北京市北京匯文中學(xué)教育集團2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京匯文中學(xué)教育集團2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷共150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知集合，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．2．記命題，則為（）A． B． C． D．3．集合的真子集有（）個A．1 B．2 C．3 D．44．已知實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．6．“”是“”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是（）A． B．C． D．8．若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B．C． D．10．設(shè)，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．設(shè)集合是集合的子集，對于，定義給出下列三個結(jié)論：①存在的兩個不同子集，使得任意都滿足且；②任取的兩個不同子集，對任意都有；③任取的兩個不同子集，對任意都有．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空題（每題5分，共30分）13．函數(shù)的定義域為________．14．已知函數(shù)，則________．15．若在上是增函數(shù)，能夠說明“在上也是增函數(shù)”是假命題的一個的解析式________．16．函數(shù)的值域為________．17．已知下列四個函數(shù)：．從中選出兩個函數(shù)分別記為和，若的圖象如圖所示，則________．18．已知函數(shù)．若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為________．三、解答題（每題12分，共72分）19．已知集合．（Ⅰ）若，求集合（Ⅱ）若，求的取值范圍．20．分別求下列關(guān)于的不等式的解集：（Ⅰ）；（Ⅱ）．21．為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn)，實現(xiàn)建檔立卡貧困人員穩(wěn)定增收，某地區(qū)把特色養(yǎng)殖確定為脫貧特色主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)，助力鄉(xiāng)村振興．現(xiàn)計劃建造一個室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道．設(shè)溫室的一邊長度為米，如圖所示．（I）將兩個養(yǎng)殖池的總面積表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（Ⅱ）當溫室的邊長取何值時，總面積最大？最大值是多少？22．已知函數(shù)．（I）當時，直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當時，求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值．23．已知是定義在[3，3]上的奇函數(shù)，當]時，．（I）求在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．24．若集合A具有以下性質(zhì)：①；②若，則，且時，．則稱集合是“好集”．（I）分別判斷集合，有理數(shù)集是否是“好集”，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)集合是“好集”，求證：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由．命題：若，則必有；命題：若，且，則必有．參考答案一、選擇題DACDC，BDBDC，BA二、填空題13．或?qū)憺?14．215．（答案不唯一）16． 17．18．三、解答題19．（I）（1，5]（Ⅱ）20．（I）（Ⅱ）時，解集為[2，]；時，解集為；時，解集為[，2]．21．解：（I）依題意得溫室的另一邊長為米．因此養(yǎng)殖池的總面積，因為，所以．所以定義域為．（Ⅱ），當且僅當，即時上式等號成立，當溫室的邊長為30米時，總面積取最大值為1215平方米．22．解：（1）當時，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間為（，1]，[2，）．或?qū)憺椋ǎ?），（2，）（Ⅱ）∵，[1，2]時，所以，當，即時，；當，即時，；∴．23．（I）因為是定義在[3，3]上的奇函數(shù)，[3，0]時，，所以，解得，所以（3，0]時，當時，，所以，又，即在上的解析式為，（Ⅱ）因為時，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，所以也是減函數(shù)．所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是[7，）．24．解：（I）集合不是“好集”．理由是：假設(shè)集合是“好集”．因為，所以．這與矛盾．有理數(shù)集是“好集”．因為，對任意的，有，且時，．所以有理數(shù)集是“好集”．（Ⅱ）因為集合是“好集”，所以．若，則，即．所以，即．（Ⅲ）命題均為真命題．理由如下：對任意一個“好集”，任取，若中有0或1時，顯