2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（1）

一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝b的取值范圍是（）

A.x>—2B,%<—2C.x豐—2D.x>—2

2.下列二次根式，不能與C合并的是（）

A.?B.CC.y/~TzD.-<18

3.點。為矩形ABCO對角線AC與BD的交點，若4c=6,貝UOD的長為（）

A.1

B.2

C.3

D.6

4.下列式子中，為最簡二次根式的是（）

A.<44B.C.D.<L2

5.在直角三角形中，兩直角邊的長分別為6和12,則斜邊上中線的長為（）

A.3cB.3/~5C.6V~3D.6V-5

6.在A/IBC中，N4NC的對邊分別記為a,b,c,下列條件中，能判定A/IBC是直角三角

形的是()

A.a2=(c-b)(c+b)B.a=1,b=2,c=3

C.乙4=zCD./-A：乙B：Z.C=3：4：5

7.將一個有45。角的三角尺的直角頂點C放在一張寬為3c?n的紙帶邊沿上，另一個頂點4在紙

帶的另一邊沿上，測得三角尺的一邊AC與紙帶的一邊所在的直線

成30。角，如圖，則三角尺的最長邊的長為（）

A.6B.

C.4<7D.6<7

8.數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分

別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所

示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原

理復(fù)原了施島算經(jīng)以九題古證，則下列說法不一定成立的是（）

A.SMBC=SHADCB.S—EF=S&ANF

C.S矩形NFGD~S矩形EFMBD.SbANF-S矩形NFGD

9.如圖，在△ABC中，ABAC=120°,點。為BC的中點，E是

AC上的一點，且48+AE=EC.若DE=2,則4B的長是（）

A.2cB.4

C.30D.6

10.如圖，正方形ZBCD中，點E、F、H分別是4B、BC、CC的中點，CE、DF交于G,連接

4G、HG.下歹IJ結(jié)論：①CE1OF；(2)AG=DG-,③NCHG=^DAG;@2HG=4D.正確的有()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

11.“對頂角相等”這個命題的逆命題是.

12.如圖所示，在四邊形4BCC中，N1=42,請?zhí)砑右粋€

條件使四邊形4BCD是平行四邊形.可添加的條件是

.（只填一個即可）

13.己知實數(shù)-l<a<q，化簡|a+l|+

J（a-2尸=------.

14.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家，他在仇章算術(shù)注J）中指出：“勾、股基合為弦幕,

明矣.”也就是說，圖1中直角三角形的三邊a、b、c存在。2+爐=02的關(guān)系他在書中構(gòu)造了

一些基本圖形來解決問題.如圖2,分別將以a為邊長的正方形和b為邊長的正方形置于以c為邊

長的大正方形的左下角和右上角，則圖中陰影部分面積等于一（用含字母a的代數(shù)式表示）;

若(c—a)(c—b)=18,則a+b—c

圖1圖2

三、解答題（本大題共8小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（本小題10.0分）

如圖，折疊矩形的一邊AD,使點。落在8c邊的點F處，已知4B=8cm,BC=10cm,求EC的

長.

16.(本小題8.0分)

計算：

(1)2<18-2汽+G

(2)(AT7-1)°+-(1+C)2.

17.（本小題8.0分）

如圖，在菱形/BCD中，CE=CF,求證：AE=AF.

18.（本小題8.0分）

已知lx=C+2,求代數(shù)式%2-4%的值.

19.（本小題8.0分）

如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫做格點.

20.（本小題10.0分）

閱讀材料：

分析探索題：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.

OAj=(2/+4=8,Si=2；

QAj-(J8,+4=12>S2==2V-2;

OA4-(JI2)?+4=16>S3==V12=2V-3..

(1)請用含有n(n為正整數(shù))的等式&=；

(2)推算出O&o=；

(3)求出S/+S/+S會+…...S/o的值.

21.（本小題12.0分）

如圖，MBCD的對角線AC、BD相交于點。，且“BC=NOCB.

（1）求證：四邊形4BCD為矩形;

(2)過B作BE14。于E,乙CBE=3/.ABE,BE=2,求4E的長.

B

22.(本小題12.0分)

如圖，在平行四邊形Z8CD中，點E,F,G,H分別在邊4B,BC,CD,ZZ4上,AE=CG,AH=CF,

且EG平分NHEF.

(1)求證：xAEHu&CGF.

(2)若4EFG=90。.求證：四邊形EFGH是正方形.

23.(本小題14.0分)

綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE1EP,

EP與正方形的外角NDCG的平分線交于P點.試猜想4E與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

【思考嘗試】

(1)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F,連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老師

提出的問題.

【實踐探究】

(2)希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形48C。中，

E為8c邊上一動點(點E,8不重合)，A/IEP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接CP,可以

求出NCCP的大小，請你思考并解答這個問題.

【拓展遷移】

(3)突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形

4BC0中，E為BC邊上一動點(點E,B不重合)，△4EP是等腰直角三角形，Z.AEP=90°,連

接DP.知道正方形的邊長時;可以求出周長的最小值.當(dāng)4B=4時，請你求出△力DP周

長的最小值.

答案和解析

1.【答案】D

解：根據(jù)題意得：x+2>0,解得x>-2.

故選：D.

根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，即可求解.

主要考查了二次根式的意義和性質(zhì).

概念：式子，G(aN0)叫二次根式.

性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

2.【答案】C

解：A、G=?,能與「合并：

B、=2y/~2,能與。合并；

C、V-l2=2/耳，不能與，至合并；

。、-<18=-3—，能與。合并，

故選：C.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.

本題考查的是同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根

式叫做同類二次根式.

3.【答案】C

解：???四邊形ABC。為矩形，

???OA=OB=OC=OD,AC=BD,

???AC=6,

???OD=3.

故選：C.

利用矩形的對角線相等可以解決問題.

本題主要考查了矩形的對角線相等，比較簡單.

4.【答案】B

解：A、E=、4X11=2E，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符

合題意；

B、，虧是最簡二次根式，符合題意；

c、被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

。、==爭，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：B.

根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可.

本題考查的是最簡二次根式，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二

次根式，叫做最簡二次根式.

5.【答案】8

解：???兩直角邊的長分別為6和12,

，斜邊=V1224-62=6A/-5，

二斜邊上的中線=iX6y/~5=3AT5.

故選:B.

利用勾股定理列式求出斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

6.【答案】A

解：A.va2=(c—b)(c+b),

???a2=c2-b2,

???a24-b2=c2,

??.△ABC是直角三角形，故本選項符合題意；

及??."+22=1+4=5,32=9,

:.伊+22。32,

???△48C不是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.vZ-A=zC

.?.△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本選項不符合題意；

Z.A：乙B：Z-C=3：4：5,Z.A4-Z-B4-L.C—180°,

；?最大角NC=丁［x180°=75°<90°,

3+4+5

△4BC不是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：A.

求出。2+/=?2,根據(jù)勾股定理即可判斷選項A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項以根據(jù)

直角三角形的判定即可判斷選項C：求出最大角4c的度數(shù)，即可判斷選項D

本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，

注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形.

7.【答案】D

解：如圖作A"_LCH.

在RtAACH中，???AH=3,Z.AHC=90°,Z.ACH=30°,

:.AC=2AH=6,

在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=V62+62=6<2.

故選D.

在RMACH中，利用直角三角形30度角性質(zhì)，求出AC的長，再在ABC中，求出4B的長即可.

本題考查直角三角形30度角性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

8.【答案】D

解：???四邊形4BCD是矩形，4c為對角線，

ABC面積=△4DC面積.

所以4選項內(nèi)容正確，不符合題意；

根據(jù)作圖過程可知四邊形4EFN是矩形，AF為其對角線，

所以△4EF面積=△4NF面積.

所以B選項內(nèi)容正確，不符合題意；

因為△4BC面積=△ADC面積，△AEF面積=/\ANF面積，△FMC面積=△FGC面積，

所以△4BC面積一△4EF面積一△FMC面積=△40c面積一△4NF面積一△FGC面積，

所以矩形NFGD面積=矩形EFMB面積，C選項內(nèi)容正確，不符合題意;

因為AANF面積=^NFX4N,矩形NFGO面積=NFxNO,

若AANF面積=矩形NFGD面積，則AN=2ND,

而已知不一定4N=2ND,所以。選項內(nèi)容錯誤，D符合題意.

故選：D.

根據(jù)矩形的性質(zhì)：一條對角線分成的兩個三角形面積相等，可知A和B選項內(nèi)容正確，不符合題意；

根據(jù)ZMBC面積=△ADC面積，△4EF面積=2\4NF面積，△FMC面積=△FGC面積，陰影部分面

積即可判斷C選項；

ANF^^=^NFXAN,^NFGD^^=NFxND,若△ANF面積=矩形NFGD面積，則

AN=2ND,而已知不一定AN=2ND,所以。選項內(nèi)容錯誤，。符合題意.

本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解決這類問題的方法是四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形面積間的

和差關(guān)系進行判斷.

9【答案】B

???FE=CE,

???。為BC的中點，

???BD=CD,

ADFMABCF的中位線,

???BF=2DE=4,

???^BAC=120°,

???乙BAF=60°,

又???/lB=4幾

48戶是等邊三角形，

??,AB=BF=4,

故選：B.

延長。4至F,使AF=AB,連接BF,證出DE是△BCF的中位線，得出BF=2DE=4,證明AABF

是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案.

本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線，證明。E是ABDF的

中位線是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

解：???四邊形4BCD是正方形，

???AB=BC=CD=AD,=乙BCD=90°,

???點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，

???BE=CF,

在^BCE與△CDF中，

BE=CF

乙B=乙DCF,

BC=CD

???△BCE三△CDF(SAS),

:.Z-ECB=乙CDF,

???(BCE+匕ECD=90°,

:.乙ECD+乙CDF=90°,

???Z,CGD=90°,

???CEIDF；故①正確；

在RtACG。中，H是C。邊的中點，

11

???HG=^CD=^AD,

即2HG=4C；故④正確；

連接4”,如圖所示：

同理可得：AH1DF,

1

HG=HD=也,

???DK=GK,

???4”垂直平分。G,

：?AG=AD；

若4G=DG,則4AOG是等邊三角形,

則4ADG=60°,Z.CDF=30°,

而CF=：CO力^。尸，

乙CDF*30°,

???Z-ADGH60°,

:.AG豐DG,故②錯誤；

/.DAG=2Z.DAH,

同理：△ADH三△DCF,

AZ.DAH=Z.CDF,

vGH=DH,

Z.HDG=AHGD,

：./.GHC=乙HDG+乙HGD=2ACDF,

???乙CHG=Z.DAG-,故③正確；

正確的結(jié)論有3個，

故選：C.

連接由四邊形ZBCD是正方形與點E、F、4分別是4B、8C、CD的中點，易證得ABCEmACDF

與4ADH=LDCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得CE1DF與AH1DF,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，

即可證得AG=AD,AGDG,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=^AD,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得NCHG=ND4G.則問題得解.

此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)

等知識.此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.【答案】如果兩個角相等，那么它們是對頂角

解：“對頂角相等”的條件是：兩個角是對頂角，結(jié)論是：這兩個角相等，

所以逆命題是：如果兩個角相等，那么它們是對頂角.

故答案為：如果兩個角相等，那么它們是對頂角.

本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一

個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個

命題的逆命題.把一個命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到其逆命題據(jù)此解答即可.

12.【答案】4B=CD（答案不唯一）

解：添加AB=CD,

v41=42,

???AB//CD,

又AB=CD,

???四邊形4BC。是平行四邊形，

故答案為：48=C。（答案不唯一）.

根據(jù)平行四邊形的判定定理進行解答.

此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

13.【答案】3

解：-1<a<V-3>

a+1>0,a—2<0,

二原式=a+1+2—a=3,

故答案為：3.

根據(jù)絕對值的意義及二次根式的性質(zhì)進行化簡.

本題考查絕對值及二次根式的化簡，理解絕對值的意義及二次根式的性質(zhì)，一漉=同是解題關(guān)鍵.

14.【答案】a26

解：圖中陰影部分面積等于。2—匕2=a2+62—b2=。2,

如圖所示：

AB—c—b,AC=c—a,DE=a—(c—b)=a+b—c,

,?(c-a)(c—b')=c2-be-ca+ab=18,

???AB-AC=18,艮=18,

vS陰影=2s矩形封口3+a2-(a+b-c)2=a2,

(a4-b—c)2=36,

va4-b>c,即a+6-c>0,

a+b—c=6,

故答案為:a2,6.

根據(jù)陰影面積等于邊長為c的正方形面積減去邊長為b的正方形面積即可表示；先求出4B=c-b,

AC=c-a,DE=a+b-c,再根據(jù)(c一a)(c—b)=18得到S短減1cDB=18，再根據(jù)S陽影=

222

2s矩形ACDB+a-(a+b-c)=a,即可求出a+b-c=6.

本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，多項式乘多項式，勾股定理，三角形三邊的關(guān)系，求平方根，

正確理解題意推出(a+b-cY=36是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】解：?.?四邊形ZBCD為矩形，

DC=AB=8,AD=BC=10,48=4。="=90°,

???折疊矩形的一邊4D,使點。落在BC邊的點F處

???AF=AD=10,DE=EF,

在RtAABF中，BF=VAF2-AB2=V102-82=6>

FC=BC-BF=4,

設(shè)EC=x,則。E=8—x,EF=8—x,

tERtFC

vEC2+FC2=EF2,

%2+42=(8—x)2,解得％=3,

EC的長為3cm.

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得DC=AB=8,AD=BC=10,ZB=ZD=ZC=90°,再根據(jù)折疊的

性質(zhì)得4F=4D=10,DE=EF,在RtAABF中，利用勾股定理計算出BF=6,則FC=4,設(shè)

EC=x,則DE=EF=8-x,在RtAEFC中，根據(jù)勾股定理得/+42=(8—x)2,然后解方程

即可.

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了勾股定理.

16.【答案】解：(1)原式=61^—

=6/1;

(2)原式=1+2/-3-(1++3)

=1+-4-2>A3

=-3.

【解析】(1)先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

(2)先根據(jù)零指數(shù)靠的意義和完全平方公式計算，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、零指數(shù)基是

解決問題的關(guān)鍵.

17.【答案】證明：?.?四邊形力BCD為菱形，

**.AD=AB=CD=CB,乙B=乙D.

又???CE=CF,

ACD-CE=CB-CF,

即OE=BF.

在△?!/)￡1和△ABF中

AD=AB

乙D=

DE=CF

：.^ADE=LABF(<SAS').

???/E=4F.

【解析】由四邊形/BCD為菱形，可得4。=AB=CD=CB,乙B=又因為CE=CF,所以CD-

CE=CB-CF,即0E=B凡可證AAOE三△4BF,所以/E=4乩

此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷和性質(zhì)形，能夠靈活運用菱形知識解決有關(guān)問

題是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：x=5+2,

:.%2—4%=x(x-4)=(V-5+2)(V~~5—2),

=5—4,

=1.

答：代數(shù)式/-軌的值為1.

【解析】首先對式子--4%進行因式分解，然后代入x的值可得到答案.

本題考查了因式分解的應(yīng)用；解題中代入工值后利用了平方差公式是正確解答本題的關(guān)鍵，方法比

較巧妙，要進行學(xué)習(xí)掌握.

19.【答案】解：(1)如圖1所示；

(2)如圖2所示.

【解析】(1)、(2)根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角圖2

形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

20.【答案】2尸40

解：(1)丁Si=

S2-

S3=2v3,

**?Sf^=2?72，

故答案為：2/萬；

(2)。掰=(2)2+4=8=4x2,

QAl=(V-8)2+4=12=4x3，

____2

OAl=(V12)+4=16=4x4，

OAlo=4x10=40,

故答案為：40；

(3)Sf+S,+S,+…...Sf0=4+8+12+-+40=220.

(1)(2)根據(jù)規(guī)律解答；

(3)根據(jù)總結(jié)的規(guī)律計算，得到答案.

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+從=

21.【答案】(1)證明：???NOBC=/OCB,

OB-OC,

???四邊形4BC0是平行四邊形，

OC=0A=^AC,OB=OD=；BD,

:.AC=BD,

???四邊形力BCD是平行四邊形，

???四邊形ABCD是矩形；

(2)解：???四邊形力BCD是矩形，

/.ABC=90°,

Z.CBE=3/.ABE,

4489=底90。=22.5。，

4

在EB上取一點H,使得EH=AE,

???△4EH是等腰直角三角形，"HE=45°,

???Z.HAB=45°-22.5°=22.5°=乙ABH,

???AH=BH,

設(shè)4E=EH=%,則=BH=\T~2xy

?:BE=2,

???x4->J~-2x=2,

:.x—2A/-2—2.

即AE=2，^-2.

【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，注意：對角線

相等的平行四邊形是矩形，等角對等邊，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

(1)根據(jù)等角對等邊得出OB=OC,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出。C=OA=^AC,OB=ODqBD,

推出AC=BD,根據(jù)矩形的判定推出即可.

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和“BE=3乙1BE,得出乙ABE=22.5。，在EB上取一點兒使得EH=ZE,

易證=設(shè)AE=EH=x,則4H=BH=構(gòu)建方程即可解決問題.

22.【答案】證明：（1）?.?四邊形4BCZ）是平行四邊形,

???Z-A=ZC.

在△4EH與aCGF中，

AE=CG

Z-A=Z-C,

AH=CF

:?AAEH"CGFISAS'）；

（2）?.,四邊形4BC0是平行四邊形，

:.AD=BC,AB=CD,乙B=乙D.

vAE=CG,AH=CF,

???EB=DG,HD=BF.

.??ABEF^ADGH（SAS）,

:,EF=HG.

又MAEH/CGF,

???EH=GF.

，四邊形HEFG為平行四邊形.

???EH//FG,

:.乙HEG=乙FGE.

vEG平分乙HEF,

???乙HEG=乙FEG,

Z-FGE=乙FEG,

/.EF=GF,

又???Z.EFG=90°,

，平行四邊形EFGH是正方形.

???四邊形是菱形.

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理S4s證得結(jié)論;

(2)先證