廣東省廣州市第四十二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省廣州市第四十二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果函數(shù)對于區(qū)間D內(nèi)任意的，有成立，稱是區(qū)間D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，則在△中，的最大值是（

）（A） （B）

（C） （D）參考答案：D略2.已知函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣2））=(

) A． B． C． D．9參考答案：D考點：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：首先求出﹣2對應(yīng)的函數(shù)值，然后再求其對應(yīng)的函數(shù)值．解答： 解：由已知，﹣2＜0，所以f（﹣2）=，又＞0，所以f（）=；故選D．點評：本題考查了分段函數(shù)的函數(shù)值求法；關(guān)鍵是明確自變量所屬的范圍，找到對應(yīng)的解析式求值．3.已知a,b∈R,且ab<0,則()A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|

D.|a-b|<|a|+|b|參考答案：B4.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，；則的實軸長為

（

）A、

B、

C、

D、2參考答案：C5.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求這個幾何體的體積是（

）A.

B.

C.

D.2參考答案：B略6.給出命題：“若，則”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：D略7.若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則共軛復(fù)數(shù)（

）A. B. C. D.參考答案：B，故選B.8.已知a∥α，b?α，則直線a與直線b的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交或異面 C．異面 D．平行或異面參考答案：D【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】計算題．【分析】由直線a∥平面α，直線b在平面α內(nèi)，知a∥b，或a與b異面．【解答】解：∵直線a∥平面α，直線b在平面α內(nèi)，∴a∥b，或a與b異面，故答案為：平行或異面，【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．9.若點A（1，m-1,1）和點B(-1,-3,-1)關(guān)于原點對稱，則m=（

）A.-4

B.4

C.2

D.-2參考答案：B略10.雙曲線﹣=1的漸近線與圓（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，則r=（）A．2 B． C．3 D．6參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得圓的圓心和半徑r，雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，計算即可得到所求值．【解答】解：圓（x﹣3）2+y2=r2的圓心為（3，0），半徑為r，雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x，由直線和圓相切的條件：d=r，可得r==2．故選：A．【點評】本題考查直線和圓相切的條件：d=r，同時考查雙曲線的漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列關(guān)于圓錐曲線的命題：①設(shè)A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|+|PB|=8，則動點P的軌跡為橢圓；②設(shè)A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，則|PA|的最大值為9；③設(shè)A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|﹣|PB|=6，則動點P的軌跡為雙曲線；④雙曲線﹣=1與橢圓+=1有相同的焦點．其中真命題的序號是．參考答案：②④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，根據(jù)橢圓的定義，當(dāng)8＞|AB|時是橢圓；②，利用橢圓的定義，求出a、c，|PA|的最大值為a+c；③，利用雙曲線的定義判斷；④，根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．【解答】解：對于①，根據(jù)橢圓的定義，當(dāng)k＞|AB|時是橢圓，∴故為假命題；對于②，由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點的圖象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，|PA|的最大值為a+c=5+3=9，所以為真命題．對于③，設(shè)A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|﹣|PB|=6，當(dāng)6＜|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線，故為假命題；對于④，雙曲線﹣=1的焦點為（，0），橢圓+=1的焦點（，0），故為真命題．故答案為：②④．12.在的展開式中，含項的系數(shù)是

．參考答案：13.設(shè)某種機(jī)械設(shè)備能夠連續(xù)正常工作10000小時的概率為0.85，能夠連續(xù)正常工作15000小時的概率為0.75，現(xiàn)有一臺連續(xù)工作了10000小時的這種機(jī)械，它能夠連續(xù)正常工作到15000小時的概率是

．參考答案：

14.設(shè)正三棱錐底面的邊長為a，側(cè)面組成直二面角，則該棱錐的體積等于

。參考答案：a15.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑.運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________.參考答案：16.已知單位正方形，點為中點．過點與直線所成角為45°，且與平面所成角為60°的直線條數(shù)為__________．參考答案：2過點與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數(shù)與過與直線所成角為，且與平面所在的角為的直線條數(shù)相同，過與直線所成角為的直線為以為項點，以為軸線的圓錐的母線，過且與平面所成角為的直線是以為頂點，以為軸線，頂角為的圓錐的母線，由于，所以，故這兩個圓錐曲面的相交，有條交線，從而過點與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數(shù)為．17.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的值為

參考答案：或4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是的中點，點是邊上的任意一點.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）證明：∵是的中點，且，

∴.

∵△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴，.∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，連接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠為二面角的平面角.設(shè)正方形的邊長為，則，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′解法2：以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，,.∴，.設(shè)平面的法向量為，由得令，得，

∴為平面的一個法向量.∵平面，平面，∴平面平面.連接，則.∵平面平面，平面，∴平面.

∴平面的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為，

則.

∴.

∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′19.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ex，已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線與直線ex﹣y=0平行．（1）求a的值；（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的條件，求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率k，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；（2）將（1）中的a代入原式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，得出y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：（1）∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線與直線ex﹣y=0平行，直線ex﹣y=0的斜率為e，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為k=e．∵函數(shù)f（x）=（x+a）ex的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=ex（1+x+a），令x=1，∴f′（1）=k=e，即e（2+a）=e，解得a=﹣1；（2）f（x）=（x﹣1）ex，∴f′（x）=ex?x，令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0，∴y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．20.隨著節(jié)能減排意識深入人心，共享單車在各大城市大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450

（1）如果用戶每周使用共享單車超過3次，那么認(rèn)為其“喜歡騎行共享單車”．請完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)；

不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男

女

合計

（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”，將頻率視為概率，在我市所有的“騎行達(dá)人”中隨機(jī)抽取4名，求抽取的這4名“騎車達(dá)人”中，既有男性又有女性的概率．附表及公式：，其中；0.100050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：(1)列聯(lián)表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)．(2)【分析】（1）

根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，填寫2×2列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出的值，根據(jù)題目所給表格，得出對應(yīng)的統(tǒng)計結(jié)論。（2）

根據(jù)排列組合以及對立面的思想，求出全都是女生和全都是男生的概率，用概率和為1作差即可得到所要求的概率?！驹斀狻拷猓海?）由題目表格中的數(shù)據(jù)可得如下2×2列聯(lián)表：

不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男104555女153045合計2575100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，得，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)．（2）將頻率視為概率，在我市的“騎行達(dá)人”中隨機(jī)抽取1名，則該“騎行達(dá)人”是男性的概率為，是女性的概率為，故抽取的這4名“騎行達(dá)人”中，既有男性又有女性的概率．【點睛】本題主要考查利用2×2列聯(lián)表判斷兩個變量的相關(guān)性以及利用逆向思維“對立面概率”求解情況比較復(fù)雜的概率問題。21.（本小題12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點．

(1)求證：∥平面；

(2)求證：平面⊥平面．參考答案：（1）連結(jié)，在中，、分別為棱、的中點，故//，又//，所以//，

……………（2分）又平面，平面，所以直線∥平面．

………………（6分）（2）在正