2023-2024學年福建省三明重點中學高二（上）月考數(shù)學試卷一（8月份）（含解析）

2023.2024學年福建省三明重點中學高二（上）月考數(shù)學試卷（一）（8

月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知點4（，弓,1）,B（3C,3），則直線AB的傾斜角是（）

A.60°B.30°C.120°D.150°

2.已知點AQ3）和點B（5,2）到直線2的距離相等，且/過點（3,-1）,則直線，的方程為（）

A.x+4y+1=0或x—3B.x+4y-1=0或x=3

C.%+4y+1=0D.%4-4y—1=0

3.若直線QX+3y+1=0與直線，2：2x+（a+l）y+1=0互相平行，則a的值是（）

A.-3B.2C.-3或2D.3或一2

4.圓C].?+y2=1與圓（%—3）2+（y+4）2=m2（巾＞0）內(nèi)切，則實數(shù)TH的值為（）

A.4B.5C.6D.7

5.設(shè)％,y6/?,向量方=（%,1,1）,下=（2,—4,2）且五1至，b//c，則|力+另|=（）

A.27~2B.3C.V-10D.4

6.已知正方體4BC0-4的棱長等于a,則溫?跖的值為（）

A.a2B.2a2C.3a2D.y/~6a2

7.已知實數(shù)％,y滿足3%-4y-6=0,則//+丫2一2y+1的最小值為（）

A.2B.13C.|2D.19

8.已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線I：2x+y+2=0,P為I上的動點，過點P作。M的切線P4

PB,切點為4,B,當|PM|?|4旬最小時，直線48的方程為

（）

A.2%—y—1=0B.2%+y—1=0C.2x-y+1=0D.2%+y+l=0

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知直線八mx+y+1=0,4（2,1）,6（0,-1）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.直線I恒過定點（0,1）B.當m=l時，直線I的傾斜角為當

C.當m=0時，直線/的斜率不存在D.當m=-l時，直線/與直線AB平行

10.已知圓4：x2+y2-2y-3=0,則下列說法正確的是（）

A.直線x=-1與圓4相切

B.圓4截y軸所得的弦長為4

C.點在圓4外

D.圓4上的點到直線3x-4y+19=0的最小距離為3

11.在正方體488-4/1的。1中，E為。5的中點，F(xiàn)在棱CWi上，下列判斷正

確的是（）

A.若昆尸〃平面&BE,則F為G5的中點

B.平面L平面4屎

C.異面直線為B與CE所成角的余弦值為!

D.右48=1,則以［-B1BE=g

12.過原點的直線，與圓M：/+丫2+2%一2丫-16=0交于4,B兩點,且（不經(jīng)過點M,則（）

A.弦4B長的最小值為8

B.△M4B面積的最大值為

C.圓M上一定存在4個點至4的距離為2/7

D.A,B兩點處圓的切線的交點位于直線x-y-16=0上

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.過點（1,一1）且與直線2x+3y-6=。垂直的直線方程為.

14.已知空間向量五=（2,—1,3）、3=（—1,4,一2）、口=（45,5）共面,則實數(shù);I的值為.

15.若4（6,-1,4）,F（l,-2,1）,C（4,2,3）,則△4BC的形狀是.（選填：銳角三角形、直角三角形或鈍

角三角形）

16.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點4,B距離之比為常數(shù)2（4>0且4*1）的點的軌跡是

一個圓心在直線48上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

可波亨尼貝斯

如圖，在長方體4BC0-AiBiGOi中，AB=2AD=2AAT=6,點E在棱4B上，BE=2AE,動點P滿足BP=

CPE.若點P在平面4BC。內(nèi)運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為;若點P在長方體4BC0

內(nèi)部運動，尸為棱GDi的中點，M為CP的中點，則三棱錐M-&CF的體積的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知丘=(3,2,-1),b=(2,1,2).

(1)求0+區(qū))?0—2石)；

(2)當1時,求實數(shù)k的值.

18.(本小題12.0分)

已知△ABC的頂點2(1,1),C(3,-4),邊BC的垂直平分線所在直線方程為x-y-5=0.

(1)求邊BC所在直線方程；

(2)求△ABC的面積.

19.(本小題12。分)

如圖，三棱柱4BC-4B1G中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1,NB441=4C441=60。.

(1)設(shè)甌=有，荏=石,AC=c＜用向量五，B，不表示西，并求出BG的長度；

(2)求異面直線4當與BQ所成角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

已知圓心為C的圓經(jīng)過三個點。(0,0)、力(一2,4)、8(1,1).

(1)求圓C的方程；

(2)若直線I的斜率為-2在y軸上的截距為-1,且與圓C相交于P、Q兩點，求AOPQ的面積.

21.(本小題12.0分)

正三棱柱4BC-&B1C1中，BC=CJ=2,。為BC的中點，點E在71公上.

(1)證明：BC1平面44D；

(2)若二面角4-DE-G大小為30。，求以4，E,D,G為頂點的四面體體積.

22.(本小題12.0分)

如圖，圓M：(x-2)2+y2=1,點P(-l,t)為直線I：x=-l上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分

別為4,B.

(1)若t=-l,求切線所在直線方程；

(2)若兩條切線PA,PB與y軸分別交于S、T兩點，求|S7|的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析［解：?.?心8=泉

設(shè)直線4B的傾斜角是0,

tand=?且0。<0<180°,

e=30°.

故選:B.

根據(jù)斜率公式以及定義即可求出.

本題考查了斜率公式問題，考查直線的傾斜角，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查直線方程的求法，考查直線的斜率公式、直線的點斜式方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

先求出直線4B的斜率，由點4(1,3)和點B(5,2)到直線/的距離相等，且I過點得到直線嗚直線4B平

行，且直線2過點(3,-1),或直線/的方程為x=3,由此能求出直線/的方程.

【解答】

解：???點力(1,3)和點B(5,2),二七8=仔=一；，

???點4(1,3)和點3(5,2)到直線，的距離相等，且，過點

???直線I與直線4B平行，且直線/過點(3,-1),或直線I的方程為x=3,

.1.直線［的方程為：y+l=—；(x—3),或x=3,

整理得：%+4y+1=0或%=3.

故選：A.

3.【答案】A

【解析】解：直線I］：QX+3y+1=0與％：2x+(a+l)y+1=0互相平行，

則a(a+1)=2x3,解得Q=2或a=-3,

當a=2時，直線匕，G重合，不符合題意，

當。=一3時，直線。平行，符合題意.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由題知Cl：+y2=1,(X—3)2+(y+4)2=巾2(根>0)

所以C1(O,O),夕=1,C2(3,-4),r2=m,

因為圓G；/+y?=1與圓(x—3)2+(y+4)2=>0)內(nèi)切，

所以IC1C2I=匕一即5=|1—TH|,

因為m>0,

所以m=6>

故選：C.

由圓C1，內(nèi)切得IGC2I=匕一句即可解決.

本題主要考查聯(lián)立圓與圓位置關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：X,yeR,向量五=(x,l,l),b=(l,y,l)-m=(2,—4,2)且五13，b//c>

可得x+y+l=0,1解得x=1,y=-2,

則日+9=(2,-1,2)，

則|五十旬=J22+(—1尸+22=3,

故選:B.

利用空間向量的垂直與共線，列出方程組求解即可.

本題考查空間向量的垂直與共線，向量的模的求法，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：如圖所示,

建立空間直角坐標系：

則A(a,0,0),B(a,a,0),^(O,a,a),

ACX—(—a,a,a)>BCr—(—a,0,a)>

,1,4G?BC[=a2+0+a2=2a2-

故選:B.

如圖所示，建立空間直角坐標系.利用向量坐標運算、數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

本題考查了向量的坐標運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：vyjx2+y2—2y+1=yjx2+(y—1)2>

.?.上式可看成是一個動點M(x,y)到定點N(O,1)的距離，

即為點N到直線3x-4y-6=0上任意一點M(x,y)到定點N(O,1)的距離，

S=|MN|的最小值應為點N到直線，的距離，

c_|3x0-4xl-6|__

即：5min-I-4

J32+(-4)2

故選：A.

因為J%2+y2-2y+i=J為+3_1)2,原式的最小值即為點N(0,l)到直線3x-4y-6=0的距離，

即可得答案.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及點到直線的距離公式，也考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查圓的切線方程，考查過圓兩切點的直線方程的求法，屬于拔高題.

由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得S四邊形PAMB=：|PM|,=27|PM|2-4,說明要使

最小，則需|PM|最小，此時PM與直線Z垂直.寫出PM所在直線方程，與直線/的方程聯(lián)立，求得

P點坐標，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得4B所在直線方程.

【解答】

解：化圓M為1)2+(y—1)2=4,

圓心M(1,1),半徑r=2.

???S四邊形PA.=\\PM\-\AB\=2S^PAM=\PA\.\AM\=2\PA\=2j|PM|2-4,

要使|PM|?|4B|最小，則需|PM|最小，此時PM與直線l垂直.

直線PM的方程為y-1=-1),即y=gx+g.

f_11

聯(lián)立一/十5,解得P(-I,O).

12%+y+2=0

則以PM為直徑的圓的方程為久2+⑶一界=右

叱安仔2+y2-2x-2y-2=0

lx2+y2-y—1=0

可得直線4B的方程為2x+y+1=0.

故選：D.

9.【答案】ACD

【解析】解：???直線Lmx+y+l=0,令x=0,可得y=—l,故直線計亙過定點(0,—1),故A錯誤;

當m=l時，直線唧x+y+l=0,它的斜率為一1,故它的傾斜角為率故B正確；

當?n=0時，直線I即y+l=0,它的斜率為0,故C錯誤；

當m=—1時,直線Z即一％+y+1=0,即％—y—1=0,

由4(2,1),B(0,-l),可得直線AB的方程為？二=汽，即x-y-l=0,

故當m=—1時，直線，與直線重合，故。錯誤，

故選：ACD.

由題意，利用直線的斜率和傾斜角，直線的斜率公式，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.

本題主要考查直線的斜率和傾斜角，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：由圓4：%2+丫2-2丁一3=0得/+(丫-1)2=4,

所以圓心4(0,1),半徑r=2,

對于4：圓心4到直線x=-1的距離為1,所以直線x=-1與圓4不相切，故A不正確；

對于B：圓心4在y軸上，故圓4截、軸所得的弦長為2r=4,故B正確;

對于C：把點8(-1,一1)到圓心力的距離d=J(-1—0)2+(—1一=[§>2,所以點B在圓A外，故C

正確；

對于D：圓4上的點到直線3x-4y+19=0的最小距離為圓心4到直線的距離減去圓的半徑，

.|0-4+19|....,

又圓心4到直線的距離d=了不了=3,所以圓4上的點到直線3x-4y+19=0的最小距離為3-2=1,

故。錯誤.

故選：BC.

首先將圓的方程化為標準方程，即可確定圓的半徑，利用圓心到直線的距離可判斷4,利用y軸過圓心可得

圓截y軸的弦長可判斷B,求出圓心到8的距離可判斷C,求得圓心到直線的距離即可確定圓上的點到直線距

離的最小值可判斷0.

本題考查圓的切線的判斷方法，過圓心的弦長的求法，點與圓的位置關(guān)系，圓上的動點到直線的距離的最

小值的求法問題，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)正方體的邊長為2,

所以4(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),E(0,2,l),8式2,0,2),F(x,2,2)(xG[0,2]),

對于4選項，所以項=(2,0,—2),砧=(0,2,-1),帝=(%-2,2,0)，

設(shè)祐=Qi，yi，Zi)是平面&BE的法向量，

則償啕:。故令%=1，則元=(2,1,2),

所以瓦？?元=2(%-2)+2=0，解得x=l,此時F為6么的中點，故A選項正確；

對于B選項，設(shè)記=(久2/2*2)是平面ADCiBi的法向量，

由于而=(0,2,0),福=(2,0,2)，則像：：0°，即已？Z2，

令Z2=1得前=由于云=(2,1,2),所以記?鉆=0,所以平面ADGBi_L平面&BE,故B選項正確；

對于C選項，A^B=(2,0,-2),C￡=(-2,0,1)>所以cos〈項，荏>=?就需?=?曰N=一^裂，

所以異面直線4B與CE所成角的余弦值為富，故C選項錯誤；

對于。選項，若2B=1,則以「/BE="-4/避=gxgx1x1x1=/故。選項正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)正方體的邊長為2,進而根據(jù)坐標法依次討論各選項即可得答案.

本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：M：x2+y2+2x-2y-16=0化為標準方程：M：(x+1/+(y-1產(chǎn)=18,設(shè)M到直線I的

距離為d,則dW|0M|=V~2,

對于4由垂徑定理券=V18-盧2Q石=4,即|4B|N8,當且僅當d=。，即。M11時取等號，

故弦AB長的最小值為8,故A正確；

對于B：△MAS面積為:\AB\'d=dV18-cP=V-d4+18d2,令1=d?,貝ij：△MAE面積為""+18t，

te(0,2],而y=-/+18t=-?-9)2+81在(0,2]上單調(diào)遞增，所以將仙=ylt=2=32,于是△M4B面

積的最大值為4，至，B正確；

對于C：當0MJU時，d=>J~2,至〃的距離為2/2的點由3個，C錯誤；

對于D：A,B兩點處圓的切線的交點坐標為(m,n),則直線為切點弦所在直線方程，為：mx+ny+m+

x-(n+y)-16=0,由于直線AB過原點，所以m-n-16=0,即4B兩點處圓的切線的交點位于直線

x—y—16=。上.

故選：ABD.

化簡圓的方程為標準方程，結(jié)合已知條件求解選項即可.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及弦長、面積、點到直線距離、切點弦直線方程，屬于綜合性較強的中

檔題.

13.【答案】3x-2y-5=0

【解析】解：設(shè)與直線2x+3y-6=0垂直的直線的方程為：3x-2y+t=0,

將(1,一1)代入可得3x1-2(-1)+t=0,可得t=-5,

所以所求直線方程為：3x-2y—5=0.

故答案為：3x-2y-5=0.

求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.

本題考查兩條相互垂直的直線的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

【解析】解：?.?蒼=(2,—1,3),方=(一1,4,一2),下=(4,5,5)共面,

二存在實數(shù)％,y,使得2=xW+yB，

所以(尢5,5)=x(2,-l,3)+y(—1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),

2x-y=A仔=3

-x+4y=5,解得y=2

3x-2y=5=4

故答案為：4.

利用空間向量共面的條件，設(shè)2=刀五+丫石，列出方程組求出4的值.

本題考查了空間向量共面的條件，屬于基礎(chǔ)題目.

15.【答案】銳角三角形

【解析】解:因為4(6,-1,4),B(l,-2,1),C(4,2,3),

則荏=(一5,—1,-3)，AC=(-2,3,-1).就=(3,4,2)，

所以，|麗|二V25+1+9=V^5，\'AC\=V4+9+1=<14.\BC\=V9+16+4=V-^9-

所以，△ABC中，AB邊最長,內(nèi)角C最大，

所以，CA■CB—(2,—3,1),(—3,—4,—2)——6+12—2—4>0>

顯然方、方不共線，故C為銳角，故△ABC為銳角三角形.

故答案為：銳角三角形.

利用空間中兩點間的距離公式可知，AABC1中，4B邊最長，內(nèi)角C最大，求出琳.萬，可判斷出C為銳角,

即可得出結(jié)論.

本題考查了三角性的形狀的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】2V~^；3

【解析】【分析】

本題考查了空間動點軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題.

①若點P在平面4BCD內(nèi)運動時，如圖以4為原點，所在直線為x軸，4D所在直線為y軸，建立平面直角

坐標系，可得E(2,0),B(6,0).設(shè)P(x,y),由BP=「PE可得BP?=3PF2.BP3(x-2)2+3y2=(x-6)2+y2,

^x2+y2=12.即可求得半徑.

②若點P在長方體48。。-41公(71。1內(nèi)部運動，由①可得點P在半徑為2/3,球心為4球上.建立空間直角

坐標系，求得4到面FCB］的距離，即可求得P到面FC/的距離的最小值，從而求出M到面FC/的距離的最

小值，最后利用體積公式即可求解.

【解答】

解：①若點P在平面4BCC內(nèi)運動時，

如圖以A為原點，4B所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，可得E(2,0),6(6,0).

設(shè)P(x,y),由BP=V3PE可得BP?=3PE2.

即3(x-2)2+3y2=(%-6)2+y2,=>%2+y2=12.

則點P所形成的阿氏圓的半徑為2/3.

②若點P在長方體48CD-內(nèi)部運動，由①可得點P在半徑為2「，球心為A球上.

如圖以。為原點,。4。(7,。。1，所在直線為刀,、,2軸建立空間直角坐標系，可得4(3,0,0),尸(0,3,3)((0,6,0),

Bi(3,6,3),

則定=(0,3,-3),兩=(3,3,0)，AC=(-3,6,0)

設(shè)面FaC的法向量為記=(x,y,z),

m-Tc=3y—3z=0

Wm=(1,-1,-1).

m-FB；=3x+3y=0

4到面FOB1的距離為d=嚅=言=3/3.

???則P到面FCBi的距離的最小值為2/3=q,

???M為CP的中點，M到面FC/的距離的最小值為年.

則三棱錐M-B】CF的體積的最小值為:SMCBJ?=gx?x(3<7)2x?=%

故答案為：2A/-3,去

17.【答案】解：(1)己知方=(3,2,—1),1=(2,1,2)，

則片=14?石2=9，4?b=6,

所以位+b)-(a-2b)=~a2-a-b-2b=14-6-2x9=-10；

(2)因為(kK+石)1(a-fcb)-

所以(人日+方”(蒼一憶3)=九五2+(1一12)五/一憶32=wk+6(1—爐)-%=0>

解得k=|或_|.

【解析】(1)根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合數(shù)量積的坐標公式計算即可；

(2)由(kE+另)1(a-kby得(kN+另)?(五-卜方)=0,再根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合數(shù)量積的坐標公式計算

即可.

本題考查了空間向量數(shù)量積的運算律，重點考查了空間向量數(shù)量積的坐標運算，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)由題意邊BC的垂直平分線所在直線方程為x-y-5=0,

則ABC=-1，

又C(3,-4)

???BC邊的直線方程為y+4=(-1)(%-3),

即x+y+1=0,

(2)由題意％-y—5=0是BC邊的垂直平分線，

所以點B與點C關(guān)于％-y-5=0對稱，

設(shè)B(a,b),則BC中點為(亨,殍)，

代入得二:,

所以B(—1,—4),

\BC\=J(-1-3尸+(-4+4G=4.

A點到BC的距離為

_11+1+11_3c

a~<2—2

所以SAABC=；X4x手=3<1.

【解析】(1)由題意先求BC的斜率，再求方程即可，

(2)先求B點坐標，再求BC的長度，再求三角形的高即A點到BC的距離，再求面積即可.

本題考查了直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)M=西+^7=五+1-弓

???日/=五々=幾不=|跖|=J(a+c-b)2=<7-

(2)麗=1+方，\ABi\=/^+b)2=y/~3>AB^-BC^=(a+K)(a+c-K)=1?

cos<麗區(qū)=

???異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

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【解析】(1)西=西+甌=方+3一方，=(a+c-b)2'即可.

(2)先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基

底表示，

然后利用夾角公式求異面直線與BG所成角的余弦值即可.

題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應用，

考查學生的計算能力.

20.【答案】解：(1)設(shè)所求圓的方程為%2+y2++尸=o,

F=0

則4+16—2。+4E+尸=0,

.l+l+D+E+F=0

解得。=2,E=-4,F=0.

??.圓C的方程為/++2%-4y=0；

(2)圓％2+y2+2%_4y=0的圓心坐標為C(-l,2),半徑為，虧.

直線，的方程為y=-gx-1,即4x+3y+3=0.

,|—Ix4+2x3+3|1

圓心到直線］的距離心=-I2々=1，

J42+32

\PQ\=2J(<5)2-1=4-

,_10+0+31_3

原點0到直線I的距離血=不『=5,

Q3Z+4Z

OPQ的面積S=|x4x|=1.

【解析】本題考查圓的標準方程的求法，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題.

(1)設(shè)圓的一般式方程，把點的坐標代入圓的方程，求解方程組可得D,E,F的值，則圓的方程可求；

(2)寫出直線，的方程，求出圓心到直線，的距離及弦長，還有原點。到直線I的距離，則△OPQ的面積可求.

21.【答案】(1)證明：?.?正三棱柱ABC-4B1G，則441平面2BC,乂8Cu平面ABC,二BC1,

又。為的中點，貝平面遇

BCIJ4C1.BC,AD.4AluAD,ADCtArA=A,

BC_L平面44D.

(2)解：由