過程同解法1．19．解：（Ⅰ）由題知，5次變換得到的數(shù)列依次為3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以數(shù)列A：3，6，5經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列為0，1，1：（Ⅱ）數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”不會(huì)結(jié)束，設(shè)數(shù)列，且，由題可知：，，即非零常數(shù)列才能經(jīng)過“變換”結(jié)束；設(shè)（為非零常數(shù)列），則為變換得到數(shù)列的前兩項(xiàng)，數(shù)列只有四種可能：，而以上四種情況，數(shù)列的第三項(xiàng)只能是0或，即不存在數(shù)列，使得其經(jīng)過“變換”變成非零常數(shù)列，故數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”不會(huì)結(jié)束；（Ⅲ）數(shù)列經(jīng)過一次“變換”后得到數(shù)列，其結(jié)構(gòu)為（遠(yuǎn)大于4）數(shù)列經(jīng)過6次“變換”后得