2024屆湖南省長沙市四縣區(qū)高三下學期一模數(shù)學試題及答案

2024年3月高三調(diào)研考試科目：數(shù)學（試題卷）注意事項：．本試題卷共5頁，共四個大題，19個小題。總分150分，考試時量120分鐘。2．接到試卷后，請檢查是否有缺頁、缺題或字跡不清等問題。如有，請及時報告監(jiān)考老師。3．答題前，務必將自己的姓名、考號寫在答題卡和目。4．作答時，請將答案寫在答題卡上。在草稿紙、試題卷上答題無效。姓名準考證號{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}絕密★啟用前2024年3月高三調(diào)研考試試卷數(shù)學(長沙縣、望城區(qū)、瀏陽市、寧鄉(xiāng)市聯(lián)合命制)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合A＝{x|1x2}，B＝{xx＜ACRB）A．{xx1}B．{|x≥}C．{x|1＜≤2}D．{x|1x≤2}12．已知S為等差數(shù)列an項和，若a=6，a=3S（）nn368B．72C．36D．32，是兩個不同的平面，a，ba⊥，b?a∥b”是“⊥）A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件x2y224.已知雙曲線C：1b0的一個焦點到一條漸近線的距離為C的4b離心率為（）335D．32225．將甲、乙、丙、丁4個人全部分配到A，B，C三個地區(qū)工作，每個地區(qū)至少有1則不同的分配方案為（A．36種B．24種）C．18種D．16種第1頁共5頁{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}x2+y2xy+4＝0相切的兩條直線夾角為cos）54535255A．B．C．D．57．鈍角△ABCaC=cBcos(A﹣B）123A．1B．C．D．028.已知拋物線＝2pxk的直線l經(jīng)過點2線C交于A、B兩點，與y軸交于點M，與拋物線的準線交于點N，若2，則）A．3B．2C．2D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。z為非零復數(shù)，則下列命題中正確的是（）22＝|z|2B．zzzz2=z2D．若|z|＝1，則|z+i|的最大值為2110.已知函數(shù)f(x)cos(2x)，把y＝f（x）的圖象向右平移233y＝g（x）的圖象，以下說法正確的是（）x是y＝f（x）圖象的一條對稱軸63kZB．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為k,k6C．y＝g（x）的圖象關于原點對稱1D．f（x）+g（x）的最大值為2第2頁共5頁{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}11．已知f（x）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且滿足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2xy，當x＞0時，f（x）＞0，設g（x）＝f（x）+x2（）f（1）?f（﹣1）＝﹣3，則f（1）＝1B．g（x）是偶函數(shù)C．g（x）在R上是增函數(shù)D．x-g(x)>0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。位數(shù)是．．一個正四棱錐底面邊長為2，高為3，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為．a(chǎn)lnx-lnx)1xx當xx<1+211212，x2-11x2則a的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。分）如圖，在圓錐中，AB是圓O的直徑，且△SAB是邊長為4為圓弧是的中點．（1）證明：DE∥平面SAC．（2）求平面SAC與平面所成銳二面角的余弦值．分）已知函數(shù)f(x)x22lnx(aR).（1）當a＝0時，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．第3頁共5頁{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}分）春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加125一次，項目A中獎的概率是，項目B和C中獎的概率都是．4（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得元獎券；否則就沒有獎券，求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目．已知某顧客中獎了，求他參加的是A項目的概率．x22y22分）如圖，已知,B分別是橢圓E：1的右頂點和上頂點，ab3橢圓E的離心率為，的面積為1.若過點2P,b的直線與橢圓E相交于M,N兩點，過點M作x軸的平行線分別與直線AB,交于點C,D.E的方程.M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.第4頁共5頁{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}19.（本題滿分分）若存在常數(shù)t，使得數(shù)列{an}滿足an1aaaat（n≥1，n123nan（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49a是首項為2na與bnnnniaaaabt的值和數(shù)列b的通項公式；123n2nn2i1（3）若數(shù)列an為數(shù)列n的前n項和，11，t＞0，試比n較a與a1的大小，并證明tSn1SneSnn.nn第5頁共5頁{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}絕密★啟用前2024年3月高三調(diào)研考試試卷數(shù)學參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題540分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號答案123A45A678BCBCDD1．集合A{x﹣1x≤2}，＝{xx1}，則A＝（）．{xx＞1}．{xx≥﹣1}．{x＜x≤2}D．{x≤≤2}A＝x﹣1≤x≤，B＝xx＜1}，所以?B＝{xx≥，所以∪（?）＝{xx1}．RR故選：B．2．已知S為等差數(shù)列a的前n項和，若a3a6，則S8，（）nnA．SB．C．故選D．8(a8223aba?∥．充分不必要條件．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件a⊥α，∥b，則b⊥α，又b?，所以α⊥β，故“ab”是“α⊥β”的充分條件．當滿足α⊥β，⊥α，?β時，直線ab可能平行，可能相交，也可能異面．故“a∥”不是“α⊥β”的必要條件．故選：．）x2y221b0的一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線C的離心率為（4.已知雙曲線C：）4b335．．2C．D．322x2y221ab0的一個焦點到一條漸近線的距離為2，b2，因此雙C：4b2cba曲線C的離心率e12.故選：a54個人全部分配到ABC1為（．36種BC24個人中選2C2）．24種18種D．16種4{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}種組合，將這兩個人捆綁在一起看作一個元素，與其他2個人一起分配到A，B，C三個地區(qū)，共有C24A33種，故選：A．226．過點（，0x+y﹣x﹣y+40相切的兩條直線夾角為，則＝（）．．．D．2222xy4x2y＝0x﹣2）+y1）＝12，1，22過點（00xy﹣x﹣y＝0相切的兩條直線夾角為ykx，則圓心（21）到切線y的距離，解得或k0，故切線為或y＝，即一條切線為x軸，如圖，所以＝，且易知α一定為第一象限角，解得＝．故選：．a(chǎn)C7．鈍角△中，．1，則（A﹣B）＝（）123．．D．02a?＝c?B，∴A?sin＝sin?cosB，在鈍角△ABC≠0，∴A＝B>0，即2A＝2B且B為銳角，∴2A＝1-sin2B，∴2A＝2B，若C為鈍角，則0<A+B<900<A-B<90ABA＝BAA＝﹣B，∴（A﹣B）＝ABAsinB＝0．故選：選．8y＝2p＞0klC交于AB兩2點，與y軸交于點M，與拋物線的準線交于點，若，則kD．）．2．23．3A在第一象限，則B設直線l的傾斜角為θ＝pAFθ，∴AF＝，又MN＝，由，可得＝MN，∴，∴θ＝，又θl的傾斜角，∴θ＝，∴k＝θ＝，又根據(jù)拋物線的對稱性可知k＝時，也滿足題意，故＝±．故選：D．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}二、選擇題：本題共3小題，每小題618分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。題號答案91011BDABDACD9．設z為非零復數(shù)，則下列命題中正確的是（）2zz．z2＝z|2z．．z2D．若z＝1，則z+的最大值為22222，設z＝a+bi（a，bR當ab均不為0z＝（+bi）＝ab+2為虛數(shù)，22222而z|＝a+b為實數(shù)，所以z＝z|不成立，故A對于z＝a+bi（a，bR則，所以，所以，而成立，故B正確；2z2（）對于zxyi（yR，z2，所以z2，故C錯誤．又對于D，z＝1，則復數(shù)z對應的點P的軌跡是以O0，0）為圓心，1z+＝z﹣（﹣）的幾何意義為復數(shù)z對應的點P與Q（0，﹣）兩點間的距離，所以，如圖可知，當點P為（0，1）時，最大，|z+取最大值，最大值為2，故D.故選BD.110．已知函數(shù)f(x)cos(2x)，把y＝x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)＝gx）233的圖象，以下說法正確的是（）．x是y＝x）圖象的一條對稱軸63kZ．（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為k,k6．y＝gx）的圖象關于原點對稱1D．（）+gx）的最大值為2，把y＝x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝gx）＝（2x﹣）＝﹣cos2x的圖象，{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}對于x＝x＝是函數(shù)xA正確．對于，令k≤2﹣≤2k+，k，求得k+≤≤k+，k，可得（）的單調(diào)減區(qū)間為[k+，k+]，kB正確．對于，由于（xx是偶函數(shù)，故它的圖象關于y軸對稱，故C錯誤．對于Dx）+gx（2x﹣）+cos2x）＝[+x]﹣x＝x﹣x＝sin（2x﹣（xDABD．（R（+（+y2＞0，設g（）＝（）x2（）．若（1）（﹣1）＝﹣3，則（1）＝1．g（xR上是增函數(shù)．（x）是偶函數(shù)Dx﹣）gx）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（，+∞）：?。剑?得到0）＝（+（0即0）＝0，取x＝，y1得到（0）＝（）+（﹣）+2，又（1）1）＝﹣，（10，解得（1）＝，正確；22對選項＝﹣x得到（0（）+xx（）+x）＝﹣2x，22則g（）+gx（）+x+x+x＝0，（x）為奇函數(shù)，錯誤；對選項x＜x，則12＝＝，當x＞0時，x）＞0（xx0，，故gxg（x）＞，2121即g（x）＞（xgx）單調(diào)遞增，正確；21對選項D：g（）＝（0+0＝0（﹣1）gx，當x＞1時，gx）＞，則x＞0x1；當x＝1時，不成立；當x＜1時，gx）＜，則x＜0x0；綜上所述：x（﹣∞，0）∪（1，故選：．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}三、填空題：本題共3小題，每小題51512．已知一組數(shù)據(jù)如下：4，，4，7，，8，，99，10，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是75%×＝7.5758個數(shù)，即為9.4．13．一個正四棱錐底面邊長為2，高為3，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為3O為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，E，F(xiàn)，的中點，連接，G是球與側(cè)面的切點，可知G在上，OG⊥，設內(nèi)切球半徑為r，則OHOG＝，＝1，由△PGO～△，∴，＝2，，即，解得，所以內(nèi)切球表面積為．a(chǎn)x21xx，且當xx時，都有：1214．已知對任意，12x212a則的取值范圍是ax21x21x21由得：ax2a1x21，x21x211axaxxx，21211x211axxaxx11.①22x211fxaxx，x0,，∵令xx21由f(2)，所以fx在①式x上遞減.x211所以：fx0恒成立，所以ax恒成立，a2.x2x故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。如圖，在圓錐O的直徑，且△4的等邊三角形，，D為圓弧AB的兩個三等分點，E是SB的中點．（1）證明：DESAC．（2）求平面SACSBD所成銳二面角的余弦值．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}【解答】（）證法1：如圖1，取的中點，，CD．∵D為圓弧AB的兩個三等分點，∴CD∥，．…(1分)∵E，F(xiàn)分別為，SA∥AB，，……………(2分)則CD∥，＝CD，從而四邊形為平行四邊形，故DE∥．……(4分)∵DE平面SAC，CF平面SACDESAC………(6)圖1證法：如圖2、OD，D的兩個三等分點，∴∠BOD=∠BAC=60，∴ODAC，…………(1分)又點E為的中點，點O為的中點，∴OE∥A，…………(2)∵ODOD=O，∩，∴平面∥平面EOD，…………(4分)∵，∴∥平面…………(6)證法：如圖3O為坐標原點，ABx軸，圖2，的方向分別為，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵AB＝＝SB4，∴（0，﹣，0，1，0E(0，1，3)，，則，，3,03．……(3)＝xyz111，設平面SAC的法向量為m則，令1＝1．…….…(5分)圖3∴，，330，∴DE．…….…(6)（）解：以O為坐標原點，垂直平分線為x軸，的方向分別為，z軸的正方向，建立如圖3所示的空間直角坐標系．∵AB＝＝4A（，﹣2，B（，2，0，，1，0，，，∴，，，02，…(8)設平面SAC的法向量為＝（，，mxyz111{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}則，令1＝1．…….…(10分)．…….…(12分)設平面的法向量為＝（x，y，z，222則，令2＝1設平面SAC所成銳二面角為θ，則＝＝．所以平面SAC與平面所成銳二面角的余弦值為．…...(13).16.（本題滿分分）已知函數(shù)xx+﹣2（aR．（1）當a0時，求函數(shù)x）的極值；（2）若函數(shù)（x[1，上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．）a＝0時，（x2﹣2，定義域為（0，+……..…(1)，………………..…(2)令fx0，解得x＝1或x1/令′（）＞0＞1，令x0＜x＜1…….......….…(5分)故（xx1處取得極小值，極小值為（1）＝，………………..….…(6)∴（x（11，無極大值．…………………(7)（2）∵x）在區(qū)間[12]上為減函數(shù)，∴在區(qū)間，2]上x0，…….…(8分)∴令，……….….…(10分)，只需ag（）min，…….…………(11)顯然在區(qū)間[1，上為減函數(shù)，∴g（）min＝g（1﹣4＝﹣，…….…(13分)∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣．………….…(15).∴a≤﹣3．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}B、1C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A425目B和C中獎的概率都是．（1ABCABC三個項目全部中獎，顧客將獲得50得獎券金額的期望；（2A項目的概率．）設一位顧客獲得X元獎券，X0，50，，………………...…(1分)1224551232234555541618P(XP(XP(X，…….……(3)25252514233226，………..…(5)55455251221，…………..…(7分)45525165016元．……….…….…(8)所以每位顧客獲得獎券金額的期望是EX1002525（2）設“該顧客中獎”為事件M，參加項目A，C分別記為事件N，N，N，………(9)1233111212i7則PMPNPMNi，……………..…(12)34353520i111PNPMN11PNMPM5347所以PNM1，……..….…(14分)1PM21205即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項目的概率是．………….………(15分).21{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}x22y22,B分別是橢圓E：1E的分）ab3P,b的直線與橢圓E，的面積為1.若過點離心率為2M,NMx作軸的平行線分別與直線AB,NB交相交于C,D.于點（1）求橢圓E的方程.（2）證明：M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.3【解答】（1）依據(jù)題意，，.......................（3分）a2x2解得：b1，橢圓的方程為Ey21....................（7分）4c3（2）解法1：設直線MN：xmyn，直線過點P(，mn2.xmyn聯(lián)立方程組可得：(m24)y22mnyn240，x24y244m2n24(m24)(n24)16(m2n24)02mnn244設M(x,yN(x,y)，則：yy,yy，............（12分）112212m2，12m24：y21x2(1x2lBN:yx1，令yy可得：x，.......................（14分）1Dy21xx2x.C下面證明：1D(1x2x144y(y(yx(44yy即證：1，即證：y21121212(2myy(nmyy)n40.............15整理可得即證：，（分）1212n2442mnm42即證：(2m4)(nm4)2n40，m2整理可得即證：4m2mnn8428(mn，即證：(mn))022(mn)0，分）mn2，上式成立，原式得證.........................................................（17xD(x,yC(x,y)M(x,yN(x,y)(yy解法2：設，軸，1112212D1C1lmxn(y1lP(2m1m.，設直線，過點MNMN:2{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}mxn(y0由方程組xyxy1y1()28m4n0，可得：當時，x24y2411x2m4，..........................................（12分）x2xDy211111y21B,D,N又三點共線，，1xD4，即1xDy.........................（14分）11111xC2C(x,y)AB:y111上，，...............（15分）點在直線1C2C2xx4()xx2xM,C,D，即.1DC三點的橫坐標成等差數(shù)列........（17分）P(mn2.1D解法：設直線直線過點可得：(m4)yMN：xmynxmyn聯(lián)立方程組222mnyn240，x24y242mnn42設M(x,yN(x,y)(yy，則：yy,yy12，......（12分）11221212m2m2441x2x(yx(y8(mn)122142...............（14分）11y21(yy(mn)12x2xD1xD2C11B,D,N，24又三點共線，......（16分）y21111111kABxx2x，CM,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.........................（分）1D19.（本題滿分分）t，使得數(shù)列n滿足an1aaa23（n≥1，nN1a為“H（tn（1）判斷數(shù)列：1，，3，849是否為“H（nn（2）若數(shù)列n是首項為2的“H（t）數(shù)列”，數(shù)列n是等比數(shù)列，且a與b滿足ni2aaagbb1232，求t的值和數(shù)列的通項公式；ni（tSn為數(shù)列a的前n11t＞0n與an1的（3nn大小，并證明tSn1SneSnn.）根據(jù)“H（）數(shù)列”的定義，則＝，故an﹣aaa?a＝，123n∵a﹣a＝1成立，aaa＝1成立，a﹣aaa＝﹣1×2×38﹣6＝≠1不成立，21321432