廣西壯族自治區(qū)桂林市田家炳中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市田家炳中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某段鐵路中的所有車站共發(fā)行132種普通車票，那么這段鐵路共有車站數(shù)是

A.8 B.12 C.16 D.24參考答案：B

設(shè)有個(gè)車站，則，解得：.

2.已知對任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（

）A． B．C． D．參考答案：B略3.若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0對任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用．【分析】分類討論，結(jié)合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0對任意實(shí)數(shù)x均成立，利用函數(shù)的圖象，建立不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：a=2時(shí)，不等式可化為﹣4＜0對任意實(shí)數(shù)x均成立；a≠2時(shí)，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0對任意實(shí)數(shù)x均成立，等價(jià)于，∴﹣2＜a＜2．綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2]．故選A．【點(diǎn)評】本題考查恒成立問題，考查解不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．4.若變量x，y滿足約束條件，且z=僅在點(diǎn)A（﹣1，）處取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用斜率的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：z=的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)D（a，0）的斜率，由圖象知當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，DP的斜率沒有最大值，當(dāng)a≤﹣2時(shí)，DB的斜率最大，不滿足條件．當(dāng)﹣2＜a＜﹣1時(shí)，DA的斜率最大，此時(shí)滿足條件．故選：C．5.已知數(shù)列{an}：，+，++，+++，…，那么數(shù)列{bn}={}的前n項(xiàng)和為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】先求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an==，繼而數(shù)列的通項(xiàng)公式為==4（），經(jīng)裂項(xiàng)后，前n項(xiàng)的和即可計(jì)算．【解答】解：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an===數(shù)列的通項(xiàng)公式為==4（）其前n項(xiàng)的和為4[（）+（）+（）+…+（）]=故選A6.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用公理三及推論判斷求解．【解答】解：在A圖中：分別連接PS，QR，則PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．在B圖中：過P，Q，R，S可作一正六邊形，如圖，故P，Q，R，S四點(diǎn)共面．在C圖中：分別連接PQ，RS，則PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．D圖中：PS與RQ為異面直線，∴P，Q，R，S四點(diǎn)不共面．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查四點(diǎn)不共面的圖形的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用．7.以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可得：b=c，所以a=，進(jìn)而求出橢圓的離心率．【解答】解：由題意可得：以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點(diǎn)，所以b=c，所以a=，所以離心率e=．故選B．8.已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（

）

（A）

（B）6

（C）

（D）12參考答案：C9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 參考答案：D略10.已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（）A． B． C． D．1參考答案：C【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖．【分析】由題意可知三棱錐是正三棱錐，底面正三角形的高與正視圖的投影線平行，如此其正視圖中底邊是正三棱錐的底面邊長，由俯視圖知底面是邊長是的三角形，其高是棱錐的高，由此作出其側(cè)視圖，求側(cè)視圖的面積．【解答】解：由題意，此物體的側(cè)視圖如圖．根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得側(cè)視圖中，底邊是正三角形的高，底面三角形是邊長為1的三角形，所以AB=，側(cè)視圖的高是棱錐的高：，∴S△VAB=×AB×h=××=．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在數(shù)列中，，，其中為常數(shù)，則的積等于

．參考答案：－1略12.從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球,共有種取法．在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，另一類是取出-1個(gè)白球，1個(gè)黑球，共有，即有等式：成立．試根據(jù)上述思想化簡下列式子：

．．參考答案：13.橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為

．參考答案：1614.若圓以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__

.參考答案：略15.命題“若，則圓過原點(diǎn)”的否命題是___________．參考答案：若，則圓不過原點(diǎn)∵若則的否命題是若則，所以“若，則圓過原點(diǎn)的否命題”是“若，則圓不過原點(diǎn)”．

10．橢圓的離心率是___________．【答案】【解析】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，∴，，，∴離心率．16.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F2，過F2作其中一條漸近線的垂線，分別交y軸和該漸近線于M，N兩點(diǎn)，且=3，則=．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)漸近線的方程為y=x，過N作x軸的垂線，垂足為P，根據(jù)向量關(guān)系建立長度關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)漸近線的方程為y=x，過N作x軸的垂線，垂足為P，由=3，得==，得N的坐標(biāo)為（，），∵NF2⊥ON，∴=﹣，化簡得=，則=，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線向量的計(jì)算，根據(jù)條件結(jié)合向量共線的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．17.若的展開式中的系數(shù)是，則

．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線x﹣y+1=0經(jīng)過橢圓S：的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓S的方程；（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．①若直線PA平分線段MN，求k的值；②對任意k＞0，求證：PA⊥PB．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；三點(diǎn)共線；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）在直線x﹣y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，故c=b=1，a2=2，由此能求出橢圓方程．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），所以②法一：將直線PA方程y=kx代入，解得，記，則P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直線AB方程為，代入橢圓方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0，由此能夠證明PA⊥PB．法二：設(shè)P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），則C（x0，0），由A、C、B三點(diǎn)共線，知=，由此能夠證明PA⊥PB．【解答】解：（1）在直線x﹣y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，由題意得c=b=1，∴a2=2，則橢圓方程為．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），所以．②解法一：將直線PA方程y=kx代入，解得，記，則P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直線AB方程為，代入橢圓方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣4=0，由，因此，∴，，∴，∴，故PA⊥PB．解法二：由題意設(shè)P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），則C（x0，0），∵A、C、B三點(diǎn)共線，∴=，又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上，∴，，兩式相減得：，∴=﹣=﹣1，∴PA⊥PB．19.等比數(shù)列中，已知

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。參考答案：解：（I）設(shè)的公比為

由已知得，解得……….4分

（Ⅱ）由（I）得，，則，

設(shè)的公差為，則有解得……….8分

從而

所以數(shù)列的前項(xiàng)和……….10分20.（13分）如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn)．

(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)依題意，得。，…………5分所以異面直線與所成角的余弦值為…………6分（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.,可設(shè)又……….8分由平面，得即故，此時(shí).………………10分經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)…………13分21.已知數(shù)列中，,.（1）求，的值；（2）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.

參考答案：解：（1）由知，，

又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

………………

6分

（2），

，

兩式相減得

，

……………………

9分…………10分若n為偶數(shù)，則……11分若n為奇數(shù)，則……13分

……………………14分

略22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣x，g（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出g'（x）=ex﹣a，由a≤0和a＞0分類討論，由此能求出結(jié)果．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，令，則令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），則φ'（x）=x（ex﹣2），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵g（x）=ex﹣ax﹣1，∴g'（x）=ex﹣a①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；②若a＞0，當(dāng)x∈（﹣∞，lna]時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，x2﹣x≤