14.1.4整式的乘法（一）（解析版）

整式的乘法（一）知識點管理知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究知識點一：單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.題型一：單項式乘單項式計算【例題1】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）計算：【答案】【分析】先計算積的乘方，冪的乘方，再算同底數(shù)冪相乘即可；【詳解】原式==【點睛】本題考查了單項式的乘法，計算積的乘方，冪的乘方，以及同底數(shù)冪相乘，熟悉掌握以上運算法則是解題的關鍵．變式訓練【變式1-1】（2020·四川遂寧·八年級期末）．【答案】【分析】先計算積的乘方，再運用單項式的乘法進行計算．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了積的乘方，單項式的乘法運算．解題的關鍵在于正確的計算．【變式1-2】（2021·吉林長春·八年級期末）計算：．【答案】【分析】先算積的乘方，再算單項式乘以單項式即可．【詳解】【點睛】本題考查單項式乘單項式，積的乘方，熟練掌握單項式乘單項式法則，積的乘方運算法則是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：．【答案】【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運算法則進行計算．【詳解】解：．【點睛】本題考查單項式乘單項式的運算．理解單項式乘單項式的運算法則，掌握同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題關鍵．題型二：利用單項式乘單項式求字母的值【例題2】（2021·河南開封·八年級期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，則m＝___，k＝___．【答案】

3

8【分析】由單項式乘以單項式的乘法法則得到，由此可得，從而求得結果．【詳解】解：∵∴∴故答案為：3；8【點睛】本題考查利用單項式乘以單項式求字母的值，牢記相關知識點是解題的關鍵．變式訓練【變式2-1】（2020·全國·八年級課時練習）若單項式與的積為，則________．【答案】-2【分析】根據(jù)整式的乘法運算法則即可求解．【詳解】由題意，得，，則．故答案為：-2．【點睛】此題主要考查整式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．【變式2-2】（全國·七年級課時練習）若，則______.【答案】8【分析】先把等號左邊的代數(shù)式進行化簡，然后指數(shù)相等求出m、n的值，進行計算即可.【詳解】解：，∴，，∴，，∴；故答案為8.【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，以及積的乘方運算，冪的乘方運算，同底數(shù)冪相乘，解題的關鍵是掌握單項式乘以單項式的運算法則.【變式2-3】（2022·全國·七年級專題練習）若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝_____．【答案】8【分析】根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則計算，然后根據(jù)相同字母的指數(shù)相等列方程組即可求出m、n．【詳解】解：，∴，解方程組得：，，故答案為8．【點睛】本題考查了單項式乘單項式，熟記法則是解題的關鍵．知識點二：單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.題型三：單項式乘以多項式計算【例題3】（2022·湖南岳陽·七年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算積的乘方和冪的乘方，再算單項式乘多項式即可；（2）先算積的乘方，再算單項式乘多項式即可．（1）=-8a6b3?（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2）【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，積的乘方和冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．變式訓練【變式3-1】（2022·陜西·紫陽縣師訓教研中心八年級期末）計算：【答案】【分析】根據(jù)單項式乘以多項式進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了單項式乘以多項式，正確的計算是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)單項式乘多項式法則算乘法，再合并同類項即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查整式的混合運算：先進行整式的乘方運算，再進行整式的乘除運算，然后進行整式的加減運算；涉及到合并同類項，單項式乘多項式法則等知識點．能正確運用知識點進行計算是解此題的關鍵．【變式3-3】（2022·廣西貴港·七年級期中）先化簡，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2.【答案】﹣20a2+9a；-98【分析】先計算整式的乘法，然后計算加減，最后代入求值即可.【詳解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2+9a，當a＝﹣2時，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98.【點睛】題目主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵.題型四：利用單項式乘以多項式求字母值【例題4】（2021·全國·七年級專題練習）若的結果中不含項，則____________．【答案】0【分析】先利用單項式乘以多項式的法則計算，根據(jù)結果中不含x4項即可確定出a的值．【詳解】解：，由結果中不含x4項，得到-5a=0，即a=0，故答案為：0．【點睛】此題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數(shù)為0．變式訓練【變式4-1】（河南南陽·八年級期中）若是一個單項式，且，則__．【答案】．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了多項式除以單項式，正確將原式變形是解題關鍵．【變式4-2】（2021·江蘇·七年級專題練習）若恒成立，則______．【答案】-4【分析】去括號先根據(jù)合并同類項法則化簡，根據(jù)已知找對應的單項式的系數(shù)相同即可得到答案．【詳解】解：，恒成立，，，，，，，所以．故答案為：-4．【點睛】本主要考查整式的乘法和合并同類項法則，明確化簡前后單項式的系數(shù)相同是解決問題的關鍵．【變式4-3】（2020·全國）若的展開式中只含有項，則m的值為________．【答案】4【分析】利用單項式乘以多項式的運算法則先將原式展開，再合并同類項，根據(jù)題意，只需系數(shù)不為零，其他項的系數(shù)為零即可解答．【詳解】[解析]．∵的展開式中只含有項，∴，解得，故答案為：4．【點睛】本題考查單項式乘多項式、合并同類項，掌握單項式乘以多項式的運算法則，能根據(jù)題意得出等價條件是解答的關鍵．題型五：單項式乘以多項式應用【例題5】（2021·四川）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為______．【答案】1：3【分析】根據(jù)題意和圖形，設BC的長為x，則可以表示出左上角與右下角的陰影部分的面積的差，然后再根據(jù)左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，即可得到b：a的值．【詳解】設BC的長為x，左上角與右下角的陰影部分的面積的差為：（x﹣a）?3b﹣（x﹣4b）?a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案為：1：3．【點睛】本題考查整式的加減，關鍵是表示出兩個陰影部分的面積，并能正確進行整式的加減運算．變式訓練【變式5-1】（2021·石家莊市第四十中學九年級二模）已知，分別以長度為a、b、c的線段為邊長構造三個正方形，按如圖所示的方式放置，則圖中兩陰影部分面積的大小關系為________（填>、=或<）．【答案】=【分析】根據(jù)面積和與差求出S1與S2，利用轉化為統(tǒng)一形式，進行比較即可【詳解】解：∵，∴∵，，∴．故答案為=．【點睛】本題考查列代數(shù)式，單項式與多項式乘法和代數(shù)式恒等變形，掌握列代數(shù)式的方法與技巧，以及利用進行恒等變形是解題關鍵．【變式5-2】（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）一塊長方形硬紙片，長為米、寬為米，在它的四個角上分別剪去一個邊長為米的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子．(1)這個盒子的長為，寬為，高為；(2)求這個無蓋盒子的外表面積．【答案】(1)米；米；米(2)平方米【分析】（1）盒子的長＝長方形的長－小正方形邊長的倍，盒子的寬＝長方形的寬－小正方形邊長的倍，盒子的高＝小正方形邊長；（2）利用紙片的面積減去剪去的個小正方形的面積就是盒子的表面積．（1）解：盒子的長為：（米）；盒子的寬為：（米）；盒子的高為：a2（米）．故答案為：米；米；米．（2）∵紙片的面積是：（平方米），小正方形的面積是：（平方米），∴無蓋盒子的外表面積是：（平方米）．∴這個無蓋盒子的外表面積為平方米．【點睛】本題考查整式的運算，涉及整式的減法，單項式乘多項式，積的乘方，合并同類項等知識．理解紙片的面積減去剪去的個小正方形的面積就是盒子的表面積是解題的關鍵．【變式5-3】（2022·安徽合肥·七年級期中）某同學在計算一個多項式M乘以-2a時，因抄錯運算符號，算成了加上-2a，得到的結果是a+2a-1，(1)求這個多項式M；(2)求出正確的運算結果．【答案】(1)a+4a-1(2)-2a-8a+2a【分析】（1）根據(jù)題意可知，再根據(jù)按照去括號、合并同類項的順序計算即可；（2）利用單項式乘多項式的法則進行計算即可．（1）解：∵計算一個多項式乘以-2a時，因抄錯運算符號，算成了加上-2a，得到的結果是a+2a-1，∴這個多項式；（2）正確的計算結果是：．【點睛】本題主要考查了整式的加減以及單項式乘多項式的知識，掌握去括號法則、合并同類項法則以及單項式乘多項式法則是解題的關鍵．鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·貴州黔西·中考真題）計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算積的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，即可得．【詳解】=故選：C．【點睛】本題考查了單項式乘單項式，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，能靈活運用法則進行計算是解題的關鍵．【真題2】（2022·陜西·中考真題）計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用單項式乘單項式的法則進行計算即可．【詳解】解：．故選：C．【點睛】本題考查了單項式乘單項式的運算，正確地計算能力是解決問題的關鍵．【真題3】（2020·湖南岳陽·中考真題）已知，則代數(shù)式的值為___________．【答案】4【分析】先根據(jù)整式的乘法去括號化簡代數(shù)式，再將已知式子的值代入求值即可．【詳解】將代入得：原式故答案為：4．【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值，利用整式的乘法對代數(shù)式進行化簡是解題關鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2021·湖南常德·中考真題）如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個圖形有個正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有個小正方形，所有線段的和為24，按此規(guī)律，則第n個網(wǎng)格所有線段的和為____________．(用含n的代數(shù)式表示)【答案】2n2+2n【分析】本題要通過第1、2、3和4個圖案找出普遍規(guī)律，進而得出第n個圖案的規(guī)律為Sn=4n+2n×(n-1)，得出結論即可．【詳解】解：觀察圖形可知：第1個圖案由1個小正方形組成，共用的木條根數(shù)第2個圖案由4個小正方形組成，共用的木條根數(shù)第3個圖案由9個小正方形組成，共用的木條根數(shù)第4個圖案由16個小正方形組成，共用的木條根數(shù)…由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：第n個圖案由n2個小正方形組成，共用的木條根數(shù)故答案為：2n2+2n．【點睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，熟練找出前四個圖形的規(guī)律是解題的關鍵．【拓展2】（2021·湖南）如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，擺第個圖案需要_______________枚棋子．【答案】【分析】本題可依次解出n=1，2，3，…，圖案需要的棋子枚數(shù)．再根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第n個圖案需要的棋子枚數(shù)．【詳解】解：時，總數(shù)是；時，總數(shù)為；時，總數(shù)為枚；…；時，有枚．故答案為：．【點