專題16.7 二次根式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）-八年級數(shù)學下冊（人教版）（解析版）

專題16.7二次根式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式雙重非負性的運用】 1【題型2復(fù)合二次根式的化簡】 3【題型3二次根式的運算與求值技巧】 7【題型4二次根式中的新定義問題】 9【題型5利用分母有理化求值】 15【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】 20【題型7二次根式的規(guī)律探究】 25【題型8二次根式的實際應(yīng)用】 28【題型1二次根式雙重非負性的運用】【例1】（2023春·天津和平·八年級耀華中學校考期中）若實數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式a?199+199?a=2a+b?c+b?6，則c＝．【答案】404【分析】根據(jù)二次根式有意義條件求得a＝199，然后由非負數(shù)的性質(zhì)求得b、c的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得a?199=0199?a=0解得a＝199，則2a+b?c+所以2×199+b?c=0b?6=0解得b=6c=404故答案為：404．【點睛】本題考查二次根式的意義和性質(zhì)，熟知相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·全國·八年級期中）已知實數(shù)x，y，a，b滿足3x?y?7+x?2y?4=a+b?2022×【答案】15【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性列方程和不等式計算即可．【詳解】解：由已知，得a+b?2022≥02022?a?b≥0∴a+b?2022=0，∴a+b=2022，∴3x?y?7+∴3x?y?7=0x?2y?4=0，解得x=2∴7x?y【點睛】本題考查二次根式的乘法、非負數(shù)的性質(zhì)、二次根式有意義的條件以及解二元一次方程組，熟練掌握二次根式的乘法以及非負數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考階段練習）設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：x3(y?x)3+xA．0 B．1 C．3 D．條件不足，無法計算【答案】A【分析】首先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)與x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，即可求得：x為0，y與z互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得代數(shù)式的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：x∴y>x>z，∴y?x>0，z?x<0，∴由x3(y?x)3≥0可得x≥0，由∴x=0，∴y?x∴y∴y=?z，∴x【點睛】此題考查了二次根式成立的條件與不等式組解集的求解方法，代數(shù)式求值問題，找到x，y，z的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學?？计谥校┮阎猰,x,y是兩兩不相等的實數(shù)，且滿足mx?m+my?m=【答案】1【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，確定出m=0，x=?y，代入原式即可解決問題．【詳解】解：∵m，x，y是兩兩不相等的實數(shù)且滿足m(x?m)+又∵m?y≥0x?m≥0∴m=0，x=?y，x≠0，y≠0，∴原式=3故答案為：1【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定出m=0，x=?y，記住二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)這個隱含條件，屬于中考?？碱}型．【題型2復(fù)合二次根式的化簡】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：12+235(2)化簡：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【答案】(1)5(2)2(3)14或46【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）12+2（2）17?4（3）∵a+65∴a=m2+5∴mn=3又∵a、m、n為正整數(shù)，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當m=1,n=3時，a=46；當m=3,n=1時，a=14．∴a的值為：14或46．【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．【變式2-1】（2023秋·上?！ぐ四昙壠谥校┊攛=4時，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分式的運算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：原式=x?2=將x=4代入得，原式=====1.故選：A.【點睛】本題考查分式的運算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則以及觀察出分母可以開根號，本題屬于較難題型．【變式2-2】（2023春·廣東韶關(guān)·八年級?？计谥校╅喿x材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22設(shè)a+2b=m+2n2（其中a、b、∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝（2）若a+43=m+3n2，且a、（3）化簡：7?21+【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展開得到m+6n2=m2+26mn+6（2）直接利用完全平方公式，變形后得到對應(yīng)值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．【詳解】解：（1）∵a+6∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵a+43∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵21+80則7?21+【點睛】本題考查了二次根式性質(zhì)和完全平方式的內(nèi)容，考生須先弄清材料中解題的方法，同時熟練掌握和靈活運用二次根式的相關(guān)運算法則以及二次根式的化簡公式是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·江蘇·八年級期末）閱讀材料：康康在學習二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b(2)若7?43=e?f32，且e(3)化簡：7+21?【答案】(1)c(2)2?(3)1+【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行計算進行求解；（2）將7?43變?yōu)?（3）將7+21?80化為【詳解】（1）解：∵c+d3∴a=c故答案為：c2（2）∵7?43∴7?43（3）7+======1+5【點睛】此題考查了二次根式的化簡能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用相關(guān)知識進行求解．【題型3二次根式的運算與求值技巧】【例3】（2023·八年級單元測試）若a=122【答案】2.【分析】已知條件比較復(fù)雜，將已知條件變形得出所求式子的結(jié)構(gòu)求值即可.【詳解】∵a+∴a∴a∴a∵a>0，∴a【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，式子較復(fù)雜需要先化簡條件.【變式3-1】（2023秋·四川成都·八年級?？茧A段練習）若實數(shù)x，y滿足（x﹣x2?2016）（y﹣（1）求x，y之間的數(shù)量關(guān)系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【答案】（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x﹣x2?2016＝y(tǒng)+y2?2016，同理得②式：x+x2（2）將x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式結(jié)合x2=2016，計算即可．【詳解】解：（1）∵（x﹣x2?2016）（y﹣∴x﹣x2?2016＝2016y?y2?2016＝同理得：x+x2?2016＝y(tǒng)﹣①+②得：2x＝2y，∴x＝y(tǒng)，（2）把x＝y(tǒng)代入①得：x－x2?2016＝x+∴x2＝2016，則3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2023春·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考階段練習）若x，y是實數(shù)，且y＝4x?1+1?4x+13，求（2【答案】18﹣1【分析】首先根據(jù)二次根式有意義求出x、y的值，再化簡后面的代數(shù)式，最后代入求值即可．【詳解】解：∵x，y是實數(shù)，且y＝4x?1+∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝14∴y＝13∴23x9x+4xy＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy＝xx﹣3xy＝141＝18【點睛】本題主要考查含字母的二次根式化簡求值，需要注意利用二次根式有意義的情況求未知數(shù)的值．【變式3-3】（2023春·浙江·八年級專題練習）當x=1+19942時，多項式4A．1 B．?1 C．22002 D．【答案】B【分析】由原式得2x?12=1994，得4x【詳解】∵x=1+∴2x?12=1994∴4x∴原式=?1【點睛】本題難度較大，需要對要求的式子進行變形，學會轉(zhuǎn)化.【題型4二次根式中的新定義問題】【例4】（2023春·重慶江津·八年級校聯(lián)考期中）對于任意非負數(shù)m、n，若定義新運算：m?n=m?n(m≥n)m+n(m<n)，在下列說法中：①27?12=3；②11?2+A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用新運算的定義對每個結(jié)論進行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵27>12，∴27?12=27?12=3∴①的說法正確；②等式的左邊====2023等式的右邊=2023?1∴等式成立，∴②的說法正確；③當x≥y時，左邊=(=(==x?y=|x?y|=右邊，當x<y時，左邊=(==y?x=|x?y|=右邊，綜上，③的說法正確；④x==x?(x?2)=x?x+2=2，由題意可知：x2∴x≥1，∴④的說法不正確．綜上，說法正確的有①②③，故選：C．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，二次根式的性質(zhì)，分母有理化，本題是新定義型，理解新定義的規(guī)定，并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┒x：對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為fz即：當n為非負整數(shù)時，如果n?12≤x<n+如：fz(0)=fz(0.48)=0，試解決下列問題：①fz(3)=③1+1f【答案】232017【詳解】1、fz2、根據(jù)題意，先推導(dǎo)出f(n（1）∵n2∴n2（2）再比較n2+n與①當n=0時，n2②當n為正整數(shù)時，∵n2+n?n?∴n2∴n2綜合（1）、（2）可得：n?1∴fz∴fz3、∵fz∴1==1?=1?=2017故答案為（1）2；（2）3；（3）20172018點睛：（1）解第②小題的關(guān)鍵是應(yīng)用“完全平方公式”和“作差的方法”分別證明到當n為非負整數(shù)時，n?12<n2【變式4-2】（2023春·八年級單元測試）將n個0或2排列在一起組成一個數(shù)組，記為A=t1,t2,?,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，稱A是一個n元完美數(shù)組（n≥2定義以下兩個新運算：新運算1：對于x?y=x+y新運算2：對于任意兩個n元完美數(shù)組M=x1,M⊕N=1M=2,2,2(1)①在3,2，2,0②設(shè)A=2,0,2，B=(2)已知完美數(shù)組M=2,2,2(3)現(xiàn)有m個不同的2022元完美數(shù)組，m是正整數(shù)，且對于其中任意的兩個完美數(shù)組C，D滿足C⊕D=0，則m的最大可能值是______．【答案】(1)①2,0；②(2)N=2,2,0,2或2,0,2,2(3)2023【分析】（1）①根據(jù)定義直接判定即可；②根據(jù)定義直接計算即可；（2）由定義可知當x=y時，x?y=2x，當x≠y時，x?y=0，當x?y=22（3）根據(jù)題意可知C、D中對應(yīng)的元都不相等，m的最大值為2023，當C確定后，D中的對應(yīng)元與C中的不同即可．【詳解】（1）解：①∵3,2中有∴3,∵2,0中只有2∴2,0∵2,∴2,故答案為：2,0②A⊕B====2故答案為：2．（2）解：∵x?y=x+y∴當x=y時，x?y=2x，當x≠y時，x?y=0，當x?y=2x時，x?y=22∵M⊕N=22∴x1∵M=2∴N=2,2,0,2或2,0,2,2（3）解：∵C⊕D=0，∴C、D中對應(yīng)的元都不相等或C、D中對應(yīng)的元都相等且為0，∵C、D是不同的兩個完美數(shù)組，∴C、D中對應(yīng)的元都不相等，∴m的最大值為2023，當C確定后，D中的對應(yīng)元與C中的不同．故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了新定義運算，弄清定義，熟練掌握絕對值的運算，能夠通過所給的運算關(guān)系，得到一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學?？计谥校┒x：我們將a+b與a+例如：已知18?x?11?x=1因為18?x?所以18?x+(1)已知：20?x+①20?x?②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：20?x+(2)代數(shù)式10?x+x?2中(3)計算：13【答案】(1)①2；②x=?5(2)2≤x≤10，10，2(3)1【分析】（1）仿照題意，進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用原題的過程，對原式進行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵20?x+∴20?x?故答案為：2②由①得20?x?4?x=2220?x即20?x=5則20?x=25，解得x=?5，經(jīng)檢驗，x=?5滿足題意，即方程20?x+4?x=8（2）解：由二根式有意義的條件得到10?x≥0x?2≥0解得2≤x≤10，即x的取值范圍是2≤x≤10，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案為：2≤x≤10，10，2（3）1=132023====【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵．【題型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校╅喿x下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如2323②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：13(2)已知m是正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，(3)已知15+x2?【答案】(1)2019(2)504(3)9【分析】（1）將各部分分子變?yōu)?，再根據(jù)分母有理化去分母后可相互消掉可得結(jié)果；（2）a、b互為倒數(shù)，分母有理化后可得a+b的值，代入所求式子即可；（3）設(shè)a=15+x2，b=26?x2，則【詳解】（1）解：1====2019（2）∵a=m+1?m∴a=(m+1?m)∴a+b=(∴a+b+3ab=2021，∴4m+2+3=2021，∴m=504；（3）設(shè)a=15+x2，b=∴15+x∴a?b=1，∴(a?b)∴a∴2ab=40，∵(a+b)∴a+b=±9．（?9舍去），∴15+x【點睛】本題考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式設(shè)未知數(shù)整體代入是常用的方法．【變式5-1】（2023秋·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過程：11請回答下列問題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出1n+1（2）利用上面的解法，請化簡：1（3）12?11和【答案】（1）n+1?n；（2）2021?1【分析】（1）把分子分母都乘以(5（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，12?11=112+11【詳解】解：（1）1n+1（2）11+2==（3）由（1）的方法可得，1213∵12∴1即，12?【點睛】本題考查了分母有理化和二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．【變式5-2】（2023春·黑龍江牡丹江·八年級?？计谥校?）觀察下列各式的特點：2?1>3?2>2?35?2>…根據(jù)以上規(guī)律可知：2021?2020______（2）觀察下列式子的化簡過程：121314+3…根據(jù)觀察，請寫出式子1n+n?1（n（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：|12+1?1【答案】（1）＞；（2）見解析；（3）2【分析】（1）根據(jù)題目所給的例題大小關(guān)系可直接得到答案；（2）把分子分母同時乘以n?（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律可得12+1=2?1，1【詳解】解：（1）∵2?3?2>4?5?…，∴n+1?∴2021?故答案為：＞；（2）1=n=n?（3）原式=|(=(=(==2【點睛】此題主要考查了分母有理化，關(guān)鍵是注意觀察題目所給的例題，找出其中的規(guī)律，然后再進行計算．【變式5-3】（2023春·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校╅喿x下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和7?6=1因為7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x?2≥0可知x≥2，而y=x+2當x=2時，分母x+2+解決下述問題：（1）比較32?4和（2）求y=1?x【答案】（1）32?4<23?10【分析】（1）利用分子有理化得到32?4=232+4，23?10（2）利用二次根式有意義的條件得到0?x?1，而y=1?x+11+x+x，利用當x=0時，11+x+x有最大值1，1?x有最大值1得到所以y的最大值；利用當x=1【詳解】解：（1）3223而32>23∴32∴32（2）由1?x?0，1+x?0，x?0得0?x?1，y=1?x∴當x=0時，1+x+x有最小值，則11+x+x當x=1時，1+x+x有最大值，則11+x+x有最小值2?1，此時【點睛】本題考查了非常重要的一種數(shù)學思想：類比思想．解決本題關(guān)鍵是要讀懂例題，然后根據(jù)例題提供的知識點和方法解決問題．同時要注意所解決的問題在方法上類似，但在細節(jié)上有所區(qū)別．【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】【例6】（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)當且僅當a=b時，等號成立，其中我們把a+b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，它是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具，例如：在x解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2≥x·1x，∴請根據(jù)閱讀材料解答下列問題：（1）填空：當x>0時，設(shè)y=x+4x，則當且僅當x=____時，（2）若x＞0，函數(shù)y=2x+1x，當【答案】（1）2，小，4；（2）22，y有最小值2【分析】（1）根據(jù)基本不等式即可求得y的最小值，及此時x的取值；（2）根據(jù)基本不等式即可求得y的最小值，及此時x的取值．【詳解】（1）∵x>0∴y=∴y=x+4當且僅當x=4x即x=2時，y故答案為：2，小，4

（2）∵x＞0∴2x+∴y=2x+1x當且僅當2x=1x即x=22時，y【點睛】本題屬于閱讀材料題目，考查了學生對材料的閱讀理解能力和應(yīng)用能力，考查了解方程，不等式的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是讀懂材料并能應(yīng)用材料的知識解決問題．【變式6-1】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校╅喿x材料，并解決下列問題．在比較同號兩數(shù)的大小時，通?？梢员容^兩個數(shù)的商與1的大小來判斷這兩個數(shù)的大小，如當a,b都是正數(shù)時，①若ab>1，則a>b；②若ab=1，則a=b；③我們將這種比較大小的方法叫做“作商法”．(1)請用上述方法比較57與7(2)寫出a+1a+2與a【答案】(1)5(2)a+1【分析】（1）由5<7，得到（2）先計算得到a+1a+2【詳解】（1）解：∵5<∴57∴57（2）a+1證明：a===∵a+2∴a+1∴a【點睛】此題考查了二次根式的運算的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期中）閱讀并回答下面問題：計算：2+設(shè)x=2+3原式===x因為x=2+3所以x2+y原式=10+2×23(1)填空：①3+②3+(2)請仿照上面的方法計算：3+【答案】(1)①?2②16(2)24+8【分析】（1）①運用平方差公式解答；②運用完全平方公式解答；（2）設(shè)x=3+5，y=【詳解】（1）①原式=3②原式===16；故答案為：①?2；②16（2）設(shè)x=3+5原式=x+2=x=x因為x2+y所以原式=16+4×25【點睛】本題主要考查了復(fù)雜二次根式的乘法與平方和的簡化計算，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式．【變式6-3】（2023春·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學問題時，我們一般先仔細閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們在做題時，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件．閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題．化簡：1?3x2解：隱含條件1?3x≥0,，解得x≤1∴1?x>0，∴原式=1?3x?1?x(1)試化簡：(x?3)2(2)已知a、b滿足(2?a)2=a+3,a?b+1【答案】(1)1(2)ab=±【分析】（1）由二次根式有意義的條件可得2?x≥0，解得x≤2，再化簡二次根式，再合并即可；（2）根據(jù)二次根式的非負性先求解a≥?3，由a?b+1=a?b+1，可得a?b+1=0或a?b+1=1，再分?3≤a≤2,a>2【詳解】（1）∵2?x≥0,則x≤2,∴x?3<0∴x?3==3?x?2+x=1（2）∵2?a2∴2?a∴a≥?3,a?b+1≥0,∴當?3≤a≤2時，則2?a=a+3,解得：a=?1∵a?b+1=a?b+1∴a?b+1=0或a?b+1=1,解得：b=12∴ab=?14當a>2時，則a?2=a+3無解，舍去，綜上：ab=?14【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡等知識點，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【題型7二次根式的規(guī)律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期末）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結(jié)果：①13=1；②13+2（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×3根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當內(nèi)容：1+2+3+?+n+(n+1)=__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計算：①13②113【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2【分析】(1)觀察可得，每個式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項＋尾項的和再乘以自然數(shù)的個數(shù)，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）(n+2)(n+1)2（3）①原式=1+2+3+4+5+?+99+100=(1+100)×1002②原式==202×2124?【點睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個知識點的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵【變式7-1】（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）．A．n2?1 B．n2?2 C．【答案】C【分析】觀察數(shù)陣排列，可發(fā)現(xiàn)各數(shù)的被開方數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，行數(shù)中的數(shù)字個數(shù)是行數(shù)的2倍，求出n-1行的數(shù)字個數(shù)，再加上從左向右的第n-3個數(shù)，就得到所求數(shù)的被開方數(shù)，再寫成算術(shù)平方根的形式即可．【詳解】由圖中規(guī)律知，前（n-1）行的數(shù)據(jù)個數(shù)為2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個數(shù)的被開方數(shù)是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個數(shù)是：n故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律、二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．【變式7-2】（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：1+112+122=1+11×2，請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算1+112+122+1+【答案】2020【分析】根據(jù)已知等式將各式分別化簡，得到1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021，再將等式寫成1×2020+（11×2+1【詳解】∵1+112+122=1+11×2，∴1+112+12=1+11×2+1+12×3+1+1=1×2020+（11×2+12×3+13×4=2020+（1-12+12-13+13-14=2020+1-1=20202020故答案為：20202020【點睛】此題考查運算類規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，根據(jù)已知等式得到計算的規(guī)律，由此將各代數(shù)式化簡，再根據(jù)特殊公式法進行計算得到答案，正確分析得到等式的計算規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】（2023春·廣西南寧·八年級南寧二中校聯(lián)考期末）已知：223=223；338【答案】2022【詳解】∵第1個數(shù)：2第2個數(shù)：3第3個數(shù)：4第4個數(shù)：5∴第n個數(shù)(n+1)當n=2021時，2022故答案為20222022【點睛】本題考查的是找規(guī)律，找出式子與序號的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.【題型8二次根式的實際應(yīng)用】【例8】（2023春·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）我國南宋時期數(shù)學家泰九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積(1)當三角形的三邊a=3，b=5，c=6時，請你利用公式計算出三角形的面積；(2)一個三角形的三邊長依次為5、6，7，請求出三角形的面積；(3)若p=8，a=4，求此時三角形面積的最大值．【答案】(1)2(2)26(3)8【分析】（1）直接利用已知得出p的值，再利用三角形面積公式得出答案；（2）將S=pp?ap?b（3）根據(jù)公式計算出b+c=12，再表示成c=12?b，代入公式即可求出解．．【詳解】（1）解：∵a=3，b=5，c=6，則：p=a+b+c∴S====214（2）S=======1則三邊長依次為5、6，7，代入S=1S=（3）∵p=a+b+c2，p=8，∴b+c=12，則c=12?b，∴S===4=4=42∴當b=6時，S有最大值，為S=82【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，乘法公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．【變式8-1】（2023春·陜西安康·八年級統(tǒng)考階段練習）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長BC為72米，寬AB為32米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為8+1米，寬為8(1)求長方形ABCD的周長；（結(jié)果化為最簡二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【答案】(1)長方形ABCD的周長為202(2)購買地磚需要花費204元【分析】（1）根據(jù)長方形的周長公式進行計算即可求解；（2）先求得長方形的面積，根據(jù)面積乘以6即可求解．【詳解】（1）解：72+==10=2