2023年暑假作業(yè)高一數(shù)學(xué)第13練 統(tǒng)計（解析）

第13練統(tǒng)計

積累整.

知識點一：隨機抽樣

1全面調(diào)查和抽樣調(diào)查

(1)全面調(diào)查

定義：對每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查.

相關(guān)概念：在一個調(diào)查中，把調(diào)查對象的全體稱為總體，組成總體的每一個調(diào)查對象稱

為個體.

(2)抽樣調(diào)查

定義：根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況

作出估計和推斷的調(diào)查方法.

相關(guān)概念：把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量.

2簡單隨機抽樣

一般地，設(shè)一個總體含有MN為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取〃(1W"UV)個個體作為

樣本.

如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，把這樣的抽

樣方法叫做放回簡單隨機抽樣.

如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等,

把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.

放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得

的樣本稱為簡單隨機樣本.

3抽簽法、隨機數(shù)法

(1)抽簽法：先給總體中的N個個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的

小紙片(也可以是卡月?、小球等)上作為號簽，并將號簽放在一個不透明容器中，充分攪拌后，

每次從中不放回地抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進入樣本，

就得到一個容量為〃的樣本.

(2)隨機數(shù)法

①用隨機試驗生成隨機數(shù).

②用信息技術(shù)生成隨機數(shù)：a.用計算器生成隨機數(shù)；b.用電子表格軟件生成隨機數(shù)；c.

用統(tǒng)計軟件生成隨機數(shù).

4總體均值和樣本均值

(1)總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為H，匕，…，YN，則稱y=

N

人+%+…+八1

——為總體均值，又稱總體平均數(shù).

(2)總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有MAWA9個，不妨

記為匕，匕，…，匕，其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)￡。=1,2,…，％),則總體均值還可以寫成加權(quán)

-k

1

平均數(shù)的形式力匕.

(3)樣本均值：如果從總體中抽取一個容量為，的樣本，它們的變量值分別為力,”，…，孫,

則稱y=肛+為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).

“j=l

(4)在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)y去估計總體平均數(shù)V.

知識點二：分層隨機抽樣

1分層隨機抽樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子

總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作

為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.

(1)每一個子總體稱為層，在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，

那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

(2)如果總體分為2層，兩層包含的個體數(shù)分別為M,N,兩層抽取的樣本量分別為處

n,兩層的樣本平均數(shù)分別為x,y,兩層的總體平均數(shù)分別為X,丫，總體平均數(shù)為W,

樣本平均數(shù)為

w

則=工x+-y,W=4普A/X+八4七/Y.

m+nm]-n7M+NM+N

由于可用每層的樣本平均數(shù)估計每層的總體平均數(shù)，故可用正%X+荷%y估計總體平均

數(shù)W.

(3)在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)w估計總體平均數(shù)

2分層隨機抽樣的適用條件

分層隨機抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的

一致性，這對提高樣本的代表性非常重要.當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選

用分層隨機抽樣的方法.

3獲取數(shù)據(jù)的途徑

獲取數(shù)據(jù)的基本途徑有通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)、通過試驗獲取數(shù)據(jù)、通過觀察獲取數(shù)據(jù)、

通過查詢獲得數(shù)據(jù)等.

知識點三：用樣本估計總體

1頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

(2)決定組距與組數(shù)

將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的

分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.

(3)將數(shù)據(jù)分組

(4)列頻率分布表

々,一〃一+小組頻數(shù)

各小組的糊率=樣本容量.

(5)畫頻率分布直方圖

縱軸表示蠢，舞實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積=組

距、蠢頻率=頻率?

2三種統(tǒng)計圖的用途、優(yōu)點、缺點

(1)條形圖

人數(shù)/人

□視力低于4.8

□視力不低于4.8

400

2(X)

高一高二高三年級

用途：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

優(yōu)點：當數(shù)據(jù)量很大時，它能更直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，并能清晰地表示出各

個區(qū)間的具體數(shù)目.

缺點：會損失數(shù)據(jù)的部分信息.

⑵折線圖

體溫/t

061218061218061218時同/h

9月7日9月8口9月9日

用途：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.

優(yōu)點：可以表示數(shù)量的多少，直觀反映數(shù)量的增減情況，即變化趨勢.

缺點：不能直觀反映數(shù)據(jù)的分布情況.

(3)扇形圖

雜項商品和服務(wù)3.5%

居住II.4%

教育文化娛樂「會食品39.4%

服務(wù)15.9%

交通和通信戈??；

10.7%衣著5.9%

醫(yī)療保健

家庭設(shè)備用品

7.0%

及服務(wù)6.2%

用途：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.

優(yōu)點：可以直觀地反映出各種情況所占的比例.

缺點：看不出具體數(shù)據(jù)的多少.

知識點四：百分位數(shù)

1第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有0%的數(shù)據(jù)

小于或等于這個值，且至少有(100—p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟如下：

第一步，按從〃到龍F列原始數(shù)據(jù).

第二步，計算i=〃Xp%.

第三步，若，?不是整數(shù)，而大于，?的比鄰整數(shù)為則第p百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若i

是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第7+1)磁據(jù)的平均數(shù).

3四分位數(shù)

第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)這三個分位數(shù)把一組由小到龍F列后

的數(shù)據(jù)分成四等分，因此稱為皿位教，其中第25百分位數(shù)也稱為第一期■役數(shù)或方四分

位數(shù),第75百，分位數(shù)也強為第三四分位數(shù)學(xué)上四分位數(shù).

4頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計算

確定百分位數(shù)所在的區(qū)間仞，b).

確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為九％,八％,則第p百分位數(shù)為a+

p%—fa%

X(b—a).

fb%一§a%

知識點五：總體的集中趨勢

1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)_的順序排列，處在中間位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的平

均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)中位數(shù).

(3)平均數(shù)：如果有"個數(shù)xi,也，…，x,?那么x=&xl+x2+…+xn)叫做這"個數(shù)的平均數(shù).

2總體集中趨勢的估計

(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了?組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

(2)一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；

而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).

3頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法

(I)樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

(2)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.

(3)將最高小矩形所在的區(qū)間中點作為眾數(shù)的估計值.

知識點六：總體的離散程度

1極差

一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.極差越大，波動范圍越大.

2方差、標準差

n

假設(shè)一組數(shù)據(jù)為制，X2,…，斯，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)X=1+立…方差S2=，￡

n%

3總體方差、總體標準差

-N

如果總體中所有個體的變量值分別為H，丫2,…，自，總體平均數(shù)為Y，則稱(Y,

**/=1

一丫)2為總體方差，5=正為總體標準差.

如果總體的N個變量值中，不同的值共有個，不妨記為H，匕，…，匕，其中匕出

1

現(xiàn)的頻數(shù)為/V=i,2,k),則總體方差為$2=不￡方化一y)2.

4樣本方差、樣本標準差

-n

1

如果一個樣本中個體的變量值分別為“，及，…，為，樣本平均數(shù)為了，則稱$2=;;￡(y-

ni=i

y產(chǎn)為樣本方差，s=近為樣本標準差.

5標準差(方差)的兩個作用

(1)標準差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小.

(2)在實際應(yīng)用中，常常把平均數(shù)與標準差結(jié)合起來進行決策.在平均數(shù)相等的情況下，

比較方差或標準差以確定穩(wěn)定性.

6方差的性質(zhì)

若x”xi,…，X”的方差為S2,貝ijwxi+a,〃肥+小…，〃優(yōu)”+a的方差為加2s4

7分層隨機抽樣的平均數(shù)與方差的求法

(1)分層隨機抽樣的平均數(shù)的求法

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為XI，X2,―,X"和孫，W2,—,W,?則

這個樣本的平均數(shù)X=皿X\-\-W2X2-\----\-WnX

(2)方差計算公式

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為X”尤2,…，X"，方差分別為S,S2?,…，S.2,相

n___

應(yīng)的權(quán)重分別為孫，W2，…，Wn,則這個樣本的方差為$2=￡皿［歷2+(*］—X尸］,X為總

i=l

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).

一、單選題

1.下列哪種工作不能使用抽樣方法進行()

A.測定一批炮彈的射程

B.測定海洋水域的某種微生物的含量

C.高考結(jié)束后，國家高考命題中心計算數(shù)學(xué)試卷中每個題目的難度

D.檢測某學(xué)校全體高三學(xué)生的身高和體重的情況

【答案】D

【分析】抽樣是為了用總體中的部分個體(即樣本)來估計總體的情況，分別判斷各個選項即

可.

【詳解】抽樣是為了用總體中的部分個體（即樣本）來估計總體的情況，選項A、B、C都是從

總體中抽取部分個體進行檢驗.

選項D是檢測全體學(xué)生的身體狀況，所以，要對全體學(xué)生的身體都進行檢驗，而不能采取

抽樣的方法.

故選:D.

2.現(xiàn)要用隨機數(shù)表法從總體容量為240（編號為001到240）的研究對象中挑選出50個樣本，

則在下列數(shù)表中按從左至右的方式抽取到的第四個對象的編號為（）

3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145

A.5B.44C.165D.210

【答案】D

【分析】由隨機數(shù)表抽樣方法可知答案.

【詳解】由隨機數(shù)表抽樣方法可知，以3個數(shù)字為單位抽取數(shù)字，且數(shù)字不能大于240,且

要去掉重復(fù)數(shù)字，據(jù)此第一個數(shù)字為114,第二個為165,第三個為100,第4個為210.

故選：D

3.有甲、乙兩箱籃球，其中甲箱27個，乙箱9個，現(xiàn)從這兩箱籃球中隨機抽取4個，甲箱

抽3個，乙箱抽1個.下列說法不正確的是（）

A.總體是36個籃球B.樣本是4個籃球

C.樣本容量是4D.每個籃球被抽到的可能性不同

【答案】D

【分析】利用樣本、樣本容量、總體的意義，逐項分析判斷作答.

【詳解】依題意，總體是36個籃球，樣本是4個籃球，樣本容量是4,選項A,B,C都正

確；

甲箱抽3個，每個球被抽到的概率為,乙箱抽1個，每個球被抽到的概率為則每個

籃球被抽到的可能性相同，D不正確.

故選：D

4.某公司員工對戶外運動分別持"喜歡""不喜歡"和"一般"三種態(tài)度，其中持"一般"態(tài)度的比

持“不喜歡"態(tài)度的多12人，采用按比例分配分層隨機抽樣方法從該公司全體員工中選出部

分員工座談，如果選出的人中有6人對戶外運動持"喜歡"態(tài)度，有1人對戶外運動持“不喜

歡”態(tài)度，有3人對戶外運動持"一般"態(tài)度，那么這個公司全體員工中對戶外運動持“喜歡"

態(tài)度的人數(shù)為（）

A.36B.6C.12D.18

【答案】A

【分析岫題設(shè)出"喜歡""不喜歡"和"一般"三種態(tài)度的人數(shù)分別為6x,x,3x,從而3x-x=12,

解得X,進而可得解.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點，設(shè)持"喜歡""不喜歡""一般"態(tài)度的人數(shù)分別為6x,x,3x,

由題意可得3x-x=12,解得x=6,所以持"喜歡”態(tài)度的有6x=36（人）.

故選：A

5.某中學(xué)高一年級有20個班，每班50人；高二年級有30個班，每班45人.甲就讀于高一，

乙就讀于高二.學(xué)校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查，下列說法：①應(yīng)該采

取分層隨機抽樣法；②高一、高二年級分別抽取100人和135人；③乙被抽到的可能性比

甲的大；④該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力.其中正確的有（）

A.①B.①③C.②③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念對四種說法逐個判斷可得答案.

【詳解】因為總體是由差異明顯的兩部分組成的，所以應(yīng)該采取分層隨機抽樣，故①正確；

高一共有20x50=1000人，高二共有30X45=1350人，從這兩個年級2350人中共抽取

235人進行視力調(diào)查，高一應(yīng)抽取黑X235=100人，高二應(yīng)抽取翳X235=135人，故

②正確；

甲被抽到的可能性為簫=2乙被抽到的可能性為急=2，甲和乙被抽到的可能性相等,

故③不正確；

該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力是正確，故④正確.

所以正確的說法是：①②④.

故選：D

6.2022年，中央網(wǎng)信辦舉報中心受理網(wǎng)民舉報違法和不良信息1.72億件.下面是2021年、

2022年連續(xù)兩年逐月全國網(wǎng)絡(luò)違法和不良信息舉報受理情況數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖，下面說法中塔

TF2O221473,712332125K6160191534.3I49S.71441.416017I51X.KI400JIINX.31461?

A.2022年比2021年平均每月舉報信息數(shù)量多B.舉報信息數(shù)量按月份比較，8月平均

最多

C.兩年從2月到4月舉報信息數(shù)量都依次增多D.2022年比2021年舉報信息數(shù)據(jù)的標

準差大

【答案】D

【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)逐項計算得出結(jié)論.

【詳解】對于A,由圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)基本在2021年之上，但7月份，8月份和

11月份2021年的數(shù)據(jù)較2022年大，

其差距與1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均數(shù)要大一些，正確：

對于B,從2年的角度看，8月份平均最多，正確；

對于C,從圖表可以看出，從2月份到4月份，兩條曲線都是遞增的，正確；

對于D,從圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)更加集中，即標準差更小，錯誤；

故選：D.

7.某高中社會實踐小組為課題"高中生作業(yè)情況研究”進行周末作業(yè)時長調(diào)研，利用課間分

別對高一、高二、高三年級進行隨機采訪，按年級人數(shù)比例進行抽樣，各年級分別有效采訪

56人、62人、52人，經(jīng)計算各年級周末作業(yè)完成時間分別為（平均）3小時、3.5小時、

4.5小時，則估計總體平均數(shù)是（）.

A.3.54小時B.3.64小時C.3.67小時D.3.72小時

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)定義求解.

【詳解】三個年級抽樣人數(shù)的總時長=56x3+62X3.5+52x4.5=619,

三個年級抽樣人數(shù)的平均時長=619+（56+62+52）?3.64,

根據(jù)樣本估計總體，二總體的平均時長約為3.64（小時）；

故選：B.

8.下列表述不正確的是（）

A.總體的50%分位數(shù)就是總體的中位數(shù)

B.第p百分位數(shù)可以有單位

C.一個總體的四分位數(shù)有4個

D.樣本容量越大，第p百分位數(shù)估計總體就越準確

【答案】C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義分別判斷各個選項即可.

（詳解】50%分位數(shù)就是總體的中位數(shù)，故A選項正確，

第p百分位數(shù)可以有單位，故B選項正確，

一個總體的25%分位數(shù)，50%分位數(shù)，75%分位數(shù)是總體的四分位數(shù)，有3個，所以C錯誤.

樣本容量越大，第p百分位數(shù)估計總體就越準確，故D選項正確.

故選：c.

9.如圖，樣本A和3分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為心和知，樣本標

A.xA>xB,SA>SB，yA<yBB.xA<xB,>sB,yA>yB

C.xA>xB,sA<sB,yA>yBD.xA<xB,sA<sB,yA<yB

【答案】B

【分析】根據(jù)折線圖的分布可判斷兩個樣本的均值、極差和方差的大小，故可得正確的選項.

【詳解】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在［2.5,10］之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在［10,15］之間，

由折線圖可得象<10,瑪>10,故&<焉，而樣本極差為=7.5>5=為，

又樣本B的數(shù)據(jù)波動較小，故”>SB，

故選：B.

10.2021年5月22日上午10點40分，祝融號火星車安全駛離著陸平臺，到達火星表面,

開始巡視探測.為了幫助同學(xué)們深入了解祝融號的相關(guān)知識，某學(xué)校進行了一次航天知識講

座，講座結(jié)束之后，學(xué)校進行了一次相關(guān)知識測試（滿分100分），學(xué)生得分都在［50,100］內(nèi)，

其頻率分布直方圖如下，若各組分數(shù)用該組的中間值代替，估計這些學(xué)生得分的平均數(shù)為

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由頻率之和為1,可得m的值，然后結(jié)合平均數(shù)的計算公式，代入計算,

即可得到結(jié)果.

【詳解】由條件可得（0.004+m+0.054+0.012+0.010）x10=1,則m=0.020,故得分

的平均數(shù)為：（0.004x55+0.020x65+0.054x75+0.012x854-0.010X95）x10=

75.4.

故選：C

11.設(shè)一組數(shù)據(jù)X1，X2,…,Xn的方差為12，則數(shù)據(jù)由X1，有如…，4%的方差為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】數(shù)據(jù)axi，a&，…,的方差是數(shù)據(jù)%,小,…，為的方差的a2倍

【詳解】因為修j2,…，如的方差為L2，

所以數(shù)據(jù)逐電花打，…，而xn的方差為（遍）x1.2=6,

故選：A.

12.隨著人口紅利的消失和智能制造趨勢的演進，工業(yè)機器人逐漸成為企業(yè)提高產(chǎn)品質(zhì)量、

向智能化轉(zhuǎn)型升級的核心力量.經(jīng)過多年的發(fā)展，我國的工業(yè)機器人產(chǎn)業(yè)己經(jīng)達到了定的規(guī)

模，不僅在焊接、裝配、搬運、沖壓、噴涂等專業(yè)領(lǐng)域涌現(xiàn)出大量的機器人產(chǎn)品，同時機器

人關(guān)鍵零部件方面也已經(jīng)接近或達到了世界領(lǐng)先水平.下圖是“中投產(chǎn)業(yè)研究院”發(fā)布的

?2020-2024年中國機器人產(chǎn)業(yè)投資分析及前景預(yù)測報告》中關(guān)于2019年全國工業(yè)機器人

產(chǎn)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局，根據(jù)統(tǒng)計圖分析，以下結(jié)論不正確的是（）

0）本月產(chǎn)量。木月同比增長

1=］累計產(chǎn)量-6-本月止累計同比增長

A.2019年3?12月，全國工業(yè)機器人本月同比增長最低的是8月份，最高的是12月份

B.2019年2~12月，全國工業(yè)機器人本月累計同比增長均在0%以下

C.2019年2?12月，全國工業(yè)機器人本月累計同比增長最低值是4月份

D.2019年3~12月，全國工業(yè)機器人在12月份同比增長超過15%

【答案】C

【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖分別對四個選項逐一判斷即可得正確答案.

【詳解】對于選項A：由圖知2019年3?12月，全國工業(yè)機器人本月同比增長最低的是8月

份，最高的是12月份,故選項A正確；

對于選項B：由圖知2019年2?12月，全國工業(yè)機器人本月累計同比增長均在0%以下，故

選項B正確；

對于選項C：2019年2~12月，全國工業(yè)機器人本月累計同比增長最低值是5月份，故選項

C不正確；

對于選項D：2019年3~12月，全國工業(yè)機器人在12月份同比增長為18.7%,超過15%,

故選項D正確，

故選：C.

二、多選題

13.某校對參加高校綜合評價測試的學(xué)生進行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績的

頻率分布直方圖如圖所示.已知成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人.則()

A.x的值為0.015,N的值為40

B.平均分為72,眾數(shù)為75

C.中位數(shù)為75

D.已知該校共1000名學(xué)生參加模擬訓(xùn)練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人

【答案】AB

【分析】由各組的頻率之和為1可得X的值；由區(qū)間[90,100]的人數(shù)以及頻率可得N；眾數(shù)看

圖可得，中位數(shù)通過計算可得.

【詳解】Q)由圖可知，/[40,50)=0.05,/[50,60)=IO%，/[60,70)=0.2,

方70,80)=63,/[80,90)=0.25,/(90,100]=0.05,

由頻率之和為1可得10X=0.15,故x=0.015；

②因為力90,100]=看=0.05,所以N=40；

③由圖可知，眾數(shù)為75；

④平均數(shù)為45x0.05+55x0.15+65X0.2+75x0.3+85X0.25+95x0.05=72；

?/[40,50)+/[SO,60)+/[60,70)=0,4,所以中位數(shù)位于區(qū)間[70,80),

設(shè)中位數(shù)為a,貝II(a-70)x0.03=0.1,解得a=73.33；

綜上所述，AB正確，而C錯誤；

樣本可以估計總體，但是不能通過樣本直接確定總體，樣本與總體之間總是存在一定的偏差,

故選項D錯誤.

故選：AB

14.為了解某市高三畢業(yè)生升學(xué)考試中數(shù)學(xué)成績的情況，從參加考試的學(xué)生中隨機地抽查了

1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法錯誤的是()

A.總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生

B.個體指的是1000名學(xué)生中的每一名學(xué)生

C.樣本容量指的是1000名學(xué)生

D.樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)升學(xué)考試成績

【答案】ABC

【分析】從總體，個體，樣本和樣本容量的定義即可判斷各選項.

【詳解】對于A,總體是該市高三畢業(yè)生的數(shù)學(xué)成績，A錯；

對于B,個體是指每名學(xué)生的成績，B錯；

對于C,樣本容量是1000,C錯：

對于D,樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，D對.

故選：ABC

15.隨著社會的發(fā)展，人們的環(huán)保意識越來越強了，某市環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)A、B、C、D

四個地區(qū)的地表水資源進行檢測，按照地表水環(huán)境質(zhì)量標準，若連續(xù)10天，檢測到地表水

糞大腸菌群都不超過200個/L,則認為地表水糞大腸菌群指標環(huán)境質(zhì)量穩(wěn)定達到回類標準，

否則不能稱穩(wěn)定達到團類標準.已知連續(xù)10天檢測數(shù)據(jù)的部分數(shù)字特征為：A地區(qū)的極差為

20,75%分位數(shù)為180；8地區(qū)的平均數(shù)為170,方差為90：C地區(qū)的中位數(shù)為150,極差為

60；。地區(qū)的平均數(shù)為150,眾數(shù)為160.根據(jù)以上數(shù)字特征推斷，地表水糞大腸菌群指標環(huán)

境質(zhì)量穩(wěn)定達到團類標準的地區(qū)是()

A.A地區(qū)B.B地區(qū)C.C地區(qū)D.。地區(qū)

【答案】AB

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、百分位數(shù)的知識對各地區(qū)進行分析，從

而確定正確選項.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的最大值為X，最小值為y，每天的檢測數(shù)據(jù)為々(i=l,2,…,10),

對于4地區(qū)，極差為20,x-y=20,乂由75%分位數(shù)為180,則x—180S20,則xW200,

4丁地區(qū)一定達標；

對于B地區(qū)，由-170)2=90,則￡2(招一170)2=900,

如果這10個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)大于200,則必有々一"0)2>900,矛盾，

所以這10個數(shù)據(jù)均不大于200,B地區(qū)一定達標；

對于C地區(qū)，數(shù)據(jù)150、150>150、150、150、150、150、150、150,210,滿足中位數(shù)為

150,極差為60,C地區(qū)可能沒有達標；

對于。地區(qū)，數(shù)據(jù)140、150、150、100,100>160、160>160、160,220,滿足平均數(shù)為

150,眾數(shù)為160,。地區(qū)可能沒有達標；

故選：AB

16.一組數(shù)據(jù)%,%2,….2。23是公差為2的等差數(shù)列，若去掉三項/,七012/2023后，則（）

A.平均數(shù)沒變B.中位數(shù)沒變C.方差沒變D.極差沒變

【答案】AB

【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷A,由中位數(shù)的概念可判斷B,由方差

及數(shù)列求和公式計算即可判斷C,根據(jù)極差及等差數(shù)列的通項公式可判斷D.

【詳解】由題意可知，對于選項A,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為元=蠢。1+X2+…+&023）=蠢X

2023(21+)2023)

=^1012?

2

去掉%%2023后的平均數(shù)為％'=五而(2。23%1012~X1~x2023~~x1012)=x1012=元，

即平均數(shù)不變，故選項A正確;

~1011+31013

對于選項B,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為勺012,去掉修,打（?2/2023后的中位數(shù)仍為=X1012?

2

即中位數(shù)沒變，故選項B正確;

(工1一工1012)2+(32-%1012)2+?'+("2023一工1012)

對于選項C,則原數(shù)據(jù)的方差為s2=

2023

(2022)2+(2020)2+?+(2022)：

2023

_2[22+42+…+(2022)2]_8[產(chǎn)+22+…+(1011)2]81011X1012X2023

------x1364176,

2023202320236

。)。)。(^。產(chǎn)+儂麗+…+丑。)

去掉工1，工1012/％2023后的方差為s"=(42-%1122+…+02022-%1122_2_

20202020

2[22+42+-+(2020)2]8[12+22+-+(1010)2]81010x1011x2021ccd

-------------------------------=-------------------------------=--------X---------------------------=1DOZ154>

2020202020206

即方差變小，故選項c錯誤;

對于選項D,原數(shù)據(jù)的極差為次023-/=2022X2=4044,

去掉工1，/012，無2023后的極差為》2022-工2=2020X2=4040,即極差變小，故選項D錯誤.

故選：AB

三、填空題

17.一名交警在高速路上隨機觀測了6輛車的行駛速度，然后做出了一份報告，調(diào)查結(jié)果如

下表：

車序號123456

速度(km/h)666571546958

（1）交警采取的是調(diào)查方式.

（2）為了強調(diào)調(diào)查目的，這次調(diào)查的樣本是,個體是.

【答案】抽樣6輛車的行駛速度每一輛車的行駛速度

【分析】（1）從高速公路上抽取一部分，則為抽樣調(diào)查；

（2）根據(jù)樣本和個體的定義填寫即可.

【詳解】（1）此種調(diào)查是抽樣調(diào)查，調(diào)查對象的指標是車的行駛速度.

（2）這次調(diào)查的樣本是6輛車的行駛速度，個體是每一輛車的行駛速度.

故答案為：（1）抽樣；（2）6輛車的行駛速度；每一輛車的行駛速度.

18.某學(xué)校為了解教師身體健康情況，從高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師中采用分層抽樣的方法

抽取部分教師體檢.已知該學(xué)校高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師的比例是5：1,且被抽到參加體

檢的教師中，高考學(xué)科教師比非高考學(xué)科教師多64人，則參加體檢的人數(shù)是.

【答案】96

【分析】設(shè)參加體檢的人數(shù)為n,利用分層抽樣的定義列出方程，求解即可.

【詳解】設(shè)參加體檢的人數(shù)為n,則各一3=64,解得n=96,所以參加體檢的人數(shù)是96

66

人.

故答案為：96.

19.某次體檢，7位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.41,1.80,1.69,

1.77,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（米）

【答案】1.78

【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.

【詳解】將這7個數(shù)據(jù)從小到大排列為1.41,1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,

因為7X75%=5.25,故第75百分位數(shù)為第6個數(shù)1.78.

故答案為：1.78

20.已知一組樣本數(shù)據(jù)x2,xn（xx<x2<<xn）,現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)空，空，…，

生產(chǎn)，守，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，對于新的數(shù)據(jù)有以下四個判斷：①平均數(shù)不變；②

中位數(shù)不變；③極差變??；④方差變小，其中所有正確判斷的序號是.

【答案】①③④

【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的概念計算即可.

【詳解】對于①，新數(shù)據(jù)的總數(shù)為空+等+…+空=/+&+…+出，

與原數(shù)據(jù)總數(shù)一樣，且數(shù)據(jù)數(shù)量不變都是n,故平均數(shù)不變，故①正確；

對于②，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：1,2.5,3,中位數(shù)為2.5,

則新數(shù)據(jù)為1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,顯然中位數(shù)變了，故②錯誤；

對于③，原數(shù)據(jù)極差為：xn-x1(新數(shù)據(jù)極差為：號且一中，

因為生產(chǎn)一空一(0一修)=w產(chǎn)晅＜0,極差變小了，故③正確；

對于④，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均

數(shù)，故方差變小，即④正確.

故答案為：①③④.

四、解答題

21.某景點某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景點為了

提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪.將統(tǒng)

計結(jié)果按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖:

⑴求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù);

⑵求頻率分布直方圖中a的值；

⑶估計當天游客滿意度分值的75%分位數(shù).

【答案】⑴50,40,10

(2)0.020

(3)82.5

【分析】(1)求出老年、中青年、少年的人數(shù)比例，從而求抽取樣本中老年、中青年、少年

的人數(shù)：

(2)利用頻率之和為1列出方程，求出a的值；

(3)利用百分位數(shù)的定義進行求解.

【詳解】(1)老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人數(shù)比

例為625:500:125=5:4:1,

故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為100x=一=50人，中青年人數(shù)為100x」一=40人,

5+4+15+4+1

少年人數(shù)為100X-^―=10人；

5+4+1

(2)由題意可得，(0.010+0.025+0.035+。+0.010)x10=1,解得：a=0.020；

(3)設(shè)當天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為x,

因為（0.010+0.025+0.035）x10=0.7<0.75,（0.010+0.025+0.035+0.020）X10=

0.9>0.75,

所以x位于區(qū)間［80,90）內(nèi)，

則（X-80）x0.020=0.75-0.7,解得:x=82.5,

所以估計當天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為82.5.

22.隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從使用A和8

兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取50個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到

頻率分布直方圖，如圖所示.

使用/款訂餐條件的50個商家“平使用8款訂餐條件的50個商家“平

均送達時間”的頻率分布直方圖均送達時間”的頻率分布直方圖

⑴試估計使用4款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表）；

⑵根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：

①能否認為使用B款訂餐軟件"平均送達時間"不超過40分鐘的商家達到75%?

②如果你要從A和8兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？說明理由.

【答案】⑴40（分鐘）

（2）①可以認為使用B款訂餐軟件"平均送達時間〃不超過40分鐘的商家達到75%；②選B

款訂餐軟件，理由見解析

【分析】（1）利用平均數(shù)的計算公式直接計算即可求得平均數(shù)；

（2）①計算出使用B款訂餐軟件"平均送達時間”不超過40分的頻率，比較即可得解；②

計算出使用B款訂餐軟件商家的“平均送達時間"的平均數(shù)，與使用A款訂餐軟件商家的"平

均送達時間”的平均數(shù)進行比較即可得解.

【詳解】（1）依題意可得：使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的平均數(shù)為：

15x0.06+25x0.34+35x0.12+45x0.04+55x0.4+65x0.04=40（分鐘）.

（2）①使用B款訂餐軟件"平均送達時間"不超過40分鐘的商家的比例估計值為

0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%.

故可以認為使用B款訂餐軟件"平均送達時間"不超過40分鐘的商家達到75%.

②使用B款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間"的平均數(shù)為

15x0.04+25x0.2+35x0.56+45x0.14+55x0.04+65x0.02=35<40.所以選B款訂餐軟件.

23.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目"3+1+2"模式."3"

指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分數(shù)計入高考成績；"1"指考生從物理、歷史兩

門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分數(shù)計入高考成績；"2"指考生從政法、地理、化學(xué)、生

物四門學(xué)科中"再選"兩門學(xué)科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分

規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A,B,C,D,E五個等級，各等級人數(shù)所占比

例及賦分區(qū)間如下表:

等級ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式

為第=然，其中看,巴分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，7\,0分別表示等級賦

分區(qū)間的最低分和最高分，y表示考生的原始分，T表示考生的等級分，規(guī)定原始分為匕時，

等級分為71，計算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈

連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

⑴求實數(shù)a的值;

⑵按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間.

⑶用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成線的原始分為90,試計算其等級分;

【答案】（1）0.005

⑵[85,98]

(3)91分

【分析】（1）利用頻率分布直方圖列出關(guān)于實數(shù)a的方程，解之即可求得實數(shù)a的值；

（2）先利用頻率分布直方圖求得笫85百分位數(shù)對應(yīng)的原始分，進而估計出此次考試化學(xué)成

績A等級的原始分區(qū)間：

（3）利用題給轉(zhuǎn)換公式即可求得其等級分.

【詳解】（1）由10（a+0.02+0.03+0.04+a）=1,可得a=0.005

（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間［90,100］的占比為5%,

位于區(qū)間［80,90］的占比為20%,

估計等級A的原始分區(qū)間的最低分為90—粵泮x10=85,

20%

所以估計此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間為［85,98］

（3）由粽=黑，解得7=臂”91,該學(xué)生的等級分為91分

90-85T—8613

24.某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于生產(chǎn)某款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件該

產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為A等品，低于10分的為B等品.廠

家將A等品售價定為2000元/件，8等品售價定為1200元/件.下面是檢驗員在現(xiàn)有生產(chǎn)線

上隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分：

9.9510.129.969.9610.019.969.9810.04

10.269.9110.1310.029.3410.0410.059.95

經(jīng)計算得元=表比1%=9.98,S2=表18—制2=.2：：［呼一元=0.045.其中看為

抽取的第i件產(chǎn)品的評分，i=1,2,3,…,16.該廠計劃通過增加生產(chǎn)工序來改進生產(chǎn)工藝，

已知對一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年需花費2000萬元，改進后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生

產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高0.05.已知該廠現(xiàn)有一筆2000萬元的資金.

⑴若廠家用這2000萬元改進一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分，估計改進后

該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù)和方差；

（2）某金融機構(gòu)向該廠推銷一款年收益率為8.2%的理財產(chǎn)品.請你利用所學(xué)知識分析，將這

2000萬元用于購買該款理財產(chǎn)品所獲得的收益，與通過改進一條生產(chǎn)線使產(chǎn)品評分提高所

增加的收益相對比，一年后哪種方案的收益更大？（一年按365天計算）

【答案】⑴平均數(shù)為10.005,方差為0.045625

（2）改進一條生產(chǎn)線一年后收益更大

【分析】（1）首先求得改進后的生產(chǎn)線的產(chǎn)品評分的平均數(shù)2,由此求得改進一條生產(chǎn)線后

該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù).根據(jù)方差的計算公式，計算出改進一條生產(chǎn)線后該廠生

產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的方差.

（2）分別計算出改進生產(chǎn)線和投資理財產(chǎn)品的一年收益，由此確定收益更大的方案.

【詳解】（1）設(shè)一條生產(chǎn)線改進前一天生產(chǎn)出的產(chǎn)品評分為％（i=1,2,3,…,200）,改進后生

產(chǎn)出的產(chǎn)品評分為z4=1,2,3,-,200）,其中4=%+0.05.

由已知得，用樣本估計總體可知歹=9.98,

所以2=,溜。=,￡吃(%+0.05)=y+0.05=10.03,

所以估計改進一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù)為:

,八八八「

-9-.9--8-X--2-0-0--+-1-0--.0--3-X-2--0-0=10,005,

400

由已知得，用樣本估計總體可知城=0045,

所以整=肅2魯(4-2)2=熹2：：：［(%+0.05)-(y+0.05)］2=sj=0.045.

估計改進后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的方差為：

=磊[2魯*一200歹2+200歹2+2；常-200z2+200z2]-10.0052(*)

因為￥=表2O-1?，所以2-=iyl-2oo歹2=2oos2,

同理一2002=200Sz，

所以(*)式=磊[20(^+200y2+200s方+200z2]-10.0052

Sy+Szy2+Z2

=-------10.00527

22

9.982_10.005210.032_10.0052

=0.045+---------------------+------------------------

…一