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文檔簡介
2023-2024學(xué)年福建省福安市一中高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則()A.或 B.或C.或 D.或2.在中,角的對邊分別為,,若,,且,則的面積為()A. B. C. D.3.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c4.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.5.設(shè),集合,則()A. B. C. D.6.已知集合,,則=()A. B. C. D.7.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.8.要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍B.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍C.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍D.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.10.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件11.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______14.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為_____.15.函數(shù)的極大值為______.16.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足.(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與(Ⅰ)中曲線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求△面積的最大值及此時(shí)直線的方程.18.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點(diǎn),連接,為的中點(diǎn),連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).20.(12分)某商店舉行促銷反饋活動(dòng),顧客購物每滿200元,有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次,滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次,依次類推).抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下:在一個(gè)不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金20元;其余情況獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金10元.(1)某人抽獎(jiǎng)一次,求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會,求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求的值22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計(jì)算,結(jié)合對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對稱當(dāng)時(shí),,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.2、C【解析】
由,可得,化簡利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面積.【詳解】解:,,且,,化為:.,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.3、A【解析】
利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.5、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.6、C【解析】
計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.8、D【解析】
先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識,選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意,所以由向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查誘導(dǎo)公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
由程序語言依次計(jì)算,直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí),時(shí),,此時(shí)輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】
向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12、B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當(dāng)時(shí),顯然,符合題意;當(dāng)時(shí),在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.14、2.【解析】
由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求函的定義域,再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),再解不等式得單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得極值點(diǎn),即可求出函數(shù)的極大值.【詳解】函數(shù),,,令得,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)取到極大值,極大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用.16、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程;(2)設(shè)出直線方程后,采用(表示原點(diǎn)到直線的距離)表示面積,最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解:(Ⅰ)由定義法可得,點(diǎn)的軌跡為橢圓且,.因此橢圓的方程為.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為與橢圓交于點(diǎn),,聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得,即,.面積可表示為令,則,上式可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,因此面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題:(1)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足且,則的軌跡是橢圓;(2)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足且,則的軌跡是雙曲線.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點(diǎn),,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可?!驹斀狻浚?)當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當(dāng)時(shí),有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗(yàn)符合;②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有?!军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識,利用所學(xué)知識分析解決新定義問題。20、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元,可能是三次二等獎(jiǎng),也可能是一次一等獎(jiǎng),兩次三等獎(jiǎng),然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會,設(shè)恰好獲得60元為事件A,因?yàn)?0=20×3=40+10+10,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).21、(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2).【解析】
(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程,利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),并設(shè)點(diǎn)、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、,利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】(1)由,得,,曲線的普通方程為,由,得,直線的直角坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,得,則,設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)分別為、,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.22、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)
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