第21講 用二分法求方程的近似解（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第07講用二分法求方程的近似解

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解運(yùn)用二分法逼近方程近似解的數(shù)

學(xué)思想，了解二分法只能用于求變號(hào)零點(diǎn)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)用二分法進(jìn)行簡單方程近似

的方法，借助數(shù)學(xué)工具用二分法求方程的解的求解，并能根據(jù)題的要求，解決與二分法相關(guān)的參

近似解.數(shù)問題的處理.

2.能解決與方程近似解有關(guān)的問題.

視知識(shí)精講

金、知識(shí)點(diǎn)01二分法定義

對(duì)于在區(qū)間打上連續(xù)不斷且/(?)?/S)<()的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的

區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

【微點(diǎn)撥】用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)變號(hào))

適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)不變號(hào))不適用.

叁'知識(shí)點(diǎn)02用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)/(X)零點(diǎn)近似值的步驟如下：

1.確定區(qū)間句，驗(yàn)證/(a)?/(〃)<(),給定精確度￡.

2.求區(qū)間(見價(jià)的中點(diǎn)c.

3.計(jì)算/(c),

(1)若/(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)若/(a)?/(c)v(),則令h=c(此時(shí)零點(diǎn)玉)￡(a,c))；

(3)若f(c)?fS)v。,則令〃=c(此時(shí)零點(diǎn)/￡(c,b)).

4.判斷是否達(dá)到精確度￡：即若,一可＜￡,則得到零點(diǎn)近似值a（或力）；否則重復(fù)2~4.

【微點(diǎn)撥】1.應(yīng)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值（方程的近似解）時(shí)，應(yīng)注意在第一步中要使：

（1）區(qū)間［a,句的長度盡量??；

（2）/（a）,/（。）的值比較容易計(jì)算,且/（a）?/（?＜（）.

2.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.

【微點(diǎn)撥】精確度與精確到不是一回事，精確度是近似數(shù)的誤差不超過某個(gè)數(shù)，就說它的精確度是多少，

即設(shè)x為準(zhǔn)確值，X'為x的一個(gè)近似值，若卜'一%|＜￡，則尤'是精確度為￡的》的一個(gè)近似值.而按四舍

五入的原則得到準(zhǔn)確值x的前幾位近似值尤'，f的最后一位有效數(shù)字在某一數(shù)位，就說精確到某一數(shù)位.

【即學(xué)即練1】下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，對(duì)于D,在零點(diǎn)的左右附近，函數(shù)值不改變符號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)

零點(diǎn)，故選D.

【即學(xué)即練2】用二分法求方程的近似解，求得/（X）=V+2x-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如表所示：

X121.51.6251.751.8751.8125

/（X）-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程/+2%-9=0的近似解可取為（)

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

【答案】C

【解析】由表格可得，函數(shù)/（x）=V+2x-9的零點(diǎn)在（1.75,1.825）之間，結(jié)合選項(xiàng)可知，方程V+2x-9

=0的近似解可取為（精確度為0.1）可以是1.8,故選C.

【即學(xué)即練3】用二分法求函數(shù)/（x）=x3+d-2x-2的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）時(shí)，依次計(jì)算

得到如下數(shù)據(jù)：/(1)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)3).984,/(1.375)-0.260,關(guān)于下一步的說

法正確的是（）

A.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.4作為近似值

B.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.375作為近似值

C.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算了（1.4375）

D.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算了（1.3125）

【答案】C

【解析】由由二分法知，方程的根在區(qū)間區(qū)間（1.375,1.5）,沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)

該接著計(jì)算/（1.4375）.故選C.

【即學(xué)即練4】為了求函數(shù)/（x）=2*+3戶7的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量x和函數(shù)/（x）的

部分對(duì)應(yīng)值，如表所示：

X1.251.31251.3751.43751.51.5625

（X）-0.8716-0.5788-0.28130.21010.328430.64115

則方程2、+3x=7的近似解（精確到0.1）可取為（）

A.1.32B.1.39

C.1.4D.1.3

【答案】C

【解析】由圖表可知，函數(shù)/（x）=2'+3x-7的零點(diǎn)介于1.375到1.4375之間，故方程2*+3x=7的近似解也

介于1.375到1.4375之間，由于精確到0.1,結(jié)合選項(xiàng)可知1.4符合題意，故選C.

【即學(xué)即練5】用二分法求函數(shù)/（彳）=妨。+1）+》-1在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需

二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由二分法中區(qū)間長度的變化，分析可得經(jīng)過"次操作后，區(qū)間的長度為L，據(jù)此可得

2"

—<0.01,解可得”的取值范圍，即可得答案.

2"

【解答】解：根據(jù)題意，原來區(qū)間［0,1］的長度等于1,每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊?/p>

■則經(jīng)過〃次操作后，區(qū)間的長度為奈若品。,。1，…故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二分法的使用，注意二分法區(qū)間長度的變化，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練6】用二分法研究函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算得40)<0,/(0.5)<0,/(I)>0,

那么下一次應(yīng)計(jì)算x=時(shí)的函數(shù)值.

【答案】0.75

【解析】V/(0)<0,/(0.5)<0,/(1)>0,.??根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間(0.5,1)

內(nèi)，取x=0.75.故答案為:0.75.

R能力拓展

考法01

二分法的適用條件

當(dāng)方程/(X)=0同時(shí)滿足下列三個(gè)條件時(shí)：

(1)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間口,切上的圖象是一條連續(xù)曲線；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,份上有唯一的零點(diǎn);

(3)/(?)-/0)<0.用二分法一定能夠求出方程/(x)=0的近似解.

【典例1】下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()

【答案】C

【解析】根據(jù)二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)的條件，雖然A,B中的函數(shù)圖象都是連續(xù)曲線，但是對(duì)其定義域上

任意子集勿，不滿足/(。>/3)<0，所以人，B不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn).D中曲線在包含零點(diǎn)的

一定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是不連續(xù)的，所以不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn).故選C.

【名師點(diǎn)睛】若D選項(xiàng)中的圖象在包含零點(diǎn)的一定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的，則仍可以使用二分法求零點(diǎn).

【即學(xué)即練7】對(duì)于用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的說法，下列正確的是()

A.函數(shù)只要有零點(diǎn)，就能用二分法求

B.零點(diǎn)是整數(shù)的函數(shù)不能用二分法求

C.多個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)，不能用二分法求零點(diǎn)的近似解

D.以上說法都錯(cuò)誤

【答案】D

【分析】利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是：函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即穿過*軸，分析選

項(xiàng)可得答案.

【解答】解：只有函數(shù)的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，才能用二分法求，故A錯(cuò)；

只要滿足二分法的使用條件就能用二分法求，無論零點(diǎn)是小數(shù)還是整數(shù)，故8錯(cuò)；

多個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)也可以在不同的區(qū)間內(nèi)用二分法求零點(diǎn)的近似解，故C錯(cuò).故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念和函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查二分法的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想.

【即學(xué)即練8】下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是()

A..f(x)=4x-3B./(x)=lnx+2x-8

C./(x)=sinx+lD./(%)=^-3x+l

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法的定義，在連續(xù)區(qū)間(4方)，使則能用二分法求零點(diǎn)，根據(jù)定義判斷選項(xiàng).

【詳解】

選項(xiàng)Cy=sinx+120恒成立，不存在區(qū)間(4。)使〃。/伍)<0,

所以y=sinx+l不能用二分法求零點(diǎn).

故選：C

考法02

二分法的簡單應(yīng)用

二分就是平均分成兩部分，二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點(diǎn)的方法，找到

零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn).

【典例2】求方程"X）=X3-2X-5=0的一個(gè)正實(shí)根的近似值（精確到0.01）.

【答案】2.10

【分析】

先求出函數(shù)f（x）=d-2x-5的個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和二分法，逐步加強(qiáng)要求縮小區(qū)間，直

至找到符合精度的近似根.

【詳解】

將所求實(shí)根看作是曲線f（x）=V-2x-5與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：

由〃2）=—1＜0和/（3）=16＞0,知〃￡）=0在（2,3）內(nèi)至少有一正實(shí)根；

又/'（X）=3/-2在（2,3）內(nèi)恒正，y="X）在（2,3）內(nèi)單調(diào)上升，從而f（x）=0在此區(qū)間內(nèi)必有且僅有一個(gè)

正實(shí)根.

取W=；（2+3）=2.5,由〃2）"（2.5）＜0知所求正實(shí)根在（2,2.5）內(nèi)；

取電=（2+2.5）=2.25，由“2）?"2.25）＜0知所求正實(shí)根必在（2,2.25）內(nèi)；

MX=^（2+2.25）=2.125,由〃2＞/（2.125）＜0知所求正實(shí)根必在（2,2.125）內(nèi)；

=1（2+2.125）=2.0625,[i|/（2.0625）-/（2.125）＜0知所求正實(shí)根必在（2.0625,2.125）內(nèi)；

取x5=-(2.0625+2.125)=2.09375,

1117(2.09375)-/(2.125)<0知所求正實(shí)根必在(2.09375,2.125)內(nèi)；

取%=；(209375+2.125)=2.109375,

口"(2.09375)?/(2.109375)<0知所求正實(shí)根必在(2.09375,2.109375)內(nèi)；

取七=；(2.09375+2.109375)=2.1015625?2.10,則x7就是與所求正實(shí)根的誤差不超過

最=0.0078125<0.01的近似值.

【即學(xué)即練9】用二分法求函數(shù)“X)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算：/(0.64)<0,/(0.72)>0,

/(0.68)<0,/(0.74)>0,則函數(shù)/(X)的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為()

A.0.64B.0.8

C.0.7D.0.6

【答案】C

【解析】因?yàn)?0.68)<0,/(0.72)>0,即/(0.68>/(0.72)<0,所以函數(shù)/(%)的零點(diǎn)在區(qū)間

(0.68,0.72)內(nèi).又0.72—0.68=0.04<0.1,觀察各選項(xiàng)可知函數(shù)/(%)的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)冬

點(diǎn)的近似值為0.7.故選C.

【名師點(diǎn)睛】“二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右

函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn).

【即學(xué)即練10】用二分法求函數(shù)/(x)=/gx+x-3的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)

的近似解(精確到0」)為()

(參考數(shù)據(jù)：1g2.5=0.398,lg2.75a0.439,lg2.5625=0.409)

A.2.4B.2.5C.2.6D.2.56

【答案】C

【分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷即可.

【詳解】

由題意得

/(2.5)=1g2.5+2.5-3?0.398-0.5=-0.102<0

/(2.5625)=Ig2.5625+2.5625-3“0.409-0.4375=-0.0285<0

/(2.75)=Ig2.75+2.75-3。0.439-0.25=0.189>0

因?yàn)楹瘮?shù)在(0,y)上連續(xù)，所以函數(shù)在(2.5625,2.75)上有零點(diǎn)，

故選：C

考法03

用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的近似解

(1)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解即可，在求解過程中，我們可以借助

表格或數(shù)軸清楚地描寫逐步縮小的零點(diǎn)所在的區(qū)間，在區(qū)間長度小于精確度￡時(shí)終止運(yùn)算.

(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的.求方程/(x)=0

的近似解，即按照用二分法求函數(shù)/(x)零點(diǎn)近似值的步驟求解.

對(duì)于求形如/(%)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)=/(x)-g(x)=0的方程的近

似解，然后按照用二分法求函數(shù)/(%)零點(diǎn)近似值的步驟求解.

有些較復(fù)雜的探求方程近似解的問題需要大致作出函數(shù)圖象或列表，以此確定方程近似解所在的區(qū)間，即

初始區(qū)間.

【典例3】用二分法求函數(shù)=的一個(gè)正零點(diǎn)(誤差不超過0.02).

【解析】由于/(0)=—5<0,/(3)=4>0,故可取區(qū)間(0,3)作為計(jì)算的初始區(qū)間.

用二分法逐次計(jì)算，列表如下：

區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值)

(0,3)1.5-2.75

(1.5,3)2.250.0625

(1.5,2.25)1.875-1.484

(1.875,2.25)2.0625-0.746

(2.0625,2.25)2.15625-0.351

(2.15625,2.25)2.203125-0.146

(2.203125,2.25)2.2265625-0.042

(2.2265625,2.25)2.238281250.0099

(2.2265625,2.23828125)2.232421875-0.016

由上表計(jì)算可知，區(qū)間(2.2265625,2.23828125)的長度小于0.02,所以此區(qū)間的中點(diǎn)2.232421875可作

為所求函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值.

【名師點(diǎn)睛】用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，首先要選好初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要

使其長度盡量??；其次要依據(jù)給定的精確度及時(shí)檢驗(yàn)區(qū)間長度是否滿足精確度，以決定是否繼續(xù)計(jì)算.

考法04

二分法思想的實(shí)際應(yīng)用

二分法的思想方法除了可以用來處理生活中、數(shù)學(xué)中的對(duì)稱問題外，還可以通過其思想方法處理一

些現(xiàn)實(shí)中的不對(duì)稱問題，在生活中、數(shù)學(xué)中也經(jīng)常見到.要注意二分法的思想方法與實(shí)際問題之間的聯(lián)

系及其應(yīng)用.

【典例4】有9個(gè)外表看上去一樣的小球，其中8個(gè)重10克，1個(gè)重9克，現(xiàn)有一架天平，問至少稱

次可以確保把輕球挑出來.

【答案】2

【解析】很明顯一次無法完成任務(wù).

把9個(gè)乒乓球，三三組合，則可以分成3組，用天平去稱，第一次稱兩組：

①若天平平衡，則輕球在第三組，第二次稱第三組其中的兩個(gè)球，若天平平衡，則輕球就是第三個(gè)，若不

平衡，輕的一邊就是輕球；

②若天平不平衡，則輕球在輕的一邊，第二次稱輕的一邊三個(gè)球中的兩個(gè)，若平衡，第三個(gè)就是輕球，若

不平衡，輕的一邊就是輕球.故填2.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.利用二分法求方程log3*=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

設(shè)f(x)=log3X—3+x,根據(jù)當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足/(a)./⑹<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)，即方

程log，x=3-x在區(qū)間(a,6)f!有解，進(jìn)而得到答案.

【詳解】

解:t5/W=log3x-3+x,

，當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(a)?/⑹<0時(shí),/(x)在區(qū)間(a,加上有零點(diǎn)，

即方程log.,x=3-x在區(qū)間(?,b)上有解，

又/(2)=log,2-1<0,f(3)=log33-3+3=l>0,

故/(2)?/(3)<0,

故方程log3x=3-x在區(qū)間(2,3)上有解，

即利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3).

故選：C.

2.若/(力=/+/-2%-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，數(shù)據(jù)如下表：

?)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984“1.375)=-0.260

“1.438)=0.165/(1.4065)--0.052

那么方程d+Y-2x-2=0的一個(gè)近似根(精確到0」)為()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【分析】

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，根據(jù)二分法求解即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，由于/(1.438)=0.165>0,/(1.4065)-0.052<0,

所以方程V+f-2x-2=0的一個(gè)近似根所在區(qū)間為(14065.1.438)

所以符合條件的解為14故選：C

3.設(shè)函數(shù)f(x)=4V+x-8,用二分法求方程4/+x-8=0近似解的過程中，計(jì)算得至U/⑴<0,/(3)>0,

則方程的近似解落在區(qū)間()

A.(1,1.5)B.(1.5,2)

C.(2,2.5)D.(2.5,3)

【答案】A

【分析】

根據(jù)二分法求方程的近似解的過程，由條件先求得f(2)>0,再求的符號(hào)，只須找到滿足/⑷/。)<0

即可

【詳解】

取玉=2,因?yàn)?(2)=4x8+2-8=26>0,所以方程近似解毛e(l,2),

3,3、273

取/二因?yàn)閒片=4xk+7_8=7>0,

2\2.Jo2

所以方程近似解天€[1，|),

故選：A.

4.用二分法求函數(shù)於)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算的.64)<0,式0.72)>0,/0.68)<0,則函數(shù)的一個(gè)精確度

為0」的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為()

A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4

【答案】B

【分析】

利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的條件及方法分析判斷即得.

【詳解】

依題意，函數(shù)的零點(diǎn)在(0.68,0.72)內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)中只有0.76(0.68,0.72),且滿足|0.72-0.68]<0.1,

所以所求的符合條件的近似值為0.7.

故選：B

5.設(shè)yU)=3*+3x-8,用二分法求方程3工+3工-8=0在(1,1.5)內(nèi)的近似解的過程中,有"1)<0,用.5)>0,

人1.25)<0,則該方程的根所在的區(qū)間為()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不能確定

【答案】B

【分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】

?.求1,25）貝.5）＜0,且弱）是單調(diào)增函數(shù)，...該方程的根所在的區(qū)間為（1.25,1.5）.

故選：B.

6.用二分法研究函數(shù)外）=V+3x—l的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得加））＜0,40.5）＞0,第二次應(yīng)計(jì)算於I）,則

?等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法的原理，直接求解即可.

【詳解】

第一次計(jì)算，得汽0）＜0,a.5）＞（）,可知零點(diǎn)在（0,0.5）之間，

所以第二次計(jì)算/Ui）,則x尸土要=0.25.

故選：C

7.已知函數(shù)/（x）=x-e-'的部分函數(shù)值如下表所示：

X10.50.750.6250.5625

/（X）0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

【答案】B

【分析】

由表格數(shù)據(jù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出零點(diǎn)的近似值.

【詳解】

根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間（0.5625,0.625）內(nèi)，所以近似解為0.57

故選：B

8.已知函數(shù)"x)=x2-log/-6,用二分法求〃x)的零點(diǎn)時(shí)，則其中一個(gè)零點(diǎn)的初始區(qū)間可以為()

A.(1,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

【答案】C

【分析】

根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，分別判斷ABD都不正確，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即

可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=f-log2X-6在(0,+8)上顯然是連續(xù)函數(shù)，

y=/和y=k>g2x+6在(0,+e)匕都是增函數(shù)，

22

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，x<2=4<6=log2l+6<log2x+6,所以/'(6二/-k(g2X-6<0在xe(l,2)上恒成立；

當(dāng)xe(2,2.5)時(shí)，d<2.5。=6.25<7=k>g22+6<log2X+6,所以=Y-log2X-6<()在xe(2,2.5)上也

恒成立；

當(dāng)xe(3,3.5)時(shí)，%2>32=9>log,3.5+6>log,x+6，所以/(x)=/一1082》-6>0在xe(3,3.5)上恒成立，

2

又/(2.5)=2.5-log,2.5-6<0,/(3)=9-log23-6>0,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可得f(x)的其中一個(gè)零點(diǎn)的初始區(qū)間可為(2.5,3).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

判斷零點(diǎn)所在區(qū)間的一般方法：先根據(jù)題中條件，判斷函數(shù)在所給區(qū)間是連續(xù)函數(shù)，再由零點(diǎn)存在性定理,

即可得出結(jié)果.

9.一種藥在病人血液中的量保持15()()mg以上才有效，而低于500mg病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人注射了這

種藥2500mg,如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)

過()小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.(附：lg2=0.301,lg3=0.4771,答案采取四舍

五入精確到O.lh)

A.2.3小時(shí)B.3.5小時(shí)C.5.6小時(shí)D.8.8小時(shí)

【答案】A

【分析】

藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列方程或不等式求解.

【詳解】

設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過x小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.

則2500x0.8*=1500,0.8"=0.6,1g0.8v=1g0.6,xig0.8=lg0.6,

,g

_lg0.6_gio_Ig2+lg3-l_0.301+0.4771-1~

lg0.81831g2-l3x0.301-1

&10

故選：A.

3

10.已知函數(shù)/a)=2"-二在區(qū)間(1,2)上有一個(gè)零點(diǎn)小,如果用二分法求與的近似值(精確度為0.01),則應(yīng)

x

將區(qū)間(1,2)至少等分的次數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法的定義可得最<0.01,解得〃>6即得.

【詳解】

由于每等分一次，零點(diǎn)所在區(qū)間的長度變?yōu)樵瓉淼膭t等分"次后的區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼摹叮?/p>

則由題可得《<0.01,即2">100>2',，〃>6,

則至少等分的次數(shù)為7.

故選：C.

11.在使用二分法計(jì)算函數(shù)/(x)=lgx+x-2的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1,2),如果要求近

似解的精確度為0」，則接下來需要計(jì)算()次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法定義計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)閰^(qū)間(1,2)的長度為1,每次二等分都使長度變?yōu)樵瓉淼?,

3次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長度變?yōu)?：)=1>0.1,不滿足題意,

4次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長度變?yōu)?^<0,1,滿足題意.

故選：C

12.用二分法求函數(shù)f(x)=lgx+x-2的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/(%)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解(精

確到0.1)為()(參考數(shù)據(jù)：lgl.5=0.176,1g1.625?0.211,lg1.75?0.243,lg1.875?0.273,

lgl.9375?0.287)

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【分析】

根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及所給數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)函數(shù)值，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可獲得解答.

【詳解】

由題意可知：

/(1.75)=lgl.75+1.75-2?0.243+1.75-2=-0.007<0,

/(1.875)=1g1.875+1.875-2?0.273+1.875-2=-0.148>0,

又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+8)上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間(1.75,1.875)上有零點(diǎn)，

約為----------1.8

故選：C.

【點(diǎn)睛】

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間加上是連續(xù)不斷的曲線，且人a?S)V0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

13.利用計(jì)算器，列出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表：

X-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

y=2*0.32990.37890.43530.50.57430.65980.75790.87061

2.561.961.4410.640.360.160.040

那么方程2，=N有一個(gè)根位于區(qū)間()

A.(—1.6,-1.2)內(nèi)

B.(-1.2,-0.8)內(nèi)

C.(-0.8,—0.6)內(nèi)

D.(-0.6,-0.2)內(nèi)

【答案】C

【分析】

由零點(diǎn)存在定理判斷.

【詳解】

設(shè)火x)=2，一貝1]4一1.2)=0.4353—1.44<0,

0.8)=0.5743-0.64<0,

7(-0.6)=0.6598—0.36>0,

二函數(shù)./U)在區(qū)間(-0.8,—0.6)內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn).

所以方程2'=x2有一個(gè)根位于區(qū)間(-0.8,-0.6),

故選：C.

14.下列函數(shù)圖象均與x軸有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的前題條件是：函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即該函數(shù)的圖象穿過x軸,

并且在零點(diǎn)附近函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，分析選項(xiàng)可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，若能利用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即該函數(shù)的圖象穿過X

軸，且該函數(shù)在零點(diǎn)附近的函數(shù)圖象連續(xù)，

因此，②④中的函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)，①③中的函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn).

故選：C.

題組B能力提升練

1.若函數(shù)F(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：

/(1)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-().984

/(1.375)=-0.2607(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程d+f-2x-2=0的一個(gè)近似根(精確度0.05)可以是()

A.1.25B.1.39C.1.41D.1.5

【答案】C

【分析】

根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?⑴所以/⑴/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?.5—1=0.5>0.05,所以不

滿足精確度0.05；

因?yàn)?(1.25)<0,所以/(1.25)/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.25,1.5)內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?.5—1.25=0.25>0.05,所以

不滿足精確度0.05；

因?yàn)?(1.375)<0,所以網(wǎng)375)/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.5)內(nèi)有零點(diǎn),因?yàn)?.5-1.375=0.125>0.05,

所以不滿足精確度0.05：

因?yàn)?(1.4375)>0,所以/(1.4375)/(1.375)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.4375)內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/p>

1.4375-1.375=0.0625>0.05,所以不滿足精確度0.05:

因?yàn)?(1.40625)<0,/(1.40625)/(1.4375)<0,所以函數(shù)在(1.40625,1.4375)內(nèi)有零點(diǎn)，

因?yàn)?.4375—1.40625=0.03125<0.05,所以滿足精確度0.05,

所以方程V+f-2x-2=0的個(gè)近似根(精確度0.05)是區(qū)間(L40625,1.4375)內(nèi)的任意一個(gè)值(包括端

點(diǎn)值)，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選C.

故選：c

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度的概念是解題關(guān)鍵.

2.利用二分法求方程lnx+x-2=0的近似解，己求得/(x)=lnx+x-2的部分函數(shù)值的數(shù)據(jù)如下表:

X121.51.751.6251.5625

-10.6931-0.09450.30960.11050.0088

則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，該方程的近似解可取為()

A.1.55B.1.62C.1.71D.1.76

【答案】A

【分析】

根據(jù)二分法依次判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，根據(jù)精確度確定方程lnx+x-2=0的近似解即可.

【詳解】

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為今,

由表格信息可知：

/(1)=-1<0

所以與€(1,2),

/(2)=0.6931>0

取為=15,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(2)=0.6931>0,

所以與e(1.5,2),

?。?1.75,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(1.75)=0.3096>0,

所以與€(1.5,1.75),

取毛=1.625,由于7(1.5)=-0.0945<0,/(1.625)=0.1105>0,

所以與?(1.5,1.625),

取匕=1.5625,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(1.5625)=0.0088>0,

所以/e(1.5,1.5625),

因?yàn)榫_度為0.1,

觀察選項(xiàng)，函數(shù)/*)=lnx+x-2的零點(diǎn)近似值為1.55,

所以方程lnx+x-2=0的近似解為1.55.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二分法求函數(shù)零點(diǎn)或方程實(shí)根，需要掌握二分法的具體步驟，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)零

點(diǎn)或方程實(shí)根，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.

3.已知函數(shù)/（x）滿足：對(duì)任意都有）＞0,且.在用二分法尋找零點(diǎn)

方一9

的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為［。，句，+,又+則函數(shù)“X）的零點(diǎn)

為（）

A.!B.-C.-D.—

2345

【答案】B

【分析】

先根據(jù)條件分析得到f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)二分法的過程得到滿足的方程組，由此求解出的值,

則/（x）的零點(diǎn)可知.

【詳解】

因?yàn)閷?duì)任意看,吃€［?；?，都有/（*）-/％）＞0,且/（。＞0）＜0,

X］一工2

所以“X）在［〃,句上單調(diào)遞增，且〃a）＜0J（b）＞（）：

a+b

a+------

----=。+1［a=—\

因?yàn)椤?1＞。恒成立，所以2,解得?°,

a+b_b也=3

.〒一§

所以/（x）的零點(diǎn)為二"2；③二4=1,

故選：B.

4.（多選題）以下函數(shù)圖象中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（）

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)只有滿足在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才可用二分法求函數(shù)八幻的零點(diǎn)，結(jié)合所給的圖

象可得結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)只有滿足在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才可用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn),

故A,B,C符合

。中的函數(shù)有零點(diǎn)，但函數(shù)在零點(diǎn)附近兩側(cè)的符號(hào)相同，故不能用二分法求零點(diǎn)，故排除.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.以下是用二分法求方程R+3x—5=0的一個(gè)近似解(精確度為0.1)的不完整的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出

結(jié)論.

設(shè)函數(shù)/)=與+3萬—5,其圖象在(-8,+8)上是連續(xù)不斷的一條曲線.

先求值，/0)=,犬1)=,/2)=,五3)=.

所以凡r)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)M).填表：

區(qū)間中點(diǎn)m大⑺的符號(hào)區(qū)間長度

【答案】-5,-1,9,31,(1,2)

【分析】先利用函數(shù)求得函數(shù)值，再利用二分法求近似解的過程求解.

【詳解】

因?yàn)榉匠虨榕c+3》-5=0,

令凡v)=/+3x-5,

所以火0)=-5,貝1)=-1,式2)=9,火3)=31,

./U)在區(qū)間(I,2)內(nèi)存在零點(diǎn)xo,填表為

區(qū)間中點(diǎn)m危%)的符號(hào)區(qū)間長度

(1.2)1.5+1

(1,1.5)1.25+0.5

(1,1.25)1.125—0.25

(1,125,1.25)1.1875+0.125

(1.125,1.1875)1.15625+0.0625

因?yàn)?1.1875—1125|=0.0625<0.1,

所以原方程的近似解可取為1.1875.

故答案為：-5,-1,9,31,(1,2),表見解析；

6.以下是利用二分法求函數(shù)/(乃二%3-3的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的過程，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，該函數(shù)的零點(diǎn)為

計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)

端點(diǎn)或中點(diǎn)的橫坐標(biāo)定區(qū)間

值

<70=1,bo=2火1)=-2,42)=5[1.2]

1+2.<

f(xo)=0.375>0th1.5]

1+1.5.

x,=-----=1.25/(xi)=-l.0469<0[1.25,1.5]

2

1.25+1.51_

x2=-------=1.375f(X2)=-0.4004<0[1.375,1.5]

1.375+1.5.._

x,=---------=1.4375y()=-o.0295<0[1.4375,1.5]

2X3

1.4375+1.5ysu

x=----------=11.46875/(X4)=O.1684>0[1.4375,1.46875]

442

14375+146875“SB.

/(X5)>0[1.4375,1.453125]

2

X6=1.4453125/(X6)>0[1.4375,1.4453125]

【答案】1.4375或1.4453125

【分析】

利用零點(diǎn)存在定理，即精確度為。01,判斷的零點(diǎn)在[14375,1.4453125],從而得到答案.

【詳解】

V2-l=l>0.01,

負(fù)1)/(加)<0且1.5-1=0.5>0.01

/(Xi)/(均/。且1.5-1.25=0.25>0.01,

/(X2)/(xo)<0且1.5-1.375=0.125>0.01,

/(X3),〃沖)<0且1.5-1.4375=0.0625>0.01,

/(%3)/(x4)<0且1.46875-1.4375-0.0525>0.01,

/(X3)f(X5)<0且1.453125-1.4375=0.015625>0.01,

/(X3)f(X6)<0且1.4453125-1.4375=0.0078125<0.01,

函數(shù)/(x)=--3=0的一個(gè)有根區(qū)間為[1.4375,1.4453125],

x11.4375-1.44531251<0.01,

二零點(diǎn)近似解為1.4375或1.4453125

故答案為：1.4375或1.4453125

【點(diǎn)睛】

二分法求零點(diǎn)：

(1)異號(hào)零點(diǎn)：(零點(diǎn)存在定理)；

(2)精確度：決定循環(huán)終止條件及結(jié)果的形式.

7.若用二分法求方程2/+3x-3=0在初始區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解，第一次取區(qū)間的中點(diǎn)為演=],那么第三

次取區(qū)間的中點(diǎn)為毛=.

【答案】|

O

【分析】

方程的實(shí)數(shù)根就是對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)題意可設(shè)/(%)=2V+3x-3,求得/(0)<0,/^<0,/(1)>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得出f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為。，1),由二分法得第二次取區(qū)間的中點(diǎn)為々=:，進(jìn)而

求得得零點(diǎn)所在區(qū)間為(；，：)從而得出第三次取區(qū)間的中點(diǎn)

【詳解】

解：由題可知，用二分法求方程2/+3x-3=0在初始區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解，

第一次取區(qū)間的中點(diǎn)為占=；,可設(shè)〃x)=2d+3x-3,

/(0)=0+0-3=-3<0,/(1)=2+3-3=2>0,

嗎)=2x]￡|+3*

"[￡|力1)<0，；J(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為停1}

則第二次取區(qū)間(；，1)的中點(diǎn)為々=1，

而f圖=2x(1)+3x1-3=^>0.

13/圖<°‘'J⑺的零點(diǎn)所在區(qū)間為C

門3、13

則第三次取區(qū)間彳,了的中點(diǎn)為“_2+4_5.

故答案為：—.

O

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用和利用二分法求方程的近似解，解題的關(guān)鍵在于掌握二分法

的解題步驟，考查學(xué)牛.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

C培優(yōu)拔尖練

I.判斷函數(shù)f（x）=2f-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并用二分法求零點(diǎn)的近似值.（精確度0.1）

【答案】0.75

【分析】

首先由結(jié)合“X）的單調(diào)性可知”可有且只有一個(gè)零點(diǎn)不€（0,1）,再利用取區(qū)間中點(diǎn)的方法

利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)所在區(qū)間逐漸減半，直到滿足精確度即可.

【詳解】

因?yàn)椤傲?2/一1,

所以〃（））=一1＜（），/（1）=2-1=1＞0

因?yàn)?（。＞〃1）＜（），所以“X）在區(qū)間（0,1）內(nèi)有零點(diǎn)，

因?yàn)椤?29-1在R上為增函數(shù)，

所以/（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)為e（（）,l），

取區(qū)間（0,1）的中點(diǎn)占=0.5,"0.5）=2x0.53-1=-0.75＜0,

所以/（0.5）?/。）＜0,可得（0.5,1）,

取區(qū)間（0.5,1）的中點(diǎn)*2=0.75,/（0.75）=2x（）.753-l=-0.15625＜0,

所以/（0.75）-/（1）＜0.可得不e（0.75,1）,

取區(qū)間（0.75,1）的中點(diǎn)鼻=0.875,/（O.875）=2x0.875?-l=0.3398＞0,

所以/（0.75）-/（0.875）＜0,可得為w（0.75,0.875）,

取區(qū)間（0.75,0.875）的中點(diǎn)匕=0.8125,/（0.8125）=2x0.81253-1=0.0728＞0,

所以40.75）.40.8125）＜（）,可得不e（0.75,0.8125）,

因?yàn)閨0.8125-（）.75]=0.0625＜0.1,

所以“X）=2x3-l零點(diǎn)的近似值可取為0.75.

2.用二分法求/_x-1=0在區(qū)間［1,1.5］的一個(gè)實(shí)根(精確到0.01).

【答案】1.32

【分析】

7

先構(gòu)造函數(shù)/(X)=x3-x-l,計(jì)算可得/(1)=-1<0,/(1.5)=^->0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可取區(qū)間［1,1.5］作

O

為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，直到區(qū)間的端點(diǎn)的差精確度為0.01即可

【詳解】

設(shè)/(x)=d—x—l,

7

O

.在［55］內(nèi)/(x)=。有實(shí)數(shù)解.

取［1,1.5］為初始運(yùn)算區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算列表如下:

中點(diǎn)函數(shù)

區(qū)間中點(diǎn)

值

[1,1.5]1.25-0.296875

[1.25,1.5]1.3750.224609

[1.25,1.375]1.3125-0.051514

[1.3125,1.375]1.343750.082611

[1.3125,1.34375]1.3281250.014576

[1.3125,1.328125J