參數(shù)方程與極坐標(biāo)講義 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

參數(shù)方程與極坐標(biāo)及其應(yīng)用一．基本原理(1)設(shè)過點(diǎn),傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點(diǎn)為直線上的任一點(diǎn),由的參數(shù)方程知,,即,則表示直線上與兩點(diǎn)間的距離.(2)由直線參數(shù)方程中參數(shù)的意義知,分別為直線上任意兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù),由參數(shù)方程可求出交點(diǎn)坐標(biāo)為： ①那么由兩點(diǎn)間距離公式可得：②由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：若為中點(diǎn)，則的參數(shù)值為(2)根參數(shù)的幾何意義,可知，,具體取值由點(diǎn)與點(diǎn)的相對位置決定,則若點(diǎn)同時(shí)又在二次曲線上，那么可將直線參數(shù)方程代入曲線方程，即可解得含參數(shù)t的一元二次方程，通過韋達(dá)定理判斷具體位置并轉(zhuǎn)化出上述線段關(guān)系的具體形式.二．典例分析例1．（2023·全國甲卷高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）求；（2）設(shè)為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．解析：（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）★方法1：弦長與點(diǎn)線距表示面積因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．★方法2：焦半徑表示面積設(shè)直線,,則因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．而或，所以，?dāng)時(shí)，的面積．★方法3：極坐標(biāo)以為極點(diǎn),為極軸建立極坐標(biāo)系,不妨設(shè)在繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后一側(cè)設(shè),.則則，注意到(當(dāng)時(shí),等號成立)，所以：故面積的最小值是.例2（2021新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，且滿足，求直線與直線的斜率之和.解析：（1）略.解析：（2）設(shè)，直線的傾斜角為，其參數(shù)方程為，將直線參數(shù)方程代入到雙曲線方程可得：．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為：，進(jìn)一步，設(shè)點(diǎn)所對的參數(shù)分別為，將